2011年建模1A

摘要摘要 在问题 1 中 我们首先根据离散的 300 余个样本的坐标及其 相应的重金属浓度 用 matlab 分别拟合绘制 8 种重金属元素浓度 随坐标位置变化的浓度分布渐变图定性直观地看出 8 种重金属元素 在该城区的空间分布 分布如下图所示 在问题 2 中 我们建立主成分分析模型 运用附录表二中的 数据进行处理与附录 3 中的数据进行对比分析的数学模型得出不同 区的不同重金属的污染程度不同 通过表格中的数据对比变化更能 直观地表现出来 并且能够覆盖大部分信息 这样便可以比较容易 地通过主成分挖掘出各污染元素与区域功能 在问题三 我们建立了高斯扩散模型且有如下假设 1 污染物 的浓度在 x y 轴方向符合正态分布污染物在输送扩散中质量守恒 2 污染源的源强均匀 连续 在问题四 关键词 对比分析 逻辑推理 比例系数 高斯扩散模型 质量守 恒定律 一 一 问题重述问题重述 为了对某城市城区土壤地质环境进行调查 研究人类活动影响下城为了对某城市城区土壤地质环境进行调查 研究人类活动影响下城 市地质环境的演市地质环境的演 变模式 现将城区按功能划分为生活区 工业区 山区 主干道路变模式 现将城区按功能划分为生活区 工业区 山区 主干道路 区及公园绿地区等 区及公园绿地区等 分别记为分别记为 1 1 类区 类区 2 2 类区 类区 5 5 类区 进行研究 不同的区域类区 进行研究 不同的区域 环境受人类活动影响环境受人类活动影响 的程度不同 的程度不同 将所考察的城区划分为间距将所考察的城区划分为间距 1 1 公里左右的网格子区域 按照每平公里左右的网格子区域 按照每平 方公里方公里 1 1 个采样点个采样点 对表层土进行取样 编号 并用对表层土进行取样 编号 并用 GPSGPS 记录采样点的位置 应用专记录采样点的位置 应用专 门仪器测试分析 获得门仪器测试分析 获得 了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据 另一方面 按照了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据 另一方面 按照 2 2 公里的间距在那些远离公里的间距在那些远离 人群及工业活动的自然区取样 将其作为该城区表层土壤中元素的人群及工业活动的自然区取样 将其作为该城区表层土壤中元素的 背景值 背景值 这样便得到了采样点的位置 海拔高度及其所属功能区 这样便得到了采样点的位置 海拔高度及其所属功能区 8 8 种主要种主要 重金属元素在采重金属元素在采 样点处的浓度 样点处的浓度 8 8 种主要重金属元素的背景值 种主要重金属元素的背景值 依据以上信息 通过数学建模解决以下问题 依据以上信息 通过数学建模解决以下问题 1 1 给出 给出 8 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布 并分析该城种主要重金属元素在该城区的空间分布 并分析该城 区内不同区域重区内不同区域重 金属的污染程度 金属的污染程度 2 2 通过数据分析 说明重金属污染的主要原因 通过数据分析 说明重金属污染的主要原因 3 3 分析重金属污染物的传播特征 由此建立模型 确定污染源 分析重金属污染物的传播特征 由此建立模型 确定污染源 的位置 的位置 4 4 分析所建立模型的优缺点 为更好地研究城市地质环境的演 分析所建立模型的优缺点 为更好地研究城市地质环境的演 变模式 还应收变模式 还应收 集什么信息 有了这些信息 如何建立模型解决问题 集什么信息 有了这些信息 如何建立模型解决问题 二 问题分析 二 问题分析 对于问题一 分析题目要求可以看出它有两部分构成 重金属元素对于问题一 分析题目要求可以看出它有两部分构成 重金属元素 在各区域的空间在各区域的空间 分布分析 以及不同区域重金属污染程度评价 要分析重金属元素分布分析 以及不同区域重金属污染程度评价 要分析重金属元素 在各区域的空间分布 在各区域的空间分布 结合题目所给出的离散的样品点 我们想到用结合题目所给出的离散的样品点 我们想到用 matlabmatlab 拟合出每种拟合出每种 重金属元素的分布图 重金属元素的分布图 可以直观地看出重金属的分布特征 对于第二部分 可以直观地看出重金属的分布特征 对于第二部分 对于问题二 对于问题二 要想对不同区域重金属的污染程度我们引入比例系数要想对不同区域重金属的污染程度我们引入比例系数 就可以定量就可以定量 评价每个区域的污染程度 与附录表二进行分析对比就可以解决问评价每个区域的污染程度 与附录表二进行分析对比就可以解决问 题 题 对于问题三 我们建立了高斯扩散模型对于问题三 我们建立了高斯扩散模型 有效源位于坐标原点 o 处 假设点源在没有任何障碍物的自由 空间扩散 扩散是具有 x 与 y 两个坐标方向的二维正态分布 当两 坐标方向的随机变量独立时 分布密度为每个坐标方向的一维正态 分布密度函数的乘积 由正态分布的假设条件 参照正态分布函 数的基本形式式 取 0 则在点源向任一点的浓度分布函数为 22 22 1 exp 2 xy yz C x y zA x 注释 其中 注释 其中 C C 表示该点的位置坐标和海拔高度 表示该点的位置坐标和海拔高度 和和表示沿着表示沿着 x y 不同方向的标准差 即 沿着不同方向的标准差 即 沿着 X X Y Y 方向的扩散参数 方向的扩散参数 三 模型假设 三 模型假设 1 污染物的浓度在 x y 轴方向符合正态分布污染 物在输送扩散中质量守恒 2 污染源的源强均匀 连续 3 因为重 金属的传播不会扩散到空中因此我们可以忽略海拔高度对浓度的影 响 四 模型建立与求解 四 模型建立与求解 1 1 对于问题 对于问题 1 1 各个金属在该城区的空间分布如下图所示 