山东省2014届高三数学 备考2013届名校解析试题精选分类汇编7 立体几何

1 山东省山东省 20142014 届高三理科数学备考之届高三理科数学备考之 20132013 届名校解析试题精选分类汇编届名校解析试题精选分类汇编 7 7 立体几何立体几何 一 选择题 1 山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学 有一平行六面体的三视图如图所示 其中俯 视图和左视图均为矩形 则这个平行六面体的表面积为 A 21 3B 6 15 3 C 306 3 D 42 答案 C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形 两个侧面和底面垂直 其中侧棱 1 2AA 底 面边长3AD 平行六面体的高为3 2BE 又 2222 11 2 3 1AEAAAE 所以 123AB 所以平行六面体的表面积为2 3 3333 2 306 3 选C 2 山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学 如图所示是以建筑物的三视图 现需 将其外壁用油漆刷一遍 若每平方米用漆 0 2kg 则共需油漆大约公斤数为 尺寸如图所示 单位 米 取 3 2 A 20B 22 2C 111D 110 答案 B 解析 由三视图可知 该几何体上面是个圆锥 下面是个长方体 长方体的底面是边长为 3 的正方形 高 为 4 所以长方体的表面积 去掉上下两个底面 为 2 4 3 4 48 m 圆锥的底面半径为 3 母线为 5 所以圆锥的侧面积为 2 3 51545 m 底面积 去掉一个正方形 为 2 93 39918 m 所以该几何体的总面积为 2 4845 18111 m 所以共需油漆 0 2 11122 2 公斤 选B 3 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 一个几何体的三视图如图所示 其中俯视图 与左视图均为半径是2的圆 则这个几何体的表面积是 正视图 俯视图 左视图 A 16 B 14 C 12 D 8 答案 A 由三视图可知 该几何体是一挖去 1 2 半球的球 其中两个半圆的面积为 2 24 3 4 个 球的表面积为 2 3 4212 4 所以这个几何体的表面积是12416 选 A 4 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 已知m n为两条不同的直线 为两 个不同的平面 则下列命题中正确的是 A 若lm ln 且 m n 则l 3 B 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等 则 C 若nmm 则 n D 若 nnm 则 m 答案 D 根据线面垂直的性质可知 选项 D 正确 5 山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学 理 试题 设 a b 是不同的直线 是 不同的平面 则下列命题 若 baba则 若 aa则 若 aa则 若 则 baba 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 答案 B 解析 当 ab a 时b与 可能相交 所以 错误 中a 不一定成立 中a 或 a 所以错误 正确 所以正确的个数有 1 个 所以选B 6 山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题 如右图 某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形 则该几何体的体积是 A 6 5 B 3 2 C 1D 2 1 答案 A 由题意三视图对应的几何体如图所示 所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积 即 3 115 11 1 1 326 选 A 7 山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 4 l m l m l m l m 其中正确命题的序号是 A B C D 答案 C 解析 当 时 有l 所以lm 所以 正确 若 lm 则m 又m 平面 所以 所以 正确 不正确 所以选 C 8 山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学 已知 m n 是两条不同直线 是两个不同 平面 给出四个命题 若 m nnm 则 若 mm 则 若 mnmn 则 若 mnmn 则 其中正确的命题是 A B C D 答案 B 由面面垂直的性质可知 正确 9 山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 答案 C 解析 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线可能平行 也可能相交或异面 所以错误 B 中 若三点共线 则两平面不一定平行 所以错误 C正确 D 若两个平面都垂直于第三个平 面 则这两个平面平行或相交 所以错误 所以命题正确的为 C 选C 10 山东省滨州市 2013 届高三第一次 3 月 模拟考试数学 理 试题 一个几何体的三视图如图所 示 则该几何体的体积为 A 1B 1 3 C 1 2 D 3 2 答案 B 由三视图可知 该几何体是四棱锥 以俯视图为底 高为 1 俯视图的面积为1 1 1 使用四 棱锥的体积为 11 1 1 33 选B 11 