北京市2010年高三数学高考专题解析（1）

用心 爱心 专心 20102010 年高考数学好题解析 年高考数学好题解析 1 1 一 选择题 1 若函数 2 log 3 01 a f xxaxaa 且 满足对任意的 1 x 2 x 当 2 21 a xx 时 0 21 xfxf 则实数a的取值范围为 A 3 1 1 0 B 3 1 C 32 1 1 0 D 32 1 2 设 tan tan是方程0433 3 xx的两根 且 2 2 2 2 则 的值为 A 3 2 B 3 C 3 2 3 或D 3 2 3 或 3 过曲线 3 3 xxyS 上一点 2 2 A的切线方程为 A 2 yB 2 y C 0169 yxD 20169 yyx或 4 如图 在多面体 ABCDFE 中 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形 EF AB EF 2 3 EF 与 面 ABCD 的距离为 2 则该多面体的体积为 A 2 9 B 5C 6 D 2 15 5 已知长方形的四个项点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 和 D 0 1 一质点从 AB 的 中点 P0沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1后 依次反射到 CD DA 和 AB 上的点 P2 P3和 P4 入射解等于反射角 设 P4坐标为 44 0 1x2 tanx 若则的取值 范围是 A 1 3 1 B 3 2 3 1 C 2 1 5 2 D 3 2 5 2 6 对任意 0 2 都有 A sin sin cos cos cos B sin sin cos cos cos C sin cos cos sin cos D sin cos cos cos sin 用心 爱心 专心 二 填空题 7 集合 NxxM x 2 1 10log1 1 的真子集的个数是 8 椭圆1 259 22 yx 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m 则当 m 取最大值时 点 P 的 坐标是 三解答题 9 已知函数 为实数 有极值 且在处的切 线与直线平行 1 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使得函数的极小值为 1 若存在 求出实数a的值 若不 存在 请说明理由 3 设令求证 10 已知函数axaxaxaxf4 125 49 21 23 R a 1 当a 0 时 求函数 xf的单调递增区间 2 若函数 xf在区间 0 2 上的最大值为 2 求a的取值范围 用心 爱心 专心 11 已知在函数 3 f xmxx 的图象上以N 1 n 为切点的切线的倾斜角为 4 1 求m n的值 2 是否存在最小的正整数k 使不等式 1992 kxf 对于 3 1 x 恒成立 求 出最小的正整数k 若不存在说明理由 用心 爱心 专心 参考答案 一 选择题 1 D 解析 对任意的 x1 x2 当 2 21 a xx 时 0 21 xfxf 实质上就是 函 数单调递减 的 伪装 同时还隐含了 xf有意义 事实上由于 3 2 axxxg在 2 a x 时递减 从而 0 2 1 a g a 由此得 a 的取值范围为 32 1 故选 D 2 A 解析 由韦达定理知0tan 0tan 0tantan 0tantan 且故 从而 0 2 0 2 故 3 2 故选 A 3 D 解析 当点 A 为切点时 所求的切线方程为0169 yx 当 A 点不是切点时 所 求的切线方程为 2 y故选 D 4 D 解析 由已知条件可知 EF 平面 ABCD 则 F 到平面 ABCD 的距离为 2 VF ABCD 3 1 32 2 6 而该多面体的体积必大于 6 故选 D 5 C 解析 考虑由 P0射到 BC 的中点上 这样依次反射最终回到 P0 此时容易求出 tan 2 1 由题设条件知 1 x4 2 则 tan 2 1 排除 A B D 故选 C 6 D 解析 当 0 时 sin sin 0 cos 1 cos cos cos1 故排除 A B 当 2 时 cos sin cos1 cos 0 故排除 C 因此选 D 二 填空题 7 解析 NxxxxM 10010Nx2 lgx1 显然集合 M 中有 90 个 用心 爱心 专心 元素 其真子集的个数是1290 应填1290 8 解析 记椭圆的二焦点为 21 FF 有 102 21 aPFPF 则知 25 2 2 21 21 PFPF PFPFm 显然当5 21 PFPF 即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时 m 取得最大值 25 故应填 0 3 或 0 3 三解答题 9 解析 有极值 故方程有两个不等实根 由 可得 故实数a的取值范围是 2 存在 0 0 极大值极小值 的极小值为 1 用心 爱心 专心 3 证明 当 n 1 时 左边 0 右边 0 原式成立 假设当 n k 时结论成立 即 当 n k 1 时 左边 当且仅当 x 1 时等号成立 即当时原式也成立 综上当成立 10 解析 1 当a 0 时 f x x3 4x2 5x 3 5 1 3583 2 xxxxxf 0 所以 f x 的单调递增区间为 1 3 5 2 解 一方面由题意 得 2 2 2 1 2 0 f f f 即 2 1 0 a 另一方面当 2 1 0 a时 f x 2x3 9x2 12x 4 a x3 4x2 5x 令g a 2x3 9x2 12x 4 a x3 4x2 5x 则 g a max g 0 g 2 1 max x3 4x2 5x 2 1 2x3 9x2 12x 4 x3 4x2 5x max x3 4x2 5x 2 1 x2 x 2 f x g a max x3 4x2 5x 2 1 x2 x 2 用心 爱心 专心 又 20 max x x3 4x2 5x 2 20 max x 2 1 x2 x 2 2 且f 2 2 所以当 2 1 0 a时 f x 在区间 0 2 上的最大值是 2 综上 所求 a的取值范围是 2 1 0 a 11 解析 1 13 2 mxxf 3 1 3 2 1 4 tan 1 nmf 2 令 2 2 0 2 2 2 2 2 xxxxf则 在 1 3 中 0 2 2 1 xfxfx 时 在此区间为增函数 2 2 2 2