2014年高考理科数学新课标卷2试题及答案

绝密 启用前 6 月 17 日 15 00 17 00 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 卷 数数 学学 理科理科 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前考生务必将自己的姓名 准考证号 填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束 将试题卷和答题卡一并交回 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 50 分 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 M 0 1 2 集合 N x x2 3x 20 则 M N A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 2 设复数 z1 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称 z1 2 i 则 z1z2 A 5 B 5 C 4 i D 4 i 3 设向量 a b 满足 a b a b 则 a b 106 A 1 B 2 C 3 D 5 4 锐角三角形 ABC 的面积是 AB 1 BC 则 AC 1 2 2 A 5 B C 2 D 15 5 某地区空气资料表明 一天的空气质量为优良的概率是 0 75 连续两天为优良的概率是 0 6 已知某天的空气质量为优 良 则随后一天的空气质量为优良的概率是 A 0 8 B 0 75 C 0 6 D 0 45 6 如图 网格纸上正方形小格的边长为 1 表示 1cm 图中粗线画出的是某零件的三视图 该零件由一个底面 半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到 则切削 掉的体积与原来毛坯体积的比值为 A B 17 27 5 9 C D 10 27 1 3 7 执行右面的程序框图 如果输入的 x t 均为 2 则输出的 S A 4 B 5 C 6 D 7 8 设曲线 y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为 y 2x 则 a A 0 B 1 C 2 D 3 否 输入 x t 开始 M 1 S 3 k t 结束 M Mx k 输出 S S M S k k 1 是 k 1 6 题图 9 设 x y 满足约束条件 则 z 2x y 的最大值为 70 310 350 xy xy xy A 10 B 8 C 3 D 2 10 设 F 为抛物线 C y2 3x 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 O 为坐标原点 则 OAB 的面积为 A B C D 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 11 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 M N 分别是 A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 A B C D 1 10 4 5 3 10 10 2 2 12 设函数 f x sin 若存在 f x 的极值点 x0满足 则 m 的取值范围是 3 x m 222 0 xf xm A 6 6 B 4 4 C 2 2 D 2 2 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题 第本卷包括必考题和选考题 第 13 题题 第第 21 题为必考题 每个试题考生都必修作答 第题为必考题 每个试题考生都必修作答 第 22 题题 第第 24 题为题为 选考题 考生根据要求作答 选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 x a 10的展开式中 x7的系数为 15 则 a 用数字作答 14 函数 f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 15 已知偶函数 f x 在上单调递减 f 2 0 若 f x 1 0 则 x 的取值范围是 0 16 设点 M x0 1 若圆 O x2 y2 1 上存在点 N 使得 OMN 45 则 x0的取值范围是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 3an 1 I 证明 an 是等比数列 并求 an 的通项公式 1 2 II 证明 123 11113 2 n aaaa 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 I 证明 PB 平面 AEC II 设二面角 D AE C 为 60 AP 1 AD 求三棱锥 E ACD 的体积 3 19 本小题满分 12 分 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯 y 单位 千克 的数据如下表 年 份2007200820092010201 1 20122013 年份代号 t1234567 人均纯收入 y2 93 33 64 44 85 25 9 I 求 y 关于 t 的线性回归方程 II 利用 I 中的回方程 分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况 并预测该 地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附 回归直线的低斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i ttyy baybt tt 19 本小题满分 12 分 设 F1 F2分别是椭圆 C 的左 右焦点 M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直 22 22 1 0 xy ab ab 直线 MF1与 C 的另一个焦点交为 N P B C D E A I 若直线 MN 的斜率为 求 C 的离心率 3 4 II 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 MN 5 F1N 求 a b 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 xx eex I 讨论 f x 的单调性 II 设 g x f 2x 4bf x 当 x 0 时 g x 0 求 b 的最大值 III 已知 1 4142 0 1 a I 证明 f x 2 II 若 f 3 二 填空题 13 解析解析 2 1 2 1 15a 15xax 33 10 7373 10 aaCC故 14 解析解析 1 1 sin sin cos cos sin cos sin2 sin cos cos sin cos sin2 2sin 最大值为x xx xxx xxxf 15 解析解析 0 2 0 0 2 1 0 1 2 1 3 1 2 1 3 yf xf f xx f xxx xxx 偶函数在上单增 且 可得的解集为 于是的解集为 解得 故解集为 解得 16 解析解析 1 1 x 1 1 x 1 M x1 yO 00 0 故形外角知识 可得由圆的切线相等及三角 在直线上其中和直线在坐标系中画出圆 三三 解答题 解答题 17 解析 解析 1 的等比数列 公比为是首项为3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 13 2 1 a N n13 1 1 1n 11 aa aa aaa n nn nn 2 证毕 所以 时 当 知 由 2 31111 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1111 3 1 1 3 21 1 1 1 1 3 21 2 1 3 2 3 2 1 1 321 1 21 321 1 1 Nn aaaa aaaa a n a a aa n n n n n nn n n n n n n n 18 解析解析 1 连结 BD 交 AC 于点 O 连结 EO 因为 ABCD 为矩形 所 O 为 BD 中点 又 E 为 PD 中点 所以 EO PB EO平面 AEC PB平面 AEC 所以 PB 平面 AEC 2 设 CD m 分别以 AD AB AP 为 X Y Z 轴建立坐标系 则 的体积为所以 三棱锥 的高即为三棱锥 面且的中点 则为设 解得 解得一个 则法向量为同理设平面 解得一个 则法向量为设平面 8 3 8 3 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 3 2 1 33 3 cos 3 cos 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0 2 3 0 0 3 0 3 2 1 0 2 3 0 0 3 0 0 0 22 22 22 22 2 222222 1 111111 ACDE EFSVACDE ACDEF EF PAEFPAADF m mmnn nn nn mmn AEnACnzyxnACE n AEnADnzyxnADE mACAEAD mCEDA ACDACDE y b 20 解析解析 1 2 1 2 1 02 32 4 3 2 1 4 3 2222 2 21 1 的离心率为解得 联立整理得 且由题知 Ce eecba ca b FF MF 2 72 7 72 7 1 4 2 3 2 3 4 4 22 222 1111 11 2 2 ba bacba a c eNFMFceaNFecaMF ccNM mMFmNF a b MF 所以 联立解得 且 由焦半径公式可得两点横坐标分别为 可得由两直角三角形相似 由题可知设 即知 由三角形中位线知识可 21 解析 解析 1 0 2 1 2 2 1 2 2 上单增在所以 Rxf e e e eeexfRxxeexf x x x xxxxx 2 2 22 0 0 0 2 2 2 0 0 tt 0 x 2 2 2 0 0 0mm 0 x 2 2 2 0 2 2 2 0 2 4 4 22 0 0 mm 0 x 2 4 4 22 0 0 0 2 4 4 0 0 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 的最大值为 所以 即即 且 即即 使 则 同理 令 即 即 使 则令 bbeeeebee eeeebeeeeeebee xmeebeexm meebeexm eebee eebee xheebeexh hxxeebxeexh xxeebxeexbfxfxg xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 3 由 2 知 g ln 0 ln2 0 69282