山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 理 试题 已知m n是两条不同的直线 5 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 若 mn 且 mn 则 若 m m 则 若 m n 且 mn 则 其中正确命题的序号是 A B C D 答案 B 解析 当 m 时 不一定成立 所以错误 成立 成立 m n 且 mn 也可能相交 所以错误 所以选B 12 山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学 理 试题 一个几何体的三视图如图所示 其中的 长度单位为 cm 则该几何体的体积为 cm3 A 18B 48C 45D 54 答案 D 由三视图可知 该几何体时底面是矩形的四棱柱 以俯视图为底 底面直角梯形的上底为 4 下底为 5 高为 3 棱柱的高为 4 所以四棱柱的体积为 3 45 3 454 2 cm 选D 13 2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中 体积 最大的几何体的表面积为 A 13B 7 32C 7 2 D 14 答案 D 由正视图和俯视图可知 该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱 或水平放置的圆 柱 由图象可知四棱柱的体积最大 四棱柱的高为 1 底面边长分别为 1 3 所以表面积为 2 1 3 1 1 3 1 14 选D 14 山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学 某几何体的三视图如右图所示 则该几何体 的体积不可能是 6 A 1B 1 5C 2D 3 答案 D 由三视图可知 该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥 其中底面三角形BAC为直径三角形 PAABC 2AB 4PC 设 04ACxx 则 222 416PAxx 所以三棱锥的体积为 2222 2 11161 16 168 216 3233263 xxxx xx 当且仅当 2 16xx 即 2 8 82 2xx 时取等号 此时体积有最大值 82 2 33 所以该三棱锥的体积不可能是 3 选 D 15 解析 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 已知 m n 是空间两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题正确的是 A 若 m n 则 m nB 若 mn m n 则 C 若 m 则m D 若 mm 则 答案 D 解析 根据线面垂直的判和性质可知 D 正确 16 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A 一个几何体的三视图如图所示 其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形 若该几何体的所有顶点在同一球面上 则该球的表面积是 A 12B 24C 32D 48 答案 D 7 解析 该几何体的直观图如图 1 所示 它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥 其中底面 ABCD 是边长 为 4 的正方形 高为 CC1 4 该几何体的所有顶点在同一球面上 则球的直径为 1 4 32ACR 所以 球的半径为 2 3R 所以球的表面积是 22 44 2 3 48R 选D 17 山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学 一个锥体的主视图和左视图如图所示 下面 选项中 不可能是该锥体的俯视图的是 答案 C 解析 若俯视图为 C 则俯视图的宽和左视图的宽长度不同 所以俯视图不可能是C 18 山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 二模 数学 理 试题 一个四棱锥的底面为正方形 其 三视图如图所示 则这个四棱锥的体积是 A 1B 2C 3D 4 答案 B 由题设及图知 此几何体为一个四棱锥 其底面为一个对角线长为 2 的正方形 故其底面 积为 1 41 12 2 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高 其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线 8 组成一个直角三角形由于此侧棱长为13 对角线长为 2 故棱锥的高为 22 13 293 此 棱锥的体积为 1 2 32 3 选B 19 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学 一个几何体的三视图如右图所示 则它的体积 为 第 11 题图 A 20 3 B 40 3 C 20D 40 答案 B 由三视图可知 该几何体是一个放到的四棱锥 其中四棱锥的底面是主视图 为直角梯形 直角梯形的 上底为 1 下底为 4 高为 4 棱锥的高位 4 所以四棱锥的体积为 11440 4 4 323 选 B 20 山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理 如图 若一个空间几何体的三视图中 正视图和 侧视图都是直角三角形 其直角边均为 1 则该几何体的体积为 A 1 3 B 1 2 C 1 6 D 1 答案 A 解析 由三视图可知 