2011年高考数学 第二章 第一节函数的概念与表示

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 设集合 A R 集合 B 正实数集 则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是 A f x y x B f x y x C f x y 3 x D f x y log2 1 x 答案 C 解析 指数函数的定义域是 R 值域是 0 所以 f 是 x y 3 x 2 设 f x x 1 x 则 f f 1 2 A B 0 1 2 C D 1 1 2 答案 D 解析 f 0 1 2 1 2 1 1 2 f f f 0 0 1 0 1 故选 D 1 2 3 函数 f 1 2 3 1 2 3 满足 f f x f x 则这样的函数个数共有 A 1 个 B 4 个 C 8 个 D 10 个 答案 D 解析 本题考查映射的性质 根据映射一对一 多对一的性质 以及 f f x f x 的条件 可列举出来 10 个符合要求 的函数 如等 4 2009 北京市东城区 设 f x Error Error 则 f 1 的值等于 3 2 A B 1 2 1 4 C 2 D 2 6 2 6 2 答案 A 解析 设 f 1 n 则 f n 解方程 2 n 0 n 1 得 n 函数 f x 有反函 3 2 3 2 3 2 1 2 数 满足 f n 的 n 只有一个值 不必再解方程 n 2 2 1 n 2 故选 A 3 2 3 2 5 2009 重庆市诊测 已知函数 f x Error Error 则 f f 的值是 1 4 A B 9 1 9 C D 9 1 9 2 答案 C 解析 依题意得 f log2 2 f f f 2 3 2 选 C 1 4 1 4 1 4 1 9 6 函数 f x Error Error 若 f 1 f a 2 则 a 的所有可能值为 A 1 B 1 2 2 C D 1 2 2 2 2 答案 B 解析 当 a 0 时 f 1 1 f a ea 1 1 ea 1 2 a 1 当 1 a 0 时 f 1 1 f a sin a2 1 sin a2 2 a2 a 故选 B 1 2 2 2 7 2008 西南师大附中 集合 A a b c B 1 0 1 从 A 到 B 的映射 f 满足 f a f b f c 那么这样的映射 f 的个数是 A 2 个 B 4 个 C 5 个 D 7 个 答案 D 解析 当 f a 1 时 f b f c 为 1 0 或 0 1 这样的映射有两个 当 f a 0 时 f b f c 为 1 1 或 1 1 或 0 0 这样的映射有三个 当 f a 1 时 f b f c 为 1 0 或 0 1 这样的映射有两个 综上所述 所求映射共 7 个 故选 D 8 2009 江西五校联考 已知函数 f x Error Error 若方程 f x x a 有且只有两个不相等的实数根 则实数 a 的取值范围为 A 0 B 0 1 C 1 D 0 答案 C 解析 函数 f x 的图象如下图所示 从图中可知 当 a 1 时 方程 f x x a 只有一个 根 当 a 1 时 满足条件 故选 C 二 填空题 9 2008 北京海淀 已知函数 f x Error Error 那么不等式 f x 0 的解集为 答案 1 1 1 解析 由Error Error 得 x 0 且 x 1 由Error Error 得 0 x 1 那么不等式 f x 4 又 q N 于是 q 5 当 C 中 恰好含有 和 A 中 2 个整数时 C 为集合 A 的好子集 因此 z y 1 5 z 2 5 当 C 中 恰好含有 和 A 中 1 个整数时 C 不是集合 A 的好子集 因此 5 1 z 5 y z 3 z 4 又 z N 故 z 3 y 1 且 y 2 又 y N 于是 y 1 所以满足条件的数组 q y z 5 1 3 三 解答题 12 如右图所示 1 求对应于折线 OABC 函数 f x 的解析表达式 2 若 x t 与折线 OABC 及 x 轴所围成 x t 的部分面积为 S 当 t 0 3 时 求 S 与 t 的 函数关系式 并画出图象 图象如下图所示 4 13 已知函数 f x 和 g x 的图象关于原点对称 且 f x x2 2x 1 求 g x 的解析式 2 解不等式 g x f x x 1 解 1 设函数 y f x 的图象上任一点 Q x0 y0 关于原点的对称点为 P x y 则Error Error 即Error Error 点 Q x0 y0 在函数 y f x 的图象上 y x2 2x 即 y x2 2x 故 g x x2 2x 2 由 g x f x x 1 可得 2x2 x 1 0 当 x 1 时 2x2 x 1 0 此时不等式无解 当 x 1 时 2x2 x 1 0 1 x 1 2 因此 原不等式的解集为 1 1 2 14 如右图所示 有一块半径为 R 的半圆形钢板 计划剪裁成 等腰梯形 ABCD 的形状 它的下底 AB 是 O 的直径 且上底 CD 的端点在圆周上 写出梯形周长 y 关于腰长 x 的函数关系式 并求 出它的定义域 解 AB 2R C D 在 O 的半圆周上 设腰长 AD BC x 作 DE AB 垂足为 E 连接 BD 那么 ADB 是直角 由此 Rt ADE Rt ABD AD2 AE AB 即 AE x2 2R CD AB 2AE 2R x2 R 所以 y 2R 2x 2R 即 y 2x 4R x2 R x2 R 再由Error Error 解得 0 x R 2 所以 y 2x 4R 定义域为 0 R x2 R2 15 已知函数 y f x 是定义在 R 上的周期函数 周期 T 5 函数 y f x 1 x 1 是 奇函数 又知 y f x 在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在 x 2 时函数取得最 小值 最小值为 5 1 证明 f 1 f 4 0 2 试求 y f x x 1 4 的解析式 3 试求 y f x 在 4 9 上的解析式 1 证明 y f x 是以 5 为周期的周期函数 f 4 f 4 5 f 1 又 y f x 1 x 1 是奇函数 f 1 f 1 f 4 f 1 f 4 0 2 解 当 x 1 4 时 由题意 可设 f x a x 2 2 5 a 0 由 f 1 f 4 0 得 a 1 2 2 5 a 4 2 2 5 0 解得 a 2 5 f x 2 x 2 2 5 1 x 4 3 解 y f x 1 x 1 是奇函数 f 0 f 0 f 0 0 又 y f x 0 x 1 是一次函数 可设 f x kx 0 x 1 f 1 2 1 2 2 5 3 又 f 1 k 1 k k 3 当 0 x 1 时 f x 3x 当