各个金属在该城区的空间分布如下图所示 2 02 0 金属浓度在各个城区的平均浓度和标准偏差如下表所示 金属浓度在各个城区的平均浓度和标准偏差如下表所示 AsCdCrCuHgNiPbZn 平均浓 度 6 27289 8669 0249 4093 0418 3469 11237 01 生活区 标准偏 差 2 151183 681107 89147 163102 9025 66372 325443 638 平均浓 度 7 25393 1153 41127 54642 3619 8193 04277 93 工业区 标准偏 差 4 240237 58044 000414 9402244 0708 37085 370350 830 平均浓 度 4 04152 3238 9617 3240 9615 4536 5673 29 山区 标准偏 差 1 81078 37024 59510 73227 85410 42817 73330 943 平均浓 度 5 69362 1858 2362 51449 6517 6563 70244 19 交通区 标准偏 差 3 246242 95081 878126 6132188 07011 82232 590385 878 平均浓 度 6 26280 5443 643 09114 9915 2963 71154 24 公园绿 地标准偏 差 2 032236 83014 84022 682224 6804 97445 843230 920 元素平均值标准偏差范围 As g g 3 60 91 8 5 4 Cd ng g 1303070 190 Cr g g 31913 49 Cu g g 13 23 66 0 20 4 Hg ng g 35819 51 Ni g g 12 33 84 7 19 9 Pb g g 31619 43 Zn g g 691441 97 各种金属离子浓度在各个城区的折线图如下 通过对以上的分析可归结为以下几点 1 对于生活区 铬 cd 的重金属浓度最大 锌 zn 的浓度次之 其 他的金属污染程度较轻 2 对于工业区 污染非常严重 其中汞 hg 的污染浓度最大污染非常严重 其他 重金属也有不同程度的严重污染 3 对于山区污染程度相对于其他地区较轻 4 对于交通区 相对于工业区污染程度较轻 但是比其他各个城 区污染较重 其中铬和汞的含量较高 5 对于公园绿地 污染程度和生活区基本吻合 2 对于问题二 我们对于上面的数据进行一些处理 应用 As g g Cd ng g Cr g g Cu g g Hg ng g Ni g g Pb g g Zn g g 生活区6 27 289 96 69 02 49 40 93 04 18 34 69 11 237 01 工业区7 25 393 11 53 41 127 54 642 36 19 81 93 04 277 93 山区 4 04 152 32 38 96 17 32 40 96 15 45 36 56 73 29 交通区5 71 360 01 58 05 62 21 446 82 17 62 63 53 242 85 公园绿地 6 26 280 54 43 64 30 19 114 99 15 29 60 71 154 24 背景值3 61303113 23512 33169 比例系数范围 As0 5 1 5 Cd0 538462 1 4615 Cr0 419355 1 5806 Cu0 454545 1 5454 Hg0 542857 1 4571 Ni0 382114 1 6179 Pb0 612903 1 3871 Zn0 594203 1 4058 区 域As g g Cd ng g Cr g g Cu g g Hg ng g Ni g g Pb g g Zn g g 生 活 区1 8666672 2304722 22643 7426652 6583051 4912422 2292383 434908 工 业 区2 01427473 02393161 72287639 661805618 3530081 61070463 00131724 0279348 山 区 1 12335861 171691 25676441 31191461 17017321 25640551 17922291 0622354 交 通 区1 58556762 76934231 87270694 713252112 7663581 43228472 04949043 5196356 公 各个程区的重金属浓度标准化的比例系数如下表所示 根据以上两个表中数据得出以下结论 生活区 Cu 和 Zn 的金属污染程度较大 Ni 没有污染其他重金属都 有一定的污染 分析原因 人们日常生活中常常不使用铁制器皿和一些生活垃圾 废弃掉后埋入土壤等等 工业区 Cu Hg Zn Gr 的污染程度较大 其中 Hg 的污染程度最 大 其他重金属污染较严重 分析原因 工业区一些工业废水 废物 都含有大量的工业重金属 有些渗进土壤表层 这使得土表的重金属含量很高的主要原因 山区 基本上没有污染 分析原因 常年很少有外界人来 没有重工业 很少的机动车辆行 驶 使得重金属含量很低 所以基本上没有污染 交通区 Hg Cu Cr Zn 的污染程度较为严重 其中 Hg 的污染最 严重 对于金属 As 基本没有污染 分析原因 汽车尾气中铅 锌 铜 镉等重金属 污染来源主要包 括含铅汽油 润滑油的燃烧 汽车轮胎和刹车里衬的机械磨损等 也含有一些人为因素 园 绿 地 公园绿地 除了 Cr Ni 没有污染以外 其他重金属都有较为轻度的 污染 分析原因 公园中常年有人锻炼身体除了一部分生活垃圾 废水等 造成的影响 在绿地内倾倒垃圾 渣土等等 3 问题三 主要采用连续面源扩散 有效源位于坐标原点 o