该几何体是四棱锥 底面为边长为 1 的正方形 高为 1 的四棱锥 所以体积为 9 11 1 1 1 33 选 A 21 山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学 某几何体的三视图如图 其中侧视图中的圆弧 是半圆 则该几何体的表面积为 A 92 14 B 82 14 C 9224 D 8224 答案 A 由几何体的三视图 知该几何体的下半部分是长方体 上半部分是半径为 2 高为 5 的圆柱 的一半 长方体的中445EHHGGK 所以长方体的表面积为 去掉一个上底面 2 4 44 5 4 5 92 半圆柱的两个底面积为 2 2 4 半圆柱的侧面积为2 5 10 所 以整个组合体的表面积为92 410 92 14 选 A 22 山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 理 试题 一个几何体的三视图如下所示 则该 几何体的表面积是 A 68 3 B 127 3 C 128 3 D 182 3 答案 C 解析 由三视图可知 该几何体是一个直三棱柱 三棱柱的底面是一个腰长为 2 底面上的高是 1 的 等腰三角形 侧棱长是 3 所以该几何体的表面积为 1 22 3 1 3 222 3 128 3 2 选 C 23 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A 设 m n是两条不同直线 是两个不同的平面 下列命题正确的是 2 4 侧视图 第 7 题图 6 正视图 俯视图 4 5 10 A mnmn 且则B mn 且 则mn C mnmn 则 D mnmn 则 答案 B 解析 A 中直线 m n也有可能异面 所以不正确 B 正确 C 中 不一定垂直 错误 D 当 m n相交 时 结论成立 当 m n不相交时 结论错误 所以选B 二 填空题 24 山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 已知一圆柱内接于球 O 且圆柱的底面直径与 母线长均为 2 则球为 O 的表面积为 答案 8 圆柱的底面直径与母线长均为 2 所以球的直径 22 2282 2 即球半径为 2 所以球的表面积为 2 4 2 8 25 山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 理 试题 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径 为 5 的球 O 的球面上 且 则棱锥的体积为 8 2 3ABBC OABCD 答案 16 2 球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上 所以对角线长为 所以棱锥的高为 22 8 2 3 2 19 所以棱锥的体积为 22 5 19 6 1 68 2 316 2 3 26 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学 一空间几何体的三视图如图所示 该几何体的 体积为 8 5 16 3 则图中 x 的值为 答案 3 由三视图可知 该几何体下面是个圆柱 上面是个四棱锥 圆柱的体积为4416 四棱 锥的底面积为 1 4 48 2 所以四棱锥的体积为 18 8 33 h h 所以 8 58 1616 33 h 所以 四棱锥的高5h 所以 222 2549xh 即3x 三 解答题 27 山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AD DC CB 1 ABC 60o 四边形 ACFE 为矩形 平面 ACFE 平面 ABCD CF 1 1 求证 BC 平面 ACFE 11 2 点 M 在线段 EF 上运动 设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 90o 试求 cos 的取 值范围 答案 28 解析 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 如图 1 OA的直径 AB 4 点 C D 为OA上两点 且 CAB 45 DAB 60 F 为弧 BC 的中点 沿直径 AB 折起 使两个半圆所在平面互 相垂直 如图 2 I 求证 OF 平面 ACD 12 II 求二面角 C AD B 的余弦值 在弧 BD 上是否存在点 G 使得 FG 平面 ACD 若存在 试指出点 G 的位置 若不存在 请说明理由 答案 方法一 证明 如右图 连接CO AB C D O F G E 45 CAB ABCO 又F 为弧BC的中点 45 FOB ACOF OF 平面ACD AC平面ACD OF平面ACD 解 过O作ADOE 于E 连CE ABCO 平面ABC 平面ABD CO 平面ABD 又 AD 平面ABD ADCO AD平面CEO CEAD 则 CEO是二面角C AD B的平面角 60 OAD 2 OA 3 OE 由CO 平面ABD OE平面ABD 得CEO 为直角 三角形 2 CO 7 CE CEO cos 7 3 7 21 取弧BD的中点G 连结OG FG 则 60BOGBAD ADOG OF平面ACD 平面 OFG平面ACDFG 平面ACD 因此 在弧BD上存在点G 使得FG 平面ACD 且点G为弧BD的中点 方法二 证明 如图 以AB所在的直线为y轴 以OC所在的直线为z轴 以O为原点 建立空 间直角坐标系xyzO AB C D O F G x y z 则 0 2 0A 200 C 2 2 0 0 2 0 2 0 0 