2014圆锥曲线解答第一问专项练习

1 已知定点 3 0 G S是圆 22 3 72Cxy C 为圆心 上的动点 SG的垂直 平分线与SC交于点E 设点E的轨迹为 M 1 求 M 的方程 2 平面直角坐标系 xOy 中 过椭圆 M 右焦点的直线 22 22 1 0 xy ab ab 交于 A B 两点 P 为 AB 的中点 且 OP 的斜率为 30 xy M 1 2 求 M 的方程 3 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的两个焦点和上下两个顶点是一个边 12 F F 12 B B 长为 2 且 F1B1F2为的菱形的四个顶点 60 1 求椭圆C的方程 4 在平面直角坐标系xoy中 点为动点 12 F F分别为椭圆 0 P a b ab 22 22 1 xy ab 的左右焦点 已知 12 FPF为等腰三角形 1 求椭圆的离心率e 2 设 直线 2 PF与椭圆相交于 A B两点 M是直线 2 PF上的点 满足2AM BM A 求点 M的轨迹方程 将代入得 2 1815 16 3 x y x 3 3 cxy 2 105 16 x c x 5 14 2010 辽宁 设椭圆 C 的左焦点为 F 过点 F 的直线与 椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60 1 求椭圆 C 的离心率 2 如果 AB 求椭圆 C 的方程 解答 解 设 A x1 y1 B x2 y2 由题意知 y1 0 y2 0 1 直线 l 的方程为 其中 联立 得 解得 因为 所以 y1 2y2 即 2 解得离心率 6 分 2 因为 由 得 所以 解得 a 3 故椭圆 C 的方程为 12 分 6 已知双曲线 C 的方程为 1 a 0 b 0 离心率 顶点到渐近线的距 离为 I 求双曲线 C 的方程 解答 解 由题意知 双曲线 C 的顶点 O a 到渐近线 ax by 0 的距离为 由 得 双曲线 C 的方程为 7 已知直线 x 2y 2 0 经过椭圆的左顶点 A 和上顶点 D 椭 圆 C 的右顶点为 B 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点 直线 AS BS 与直线 分别交于 M N 两点 1 求椭圆 C 的方程 解 1 由已知得 椭圆 C 的左顶点为 A 2 0 上顶点为 D 0 1 a 2 b 1 故椭圆 C 的方程为 4 分 8 已知曲线所围成的封闭图形的面积为 曲线 C1 的内切圆半径为 记 C2为以曲线 C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆 求椭圆 C2的标准方程 解 由题意得 又 a b 0 解得 a2 5 b2 4 因此所求椭圆的标准方程为 9 已知椭圆的左右焦点分别为 F1和 F2 由 4 个点 M a b 0 1 2 2 2 2 ba b y a x N a b F2和 F1组成了一个高为 面积为的等腰梯形 333 1 求椭圆的方程 解 1 由条件 得 b 且 3333 2 22 ca 所以 a c 3 2 分 又 解得 a 2 c 1 3 22 ca 所以椭圆的方程 4 分1 34 22 yx 10 已知动圆P过点 5 0N并且与圆 2 2 516Mxy 相外切 动圆圆心 P的轨迹为W 轨迹W与x轴的交点为D 求轨迹W的方程 解 由已知 42 5PMPNMN 点P的轨迹是以NM 为焦点的双曲线的右支 且 2 5 1acb 轨迹W的方程为 2 2 12 4 x yx 4 分 11 已知点 A 2 0 在椭圆上 设椭圆 E 与 y 轴正半轴的 交点为 B 其左焦点为 F 且 AFB 150 1 求椭圆 E 的方程 解 1 AFB 150 OFB 30 O 为坐标原点 在直角 BOF 中 FB 2 OB a 2b 点 A 2 0 在椭圆上 a 2 b 1 椭圆 12 设椭圆 直线 l 过椭圆左焦点 F1且不与 x 轴重合 l 椭圆 交于 P Q 左准线与 x 轴交于 K KF1 2 当 l 与 x 轴垂直时 1 求椭圆 T 的方程 解 1 设椭圆半焦距为 c 将 x c 代入椭圆方程得 所以 a2 3 b2 2 所求椭圆方程为 13 在平面直角坐标系中 已知焦距为 4 的椭圆左 右顶 点分别为 A B 椭圆 C 的右焦点为 F 过 F 作一条垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R S 若线段 RS 的长为 1 求椭圆 C 的方程 解 1 依题意 椭圆过点 故 解得 3 分 椭圆 C 的方程为 4 分 14 如图 已知椭圆 C 的离心率为 以椭圆 C 的左顶点 T 为 圆心作圆 T x 2 2 y2 r2 r 0 设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N 1 求椭圆 C 的方程 解 1 依题意 得 a 2 c b 1 故椭圆 C 的方程为 3 分 15 已知椭圆 F1 F2分别为椭圆 C 的左 右焦点 A1 A2 分别为椭圆 C 的左 右顶点 过右焦点 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 在第一象限的交 点为 M 1 求椭圆 C 的标准方程 解 1 过右焦点 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 在第一象限的交点为 M b2 a2 c2 a2 3 点在椭圆上 3a2 9 4a2 a4 3a2 a4 10a2 9 0 a2 9 a2 1 0 a2 9 或 a2 1 c2 舍去 b2 a2 c2 6 椭圆 C 的方程为 4 分 16 已知椭圆 C a b 0 的左右焦点 F1 F2与短轴一端点的连线互相垂直 M 为椭圆上任一点 且 MF1F2的面积最大值为 1 1 求椭圆 C 的方程 解 1 椭圆中 由题意可知 4 分 b c 1 椭圆方程为 6 分 17 已知椭圆 a b 0 的离心率为 且椭圆上一点与椭圆的两个焦 点构成的三角形周长为 求椭圆 M 的方程 解 因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 所以 又椭圆的离心率为 即 所以 2 分 所以 a 3 所以 b 1 椭圆 M 的方程为 3 分 18 设椭圆M 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 2 点A a 0 B 0 b 原点O到直线AB的距离为 2 3 3 求椭圆M的方程 由 2222 2 222 1 1 2 cabb e aaa 得2ab 由点A a 0 B 0 b 知直线AB的方程为1 xy ab 于是可得直线AB的方程为220 xyb 因此 22 002 22 3 33 1 2 bb 得2b 2 2b 2 4a 所以椭圆M的方程为 22 1 42 xy 19 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形 记为 Q 求椭圆 C 的方程 解 依题意 设椭圆 C 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 焦距为2c 由题设条件知 2 8 abc 所以 22 1 4 2 ba 故椭圆 C 的方程为 22 1 84 xy 20 如图 已知 O 2 2 28xy 及点A 2 0 在 O 上任取一点A 连AA 并作 AA 的中垂线 l 设 l