2011届高三数学精品复习之(18)线面关系

20112011 届高三数学精品复习之线面关系届高三数学精品复习之线面关系 1 公理 1 用于证明 线在面内 公理 2 用于证明 点在线上 公理 3 及其推 论用于证明 共面 举例 1 ABC 和 A1B1C1所在的平面交于直线l AB 和 A1B1交于 P BC 和 B1C1交于 Q AC 和 A1C1交于 R 则下列判断正确的是 A P Q R 确定平面 且l B P Q R 确定平面 且l C P Q R 确定平面 且l D P Q R 都在直线l上 解析 易见 P 是平面 ABC 和平面 A1B1C1的一个公共点 由公理 2 知 P 在它们的公共线l上 同理 Q R 也在直线l上 举例 2 如图 在六面体 1111 ABCDABC D 中 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 四边形 1111 ABC D 是边长为 1 的正方形 1 DD 平面 1111 ABC D 1 DD 平面ABCD 1 2DD 求证 11 AC与AC共面 11 B D与BD共面 07 高考安徽理 17 解析 几何体为六面体 则 AB A1B1共面 BC B1C1共面 CD C1D1共面 AD A1D1共面 1 D D 平面 1111 ABC D 1 D D 平面ABCD 平面 1111 ABC D 平面ABCD 于是 11 C DCD 11 D ADA 设EF 分别为DADC 的中点 连结 11 EFAEC F 有 A1D1平行且等于 AD 故 A1E 平行且等于 DD1 同理 C1F 平行且等于 DD1 于是 A1E 平行且等于 C1F 11 ACEF 又由1DEDF 得EFAC 故 11 ACAC 11 AC与AC共面 过点 1 B作 1 BO 平面ABCD于点O 则 1111 BOAEBOC F 连结OEOF 于是 11 OEB A 11 OFBC OEOF 1111 B AAD OEAD 1111 BCC D OFCD A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M OE F AB C D D1 A1 B1 C1 所以点O在BD上 而 11 D B与 DO 共面 故 11 D B与DB共面 巩固 1 已知在空间四边形 ABCD 中 E F 分别是 AB AD 的中点 G H 分别是 BC CD 上 的点 且 BG GC DH HC 2 1 则 EG FH AC 的位置关系是 A 两两异面 B 两两平行 C 交于一点 D 两两相交 巩固 2 如图 已知 1111 ABCDABC D 是棱长为3的正方体 点E在 1 AA上 点F在 1 CC上 且 1 1AEFC 求证 1 EBFD 四点共面 07 高考江苏卷 18 2 在分析比较复杂的 孤立 的线面关系 不在几何体中 时 可以将其放置于一个我们 熟悉的几何体 如三棱锥 长方体等 中研究 以便观察 寻找它们之间的联系 举例 设 为平面 lnm 为直线 以下四组条件 lml m m mnn 可以作为 m的一个充分条件是 解析 题中线面关系既复杂又抽象 注意到其中包含大量的垂直关系 故可以在正方体内 观察 记面 AD1为 面 AC 为 则 AD 为l 若视 AB 为 m m l 但m在面 内 若 两两垂直 则 可以得到 m 但该条件中没有 故反例只可能存在 于此处 记面 AD1为 面 BB1D1D 为 面 AC 为 则 AD 为m 但m与 成 450角 注意到m 只要 不平行 就得不到 m 记 面 AD1为 面 BB1D1D 为 面 AC 为 视 AB 为m 但m与 成 450角 由 n n 得 再由m 得 m 故只有 巩固 设a b为直线 为平面 直线 1 a 1 b分别为a b在面 内的射影 则下列四 个命题中正确的个数是 若a b则 1 a 1 b 若 1 a 1 b则a b 若a b则 1 a 1 b 若 1 a 1 b则a b A 3 B 2 C 1 D 0 注 07 年高考上海卷理科第 10 题就是由这一题变形 延伸而来 CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C AB C D S 图 4 1 Q PA B C D S 图 4 2 Q P RAB C D S 图 4 3 Q P Q1 P1 延伸 在平面上 两条直线的位置关系有相交 平行 重合三种 已知 是两 个 相交平面 空间两条直线 12 ll 在 上的射影是直线 12 ss 12 ll 在 上的射影是 直线 12 tt 用 1 s与 2 s 1 t与 2 t的位置关系 写出一个总能确定 1 l与 2 l是异面直线的 充分条件 3 证明立几问题时要有降维的思想 通过线线垂直证线面垂直 通过线面垂直证面面垂直 通过线线平行证线面平行 通过线面平行证面面平行 4 证明 线面平行 的关键是找准 这条直线 平行于平面内的哪条直线哪条直线 也可以先证 经过 这条直线 的平面与平面平行 举例 右图是一个直三棱柱 以 111 ABC为底面 被一平面所截得到的几何体 截面为 ABC 已知 1111 1ABBC 111 90ABC 1 4AA 1 2BB 1 3CC 若点O是AB的中点 证明 OC 平面 111 ABC 07 高考江西理 20 解析 取 A1B1中点 D 连 1 C D 则 11 ODBBCC 111 1 3 2 ODAABBCC 四边形 1 ODC C是平行四边形 因此有 1 OCC D 又 1 C D 平面 111 C B A且OC 平面 111 C B A OC 面 111 ABC 注 在找 线 与面内的一条直线平行时 常用到一些平面图形的性质 如 三角形的中位线 梯形中位线 平行四边形 平行线分线段成比例 定理的逆定理等 巩固 如图 在四棱锥SABCD 中 底面ABCD为正方形 侧棱SD 