2011届高考数学 必看之-知识点总结 不等式

高中数学第六章高中数学第六章 不等式不等式 考试内容 考试内容 不等式 不等式的基本性质 不等式的证明 不等式的解法 含绝对值的不等 式 考试要求 考试要求 1 理解不等式的性质及其证明 2 掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的 定理 并会简单的应用 3 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 4 掌握简单不等式的解法 5 理解不等式 a b a b a b 06 06 不不不不 等等等等 式式式式 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 不等式的基本概念 1 不等 等 号的定义 0 0 0babababababa 2 不等式的分类 绝对不等式 条件不等式 矛盾不等式 3 同向不等式与异向不等式 4 同解不等式与不等式的同解变形 2 不等式的基本性质 1 abba 对称性 2 cacbba 传递性 3 cbcaba 加法单调性 4 dbcadcba 同向不等式相加 5 dbcadcba 异向不等式相减 6 bcaccba 0 7 bcaccba 0 乘法单调性 8 bdacdcba 0 0 同向不等式相乘 9 0 0 ab abcd cd 异向不等式相除 11 10 0ab ab ab 倒数关系 11 1 0 nZnbaba nn 且 平方法则 12 1 0 nZnbaba nn 且 开方法则 3 几个重要不等式 1 0 0 2 aaRa则若 2 2 2 2 2222 ababbaabbaRba 或则 若 当仅当 a b 时取等号 3 如果a b都是正数 那么 2 ab ab 当仅当 a b 时取等号 极值定理 若 x yRxyS xyP 则 如果 P 是定值 那么当x y时 S 的值最小 1 如果 S 是定值 那么当x y时 P 的值最大 2 利用极值定理求最值的必要条件 一正 二定 三相等 3 3 abc abcRabc 4 若 则 当仅当 a b c 时取等号 0 2 ba ab ab 5 若则 当仅当 a b 时取等号 2222 6 0 axaxaxaxaxaxaaxa 时 或 7 bababaRba 则 若 4 几个著名不等式 1 平均不等式 如果a b都是正数 那么 22 2 11 22 abab ab ab 当仅 当 a b 时取等号 即 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 a b为正数 特别地 22 2 22 abab ab 当a b时 22 2 22 abab ab 33 2 222 时取等cbaRcba cbacba 幂平均不等式 2 21 22 2 2 1 1 nn aaa n aaa 注 例如 22222 acbdabcd 常用不等式的放缩法 2 1111111 2 1 1 1 1 n nnn nnn nnn 111 11 1 121 nnnnn nnnnn 2 柯西不等式 时取等号当且仅当 则若 n n nnnn nn b a b a b a b a bbbbaaaababababa RbbbbRaaaa 3 3 2 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 321321 3 琴生不等式 特例 与凸函数 凹函数 若定义在某区间上的函数 f x 对于定义域中任意两点 1212 x x xx 有 12121212 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 则称 f x 为凸 或凹 函数 5 不等式证明的几种常用方法 比较法 综合法 分析法 换元法 反证法 放缩法 构造法 6 不等式的解法 1 整式不等式的解法 根轴法 步骤 正化 求根 标轴 穿线 偶重根打结 定解 特例 一元一次不等式ax b解的讨论 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 解的讨论 2 分式不等式的解法 先移项通分标准化 则 0 0 0 0 0 f x g x f xf x f x g x g xg xg x 3 无理不等式 转化为有理不等式求解 0 0 f x f xg xg x f xg x 定义域 1 0 0 0 0 2 xg xf xgxf xg xf xgxf或 2 0 0 xgxf xg xf xgxf 2 3 4 指数不等式 转化为代数不等式 1 01 0 0 lglg f xg xf xg x f x aaaf xg xaaaf xg x ab abf xab 5 对数不等式 转化为代数不等式 0 0 log log 1 0 log log 01 0 aaaa f xf x f xg x ag xf xg xag x f xg xf xg x 6 含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值 应用数形思想 1 2 应用化归思想等价转化 3 0 0 0 0 xgxfxgxf xg xgxfxgxgxf xgxfxg xg xgxf 或 或不同时为 注 常用不等式的解法举例 x为正数 23 11 24 1 2 1