高中数学 1.3.1《函数的周期性》教案 苏教版必修4

用心 爱心 专心 1 1 3 11 3 1 三角函数的周期性三角函数的周期性 教学目标教学目标 一 知识与技能 了解周期函数的概念 会判断一些简单的 常见的函数的周期性 并会求一些简单三角函数 的周期 二 过程与方法 从自然界中的周期现象出发 提供丰富的实际背景 通过对实际背景 现实原型 的分析 概括与抽象 建立周期函数的概念 再运用数学方法研究三角函数的性质 最后运用三角函 数的性质去解决问题 三 情感 态度与价值观 培养数学来源与生活的思维方式 体会从感性到理性的思维过程 理解未知转化为已知的数 学方法 教学重点教学重点 周期函数的定义和正弦 余弦 正切函数的周期性 教学难点教学难点 周期函数的概念 设计思路设计思路 创设情境 从自然界中的周期现象出发 通过对 P 点的圆周运动这一模型的分析 引入 周期函数的概念 在研究 P 点的圆周运动时 给出了 y f t 的图象 并在研究了三角函数的周期后 给出 了 y sinx 的图象 让学生从图象上对函数的周期加深理解 让学生体会数形结合的思想 在讲解例 2 时 充分利用解方程的思想 让学生更易理解 教学过程教学过程 一 创设情境一 创设情境 每年都有春 夏 秋 冬 每星期都是从星期一到星期日 地球每天都绕着太阳自转 公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返 这一些都给我们循环 重复的感觉 可以用 周而复始 来描述 这就叫周期现象 二 学生活动二 学生活动 P 点的圆周运动 如图 点 P 自点 A 起 绕圆周按逆时针方向进行 匀速运动 点 P 的运动轨迹是 A B C D A B C D A B C D A B 显然点 P 的运动是周期运动 设圆的半径为 2 每 4 分钟运动一周 设 P 到 A 的距离为 y 运动时间为 t 则 y 是 t 的 函数 记为 y f t 则 f 0 f 4 f 8 f 12 0 位置在 A 点 f 2 f 6 f 10 f 14 4 位置在 C 点 一般地 点 P 运行 t 分钟到达的位置与运行 t 4 分钟到达的位置相同 由此能得到这 样的数学表达式 f t 4 f t 用心 爱心 专心 2 想一想 f t 8 f t 12 与 f t 有什么关系 说明它们的实际意义 f t 8 f t f t 12 f t 运行时间不等 但最终位置相同 可以用描点法画出这个函数的图象 如图 它的特征是 在区间 0 4 4 8 8 12 内重复 我们将上面的函数 y f t 称为周期函数 三 建构数学三 建构数学 一般地 对于函数 f x 对定义域内的每一个 x 的值 每增加或减少一个不为零的定 值 T 函数值就重复出现 这个函数就叫做周期函数 即 f x T f x 一 周期函数及周期的定义 一 周期函数及周期的定义 周期函数定义如下 一般地 对于函数 f x 如果存在一个非零的常数 T 使得定义 域内的每一个 x 值 都满足 f x T f x 那么函数 f x 就叫做周期函数 非零常数 T 叫 做这个函数的周期 前面函数 y f t 的周期可以认为是 4 8 12 二 二 最小正周期的概念 最小正周期的概念 对于一个函数f x 如果它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数叫 f x 的最小正周期 注意注意 今后不加特殊说明 涉及的周期都是最小正周期 显然上面的函数 y f t 的周期 T 4 三三 三角函数的周期 三角函数的周期 思考 正弦函数y sinx是周期函数吗 即能否找到非零常数 T 使 sin T x sinx成 立 sin 2 x sinx sin 4 x sinx 根据周期函数定义判断它是周期函数 又根据 周期的规定 它的周期 T 2 最小正值 用几何画板展示周期函数y sinx的图象 使学生感知其特征 讨论 余弦函数y cosx和正切函数y tanx也是周期函数 并找出它们的周期 周 期分别是 