底面ABCDEF 分别为ABSC 的中点 证明EF 平面SAD 07 高考全国卷 理 19 5 已知 线面平行 的条件 一般只有一个 发展 方向 过 线 的议和平面与已知 面 的交线和已知的 线 平行 故设法找到经过 线 的平面与已知 面 的交线往 往是解题的关键 举例 如图 4 1 正四棱锥 S ABCD 的底面边长为 a 侧棱长为 2a 点 P Q 分别在 BD 和 SC 上 并且 BP PD 1 2 PQ 面 SAD 求线段 PQ 的长 A B C O 1 A 1 B 1 C D A EB C F S D 解析 要用条件 PQ 面 SAD 需找到过 PQ 的平面与面 SAD 的交线 方法有二 分别 延长 CP DA 交于点 R 如图 4 2 则面 SCR 交面 SAD 于 SR 又 PQ 面 SAD QP SR 而在面 ABCD 中 PDR PBC 且 PD 2PB PR 2PC PR 2BC 2a 于是在 CSR 中有 SR 3QP 在等腰 SAD 中 可以求出 cos SDA 4 1 则在 SRD 中由余弦定理可以求得 SR 6a 即 PQ 3 6 a 过 P Q 分别作 CD 的平行线 分别交 AD于 P1 交 SD 于 Q1 连 P1Q1 如图 4 3 面 PP1Q1Q 交面 SAD 于 P1Q1且 PQ 面 SAD 则 PQ P1Q1 四边形 PP1Q1Q 是平行四边形 即 PQ P1Q1 在 DAB 中 PD 2PB PD 2PA 3 2 a PP1 3 2 AB 3 2 a QQ1 3 2 a 3 2 CD 于是在 SCD 中有 SQ1 3 2 SD Q1D 3 2 a 仿方法 可以求出 P1Q1 巩固 如图 在矩形ABCD中 aBCAB22 E为AB 上一点 将B点沿线段EC折起至点P 连结 PAPDPC 取PD的中点F 若有 AF平面PEC 试确定E点位置 6 证明 面面垂直 关键要找准哪个平面哪个平面内的哪条直线哪条直线垂直于另一个平面 也可以证明两 个平面的法向量垂直 举例 如图 已知 PA 矩形 ABCD 所在的平面 M N 分别是 AB PC 的中点 若 P CD A 为 450 的二面角 求证 平面 MND 平面 PDC 解析 仅仅观察平面 MND 和平面 PDC 很难 发现垂直的线索 从二面角 P CD A 入手 易见 CD AD CD AP CD 面 PAD CD PD 即 PDA 是二面角 P CD A 的平面角 PDA 450 那么在 Rt PAD 中有 AP AD 取 PD 中点 E 则 AE PD 又由 CD 面 PAD 得 CD AE 故 AE 面 PCD 而 EN 平行且等于 2 1 DC 即 EN 平行且等于 AM 四边形 AMNE 是平行四边形 即 MN AE 于是有 MN 面 PCD 又 MN 在面 MND 内 平面 MND 平面 PDC 巩固 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ABACAA 90BAC D为棱 1 BB的中点 求证 平面 1 ADC 平面ADC 6 已知 面面垂直 的条件 一般发展为 一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面 在直棱柱中隐藏着侧面与底面垂直的条件 举例 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为平行四边形 侧面SBC 底面ABCD 已 B D C A P E F C1B1 A 11 1 D BC A AM B C N P D E AB C D D1 A1B1 C1 O A1 B1 C1 A B C 知45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 07 高考全国卷 理 19 解析 作SOBC 垂足为O 连结AO 由侧面SBC 底面ABCD 得SO 底面ABCD SASB AOBO 又45ABC 故AOB 为等腰直角三角形 AOBO 又 SO BO BC 面 SAO BC SA 或直接由三垂线定理得到 注 证明 线线垂直 一般去证一条 线 垂直于 过另一条 线 的面 或者使用三垂线定理 巩固 如图 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 B1C1 A1C1 A1B AC1 求证 A1B B1C 7 三垂线定理要注意 平面内平面内 的条件 平面内平面内 一条直线垂直于 射影 则垂直于斜 线 由三垂线定理得到的两个常用结论 直线与角的两边所成的角相等 则直线在 角 所在的 平面内的射影是角的平分线 直线与平面内一条直线所成角的余弦等于直线与 它在平面内的射影所成角的余弦和射影与这条直线所成角的余弦的积 举例 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 已知 AB AD 4 AA1 3 A1AB A1AD BAD 3 1 求 AC1的长 2 求平行六面体 ABCD A1B1C1D1的体积 解析 记 A1在面 ABCD 内的射影为 O A1AB A1AD O 在 BAD 的平分线上 又 AB AD BAD 的平分线即菱形 ABCD 的 对角线 AC 故 O 在 AC 上 cos A1AB cos A1AO cos OAB cos A1AO 3 3 sin A1AO 3 6 cos ACC1 3 3 又 AC 43 在 ACC1中由余弦定理得 AC1 9 在 A1AO 中 A1O 6 1111 DCBAABCD V 6 2 3 44 242 注 求 AC1的长还可以用向量 11 CCBCABAC 平方即可 巩固 MN 是两条互相垂直的异面直线 a b 的公垂线段 点 P 是线段 MN 上除 M N 外一动 点 若点 A 是 a 上不同于公垂线垂足的一点 点 B 是 b 上不同于公垂