AC 13 点F为弧BC的中点 点F的坐标为 0 22 2 2 0 OF 2 2 OFAC 解 60DAB 点D的坐标 013 D 3 1 0 AD 设二面角 C AD B的大小为 1 nx y z 为平面ACD的一个法向量 由 1 1 0 0 nAC nAD 有 0 2 20 3 1 00 x y z x y z 即 220 30 yz xy 取1 x 解得3 y 3 z 1 n 331 取平面ADB的一个法向量 2 n 100 12 12 1 0 3 03 1 21 cos 77 1 n n n n 设在弧BD上存在点G 0 yx 2 2 yxFG 由 知平面ACD的一个法向量为n 331 2 2 yxnFG 331 036 2 3 yxyx 又因为 4 22 yx 由 两式联立解得 0 1 3 G 3 1 0OG 因为 3 1 0 AD 所 以ADOG 则G为弧BD的中点 因此 在弧BD上存在点G 使得FG 平面ACD 且点G为弧 BD的中点 29 山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 二模 数学 理 试题 在如图所示的几何体中 ABC 是边长为 2 的正三角形 1 AEAE 平面 ABC 平面BCD 平面 ABC BD CD 且 BDCD I 若 AE 2 求证 AC 平面 BDE II 若二面角 A DE B 为 60 求 AE 的长 答案 解 分别取BCBABE 的中点MNP 连接DMMNNPDP 14 B E D C A M N P 则MN AC NP AE 且 1 1 2 NPAE 因为BDCD 2BC M为BC的中点 所以DMBC 1DM 又因为平面BCD 平面ABC 所以DM 平面ABC 又AE 平面ABC 所以DM AE 所以DM NP 且DMNP 因此四边形DMNP为平行四边形 所以MN DP 所以AC DP 又AC 平面BDE DP 平面BDE 所以AC 平面BDE 或者建立空间直角坐标系 求出平面BDE的法向量 1 n 计算 1 0AC n即证 M B E D C A N 解法一 过M作MN ED的延长线于N 连接BN 因为BCAM BCDM 所以BC 平面DMAE ED 平面DMAE 则有BCED 所以ED 平面BMN BN 平面BMN 所以EDBN 所以MNB 为二面角AEDB 的平面角 即 60MNB 在Rt BMN 中 1BM 则 1 3 MN 2 3 BN 15 在Rt MND 中 6 3 DN 设1AEh 则 2 3DEh 所以 2 6 3 3 NEh 又 2 2 12BEh 在Rt BNE 中 222 BEBNNE 即 2 2 12h 2 2 2 26 3 33 h 解得6h 所以61AE 解法二 B E D C A M x y z 由 知DM 平面ABC AMMB 建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz 设AEh 则 0 0 0M 1 0 0B 0 0 1D 0 3 0A 0 3 Eh 1 0 1BD 1 3 BEh 设平面BDE的法向量 1 x y z n 则 1 1 0 0 BD BE n n 所以 0 30 xz xyzh 令1x 所以 1 1 1 1 3 h n 又平面ADE的法向量 2 1 0 0 n 所以 12 12 2 12 22 11 cos 2 1 11 3 h n n n n nn 16 解得61h 即61AE 30 山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学 理 试题 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边 形 ABCD 是矩形 AB EF 12 90 EFAEADABEAB 平面ABCDABFE平面 1 求证 BAFDAF面面 2 求钝二面角 B FC D 的大小 答案 解 1 BAFADABADABCDABFE平面 平面平面 DAFAD面又 BAFDAF面面 2 分别以 AD AB AE 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立的空间直角坐标系 则 A 0 0 0 D 1 0 0 C 1 2 0 E 0 0 1 B 0 2 0 F 0 1 1 101020 DEDC 1 0 1 1 1 0 0 0 0 n 1 1 1 1 nzx zx y DEn DC CDEFzyxn 即得令 的一个法向量 则为平面设 FBCAF BFABAFAFBBAFABCDABFE 面 中 在知平面由平面 2 22C 的一个法向量 为平面BCFAFn 1 1 0 2 17 2 1 cos 2 1 21 21 nn nn nn 120的大小为二面角 的平面角为钝角 二面角 DFCB DFCB 31 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 如图 几何体 111 ABCDBC D 中 四边形 ABCD为菱形 60BAD ABa 面 111 BC D 面ABCD 1 BB 1 CC 1 DD都垂直于面 ABCD 且 1 2BBa E为 1 CC的中点 F为AB的中点 求证 1 DB E 为等腰直角三角形 求二面角 1 BDEF 的余弦值 A B C D E F 1 B 1 C 1 D 答案 解 I 连接BD 交AC于O 因为四边形ABCD为菱形 60BAD 所以BDa 因为 1 BB 1 CC都垂直于面ABCD 11 BBCC 又面 111 BC D 面ABCD 11 BCBC 所以四边形 11 BCC B为平行四边形 则 11 BCBCa 