2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷解析版） (2)

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学 理工农医类 试题参考答案数学 理工农医类 试题参考答案 一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 分 2 2 2 512161 limlimlim2 133133 xxx axaxaxxaxaxx xxx xxx 故26 3 a a 4 其中且 的展开式中与的系数相等 则 1 3 n x nN 6a 5 x 6 xn A 6 B 7 C 8 D 9 解析 选 B 的通项为 故与的系数分别为和 1 3 n x 1 3 r r rn TCx 5 x 6 x 55 3 n C 66 3 n C 令他们相等 得 解得7 56 33 5 5 6 6 nn nn n 2 7 已知 a 0 b 0 a b 2 则的最小值是 14 y ab A B 4 7 2 C D 5 9 2 C D 15 220 2 解析 选 B 由题意 AC 为直径 设圆心为 F 则 圆的标准方程为FEBD 3 故 由此 易得 又 所 22 1310 xy 1 3F2 10AC 3 1 2 1 0 EF k 以直线 BD 的方程为 F 到 BD 的距离为 由此得 1 1 2 yx 1 1 3 2 5 5 2 所以四边形 ABCD 的面积为2 5BD 11 2 52 1010 2 22 AC BD A A 8 B 8 C 12 D 13 解析 选 D 设 则方程在区间 0 1 内有两个不 2 2f xmxkx 2 20mxkx 同的根等价于 因为 所以 故抛物线开 2 010 01 2 80 ff k m km 02f 120fmk 4 口向上 于是 令 则由 得 则0m 02km 1m 2 80km 3k 所以 m 至少为 2 但 故 k 至少为 5 又 所以 m 至 3 22 k m 2 80km 5 22 k m 少为 3 又由 所以 m 至少为 4 依次类推 发现当时 252mk 6 7mk 首次满足 所有条件 故的最小值为 13 m kmk 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 把答案写在答题卡相应位置上 分 把答案写在答题卡相应位置上 所以 7 cos2sincossincos 4 cos214 2 sin 4 15 设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域 包含边界 内 则圆C 2 2yx 3x 5 的半径能取到的最大值为 C 解析 为使圆的半径取到最大值 显然圆心应该在 x 轴上且与直线相61 C3x 切 设圆的半径为 则圆的方程为 将其与联立得 CrC 2 22 3xryr 2 2yx 令 并由 得 2 22960 xrxr 2 224 960rr 0r 61r 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程和清算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程和清算步骤 又因为 3 4 f 11 2 24 f 所以在上的最小值为 f x 11 424 11 2 24 f 17 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 6 某市公租房房屋位于 A B C 三个地区 设每位申请人只申请其中一个片区的房屋 且申请 其中任一个片区的房屋是等可能的 求该市的任 4 位申请人中 若有 2 人申请 A 片区房屋的概率 申请的房屋在片区的个数的分布列与期望 解析 所有可能的申请方式有种 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 4 3 种 从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 22 4 2C A 22 4 4 28 327 C A 的所有可能值为 1 2 3 又 4 31 1 327 p 24 3 4 22 14 2 327 C p 23 43 4 4 3 39 C A p 综上知 的分布列为 1 2 3 p 1 27 14 27 4 9 从而有 114465 123 2727927 E 18 本小题满分 13 分 小题 6 分 小题 7 分 设的导数满足其中常数 32 1f xxaxbx fx 1 2 2 fa fb a bR 求曲线在点处的切线方程 yf x 1 1 f 设求函数的极值 x g xfx e g x 解析 因 故 32 1f xxaxbx 2 32fxxaxb 令 得 由已知 解得1x 132fab 12fa 3b 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 7 如图 在四面体中 平面 ABCDABCACDABBCADCDCAD 0 30 若 2 2 求四边形的体积 ADABBCABCD 若二面角 为 求异面直线与所成角的余弦值 CABD 0 60ADBC 解析 如图所示 设 F 为 AC 的中点 由于 AD CD 所以 DF AC 故由平面 知 DF 平面 即 ABCACDABCsin301 DFAD 在中 因 AB 2BC 有勾股定理易得cos303AFAD Rt ABC 22 3ACAF 2 154 15 55 BCAB 故四面体 ABCD 的体积 1112 154 154 332555 ABC VSDF AA 如图所示设 G H 分别为变 CD BD 的中点 则 FG AD GH BC 从而是FGH 异面直线与所成角或其补角 ADBC 8 设 E 为边 AB 的中点 则 EF BC 由 知 又由 有 DF 平面 ABBCEFABABC 故由三垂线定理知 所以为二面角 的平面角 由题设知DEABDEF CABD 设 AD a 则 DF ADsinCAD 60DEF 2 a 解析 由 解得 2 2 2 2 2 aa e cc 222 2 2 2acbac 故椭圆的标准方程为 22 1 42 xy 设 则由得 P x y 1122 M x yN xy2OPOMON 即 1122 2 x yx yxy 1212 2 2xxxyyy 9 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 设实数数列的前 n 项和满足 n a n S 11nnn SaSnN 若成等比数列 求和 122 2a Sa 2 S 3 a 求证 对有 3k 1 4 0 3 nn aa 解析 由题意 得 2 212 22112 2Sa a Sa Sa a 2 22 2SS 由是等比中项知 因此 2 S 2 0S 2 2S 由 解得 23332 SaSa S 2 3 2 2 13 S a S 证