2 四 数学运用四 数学运用 例 1 若钟摆的高度 h mm 与时间 t s 之间的函数关系如图所示 1 求该函数的周期 2 求 t 10s 时钟摆的高度 分析 周期可由两顶点间距离确定 此函数周期 T 1 5 根据函数的周期性 f 10 f 10 1 5 f 10 2 1 5 f 10 1 5k 其中 k 为整数 直到 10 1 5k 1 或 2 5 为止 即 f 10 f 1 20 用心 爱心 专心 3 解 略 例 2 求函数 f x cos3x 的周期 解 设周期为 T f x cos3x cos 3x 2 f x T cos3 x T 由 f x f x T 得 3x 2 3 x T 解得 T 2 3 函数 f x cos3x 的周期 2 3 注意 运用了换元方法 u 3x f u cosu的 最小正 周期是 2 即 cosu cos u 2 由于 cos 3x 2 cos3 x T 对任一 x 的值都成立 所以 3x 2 3 x T f x cos3x 的周期与 f u cosu的周期是两个不同的概念 例 3 求下列函数的最小正周期 T 1 xxfsin3 2 xxf2sin 3 42 1 sin 2 xxf 解 1 2 2 2sin 3sin3 Txfxxxf 2 2sin 22sin 2sin xfxxxxf 函数的最小正周期为 3 4 4 4 2 1 sin 2 2 42 1 sin 2 42 1 sin 2 xfxxxxf 函数的最小正周期为 4 总结一般规律 的最小正周期是 cos sin xAyxAy 2 令 由的周期是 zx sin yAz zR 2 则 2 22zxx 因而自变量只要并且至少要增加到 即 x 2 x 2 T 例 4 求证 1 的周期为 cos2sin2yxx 2 2 cos sin 的周期为xxy 证明 1 22sin 22cos 2sin 2cos xxxxxf 的周期是xxyxfxx2sin2cos 2sin2cos 2 cos sin sin cos 2 cos 2 sin 2 xfxxxxxxxf 2 cos sin 的周期是xxy 用心 爱心 专心 4 总结 1 一般函数周期的定义 2 周期求法 cos sin xAyxAy 尝试练习 1 求 g x 2sin 的周期 1 26 x 2 证明函数 其中为常数 且 的周期 sin f xAx A 0 0A 2 T 结论结论 一般的 周期函数 y Asin x 及 y Acos x 其中 A 为常数 且 A 0 0 的周期 T 2 学生练习 课本 P27 页 练习 1 2 3 4 五 回顾反思五 回顾反思 通过这节课的学习 你有哪些收获 1 周期函数 周期概念 一般地 对于函数 f x 如果存在一个非零的常数 T 使得定义域内的每一个 x 值 都满足 f x T f x 那么函数 f x 就叫做周期函数 非零常数 T 叫做这个函数的周期 2 函数 y sinx 和函数 y cosx 是周期函数 且周期均为 2 3 函数 y tanx 是周期函数 且周期均为 4 周期函数 y Asin x 和 y Acos x 其中 A 为常数 且 A 0 0 的周期的求法 六 课外作业六 课外作业 1 举例说明周期现象 2 课本 P45 页 习题 1 3 第 1 题 3 设 m p q 为自然数 m 除以 5 所得的商是 p 且余数是 q q 5 显然 q 是 m 的函数 记 q f m 1 写出这函数的值域 2 这函数是周期函数吗 若是 则写出周期 若不是 则说明理由 七 七 设计设计说明 说明 1 由可感受 能理解的实例出发 感性的认识周期函数的概念 比如创设情境 从自然界中的周期现象出发 建立 P 点的圆周运动这一模型 本节课的难点在于周期函数概念的理解 因此在讲解概念之前 通过现实情境帮助理 解周期运动 在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了 2 通过对 P 点的圆周运动这一模型的分析 引入周期函数的概念 体现了数