因为 1 BB 1 CC 1 DD都垂直于面ABCD 则 2222 11 23DBDBBBaaa 2 222 6 22 aa DEDCCEa 2 222 1111 6 22 aa B EBCC Ea 所以 22 2222 11 66 3 4 aa DEB EaDB 所以 1 DB E 为等腰直角三角形 II 取 1 DB的中点H 因为 O H分别为 1 DB DB的中点 所以OH 1 BB 以 OA OB OH分别为 18 x y z轴建立坐标系 A B C D E F 1 B 1 C 1 D O H x y z 则 1 323 0 0 0 0 2 0 222244 aaa DEaa Ba Fa 所以 1 3233 0 2 0 22244 a DBaa DEaa DFaa 设面 1 DB E的法向量为 1111 nx y z 则 111 0 0n DBn DE 即 11 20ayaz 且 111 32 0 222 a axyaz 令 1 1z 则 1 0 2 1 n 设面DFE的法向量为 2222 nxyz 则 22 0 0nDFnDE 即 22 33 0 44 axay 且 222 32 0 222 a axyaz 令 2 1x 则 2 3 2 6 1 33 n 则 12 62 6 2 33 cos 218 31 33 n n 则二面角 1 BDEF 的余弦值为 2 2 32 2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学 如图 四边形 ABCD 为矩形 PD 平面 ABCD PD QA QA AD 1 2 PD I 求证 平面 PQC 平面 DCQ 若二面角 Q BP C 的余弦值为 3 5 求 AB AD 的值 19 答案 20 33 山东省滨州市 2013 届高三第一次 3 月 模拟考试数学 理 试题 如图 在四棱锥 PABCD 中 PA 底面ABCD DAB 为直角 AB CD 2 ADCDAB E F 分别为 PC CD的中点 求证 CD 平面BEF 设 PAkAB k 0 且二面角EBDC 的大小为30 求此时k的值 答案 34 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学 已知四棱锥PABCD 的底面ABCD是等腰 梯形 ABCD且 ACBD O ACBD与交于 2 22 2 POABCD POABCD 底面 21 EF 分别是ABAP 的中点 1 求证 ACEF 2 求二面角F OEA 的余弦值 第 18 题图 F E O D C A B P 答案 证明 1 EF 分别是ABAP 的中点 EF是PB的中位线 EFPB 由已知可知 POABCDPOAC ACBD ACPOB 面 PBPOB 面ACPB 5 分 ACEF F E O D C A B P 2 以 OB OC OP所在直线为x轴 y轴 z轴 建系 OB OC OP 22 F E O D C A B P x y z 由题设 2 1OAOBOCOD 0 2 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 ABCDP 1 1 0 0 1 1 OEOF 设平面OEF的法向量为 mx y z 0 0 m OE m OF 可得 1 1 1 m 平面OAE的法向量为 0 0 1 n 设二面角FOEA 为 3 cos 3 m n m n 35 山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学 已知正三棱柱 111 ABCABC 中 AB 2 1 3AA 点 D 为 AC 的中点 点 E 在线段 1 AA上 I 当 1 1 2AE EA 时 求证 1 DEBC 是否存在点 E 使二面角 D BE A 等于60 若存在求 AE 的长 若不存在 请说明理由 答案 23 36 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A 如图 五面体中 四边形 ABCD 是矩形 DA 面 ABEF 且 DA 1 AB EF 2 22 2 1 BEAFEFAB P Q M 分别为 AE BD EF 的中点 I 求证 PQ 平面 BCE II 求证 AM 平面ADF 答案 24 37 山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 理 试题 如图在多面体 ABCDEF 中 ABCD 为 正方形 ED平面 ABCD FB ED 且 AD DE 2BF 2 I 求证 ACEF II 求二面角 C EF D 的大小 III 设 G 为 CD 上一动点 试确定 G 的位置使得 BG 平面 CEF 并证明你的结论 答案 25 38 山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学 已知四棱锥PABCD 的底面是直角梯形 1 1 2 ABCD ADAB ADABCD PDABCD 面 2PD E是PC的中点 1 证明 BEPAD面 2 求二面角EBDC 的大小 26 第 20 题 答案 证明 取PD的中点为 F连接 EF 2 1 CDEFCDEF 又 CD 2 1 AB ABEFABEF CDAB 且 BE ABEF AF 是平行四边形 BEPADAFPAD BE PAD 又面 面 面 2 建系 以 DA DB DP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴 2 0 0 0 2 0 0 1 1 PCB 则 2 0 1 2 E 2 1 1 0 1 0 2 DBBE nx y z 设平面ED B的法向量为 0 2 0 2 xy xz 2 1 1 2 nxxxx 令 x 1 则 1 1 2 n F y z x 27 又因为 ABCD 0 0 1 m 平面的法向量为 2 2 cos nm二面角CBDE 为 450 39 山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学 如图所示 在棱锥P ABCD 中 PA 平面ABCD 底面ABCD为直角梯形 2 4PAADDCAB 且AB CD 90 BAD 求证 PCBC 求PB与平面PAC所成角的正弦值 答案 解 在直角梯形 ABCD 中 AC 22 取 AB 中点 E 连接 CE 则四边形 AECD 为正方形 AE CE 2 又 BE 2 2 1 AB 则ABC 为等腰直角三角形 BCAC 又 PA平面 ABCD BC平面ABCD BCPA 由APAAC 得 BC平面 PAC PC平面 PAC 所以PCBC 以A为坐标原点 AD AB AP分别为zyx 轴 建立如图所示的坐标系 则 2 0 0 P B 0 4 0 C 2 2 0 0 2 2 BC 2 4 0 BP 由 知BC即为平面 PAC 的一个法向量 5 10 cos BPBC BPBC BPBC 28 即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 5 10 40 山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理 如图 四棱锥 P ABCD 中 PB 底面 ABCD 底 面 ABCD 为直角梯形 90 2 ABCADBC ABADPB BCAD 点 E 在棱 PA 上 且 PE 2EA I 求证 CD 平面 PBD II 求二面角 A BE D 的余弦值 答案 29 41 山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 理 试题 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 将四条 边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥 P ABCD 30 1 当 Q 为 PC 为中点时 证明 PA 平面 BDQ 2 当等腰三角形的腰长为多少时 异面直线 PA 与 BC 所成的角为 60o 3 当侧棱与底面所成的角为 60o时 求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值 答案 31 42 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学 已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形 BCD 60 AB PB PD 2 PC 3 AC 与 BD 交于 O 点 H 为 OC 的中点 1 求证 PH 平面 ABCD 2 求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值 答案 32 33 43 山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学 三棱锥PABC 底面ABC为边长为 2 3的正三角形 平面PBC 平面ABC 2PBPC D为AP上一点 2ADDP O为底面 三角形中心 求证DO 面PBC 求证 BDAC 设M为PC中点 求二面角MBDO 的余弦值 P D C B A O 答案 证明 连结AO交BC于点E 连结PE O 为正三角形ABC的中心 2AOOE 且E为BC中点 又2ADDP DO PE DO 平面PBC PE 平面PBC DO 面PBC PBPC 且E为BC中点 PEBC 又平面PBC 平面ABC PE 平面ABC 由 知 DO PE DO 平面PBC DOAC 连结BO 则ACBO 又DOBOO AC 平面DOB ACBD 由 知 EA EB EP两两互相垂直 且E为BC中点 所以分别以 EA EB EP所在直线为 x y z轴 建立空间直角坐标系 如图 则 23 1 3 0 0 0 3 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0 322 ABPDCM 3 3 12 0 1 3 223 BMDB P D C B A O E x y z M 34 设平面BDM的法向量为 nx y z 则 2 30 3 3 31 0 22 n DBxyz n BMyz 令1y 则 3 1 3 3 n 由 知AC 平面DBO 33 0 AC 为平面DBO的法向量 3 3331 cos 31 3 12793 n AC n AC nAC 由图可知 二面角MBDO 的余弦值为 31 31 44 山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 本小题满分 1 如图 四边形 ABCD 中 ABAD AD BC A D 6 BC 4 AB 2 点 E F 分别在 BC AD 上 且 E 为 BC 中点 EF AB 现将四边 形 ABEF 沿 EF 折起 使二面角AEFD 等于60 I 设这 P 为 AD 的中点 求证 CP 平面 ABEF 求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值 答案 取AF的中点Q 连QE QP 则QP 1 2 DF 又4 2 DFECDF 且 EC 所以PQEC 即四边形PQEC