2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：空间距离（练习+详细解析）大纲人教版

提能拔高限时训练提能拔高限时训练 4444 空间距离空间距离 一 选择题 1 是两个平行平面 a b a 与 b 之间的距离为 d1 与 之间的距离为 d2 则 A d1 d2 B d1 d2 C d1 d2 D d1 d2 解析解析 若 a b 为异面直线时 d1 d2 若 a b 时 d1 d2 答案答案 D 2 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 BB1的中点 G 为棱 A1B1上的一 点 且 A1G 0 1 则点 G 到平面 D1EF 的距离为 A 3 B 2 2 C 3 2 D 5 5 解析解析 A1B1 EF A1B1 平面 D1EF A1到面 D1EF 的距离等于 G 到面 D1EF 的距离 在面 A1ED1中 作 A1H ED1 垂足为 H 面 A1ED1 面 D1EF A1H 面 D1EF 在 A1ED1中 2 1 1 2 5 1 HA 5 5 1 HA 答案答案 D 3 如图 四棱锥 P ABCD 的底面为正方形 PD 底面 ABCD PD AD 1 设点 C 到平面 PAB 的距离 为 d1 点 B 到平面 PAC 的距离为 d2 则有 A 1 d1 d2 B d1 d2 1 C d1 1 d2 D d2 d1 1 解析解析 CD 平面 PAB C 到平面 PAB 的距离等于 D 到平面 PAB 的距离 过 D 作 DE PA 则 DE 平面 PAB 2 2 1 DEd B 与 D 到平面 PAC 的距离相等 设 AC BD O 则平面 PDO 平面 PAC d2等于 D 到 PO 的距离 可计算 3 3 2 d d2 d1 1 答案答案 D 4 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E 是 A1B1的中点 则 E 到平面 ABC1D1的距离是 A 2 3 B 2 2 C 2 1 D 3 3 解析解析 A1B1 平面 ABC1D1 点 B1到平面 ABC1D1的距离等于点 E 到平面 ABC1D1的距离 2 2 h 答案答案 B 5 如右图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 P 它到直线 A1B1与到直线 AD 的距离相等 则动点 P 所在曲线形状为 图中实线部分 解析解析 由已知 得点 P 到点 A 的距离等于点 P 到直线 A1B1的距离 点 P 的轨迹为以 A 为焦点 A1B1为准线的抛物线在正方形 ABB1A1内的部分 答案答案 C 6 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成 其空间构型为一个各棱都相等的四面体 四个氢 原子分别位于该四面体的四个顶点上 碳原子位于该四面体的中心 它与每个氢原子的距离都 是 a 若将碳原子和氢原子均视为一个点 则任意两个氢原子之间的距离为 A a 3 4 B a 3 62 C a 2 7 D a 9 38 解析解析 设 A 在平面 BCD 上的射影为 E O 在 AE 上 VA BCD 4VO BCD AE 4OE AO a aAE 3 4 设 AD x 则xED 3 3 222 3 3 3 4 xax ax 3 62 答案答案 B 7 在 ABC 中 C 90 B 30 AC 2 M 为 AB 中点 将 ACM 沿 CM 折起 使 A B 间的距离 为 22 则 M 到面 ABC 的距离为 A 3 62 B 2 C 1 D 2 解析解析 从点 M 作面 ABC 的垂线 如图 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有 MA MB MC 2 从而点 M 在面 ABC 上的射影一定在 AB 和 BC 的中垂线上 即 ABC 的外心 而由 AC2 AB2 4 8 12 BC2 知 ABC 是直角三角形 所以 ABC 的外心为斜边的中点 取 BC 的中点 G 连结 MG MG 即为三棱锥的高 显然 MG 1 答案答案 C 8 设 OA OB OC 为不共面的三条射线 若 AOB AOC 60 BOC 90 点 P 为射线 OA 上一 点 设 OP a 则点 P 到平面 OBC 的距离为 A a 2 3 B a 3 3 C a 2 1 D a 2 2 解析解析 如图所示 过 P 作 PG 平面 OBC 于点 G 则 PG 的长即为所求 由 AOB AOC 知点 G 在 BOC 的角平分线上 过 G 作 GH OB 于点 H 连结 PH 由三垂线定理 得 PH OB OH 2 1 a OG 2 2 a 在 Rt PGO 中 aOGPOPG 2 2 22 故选 D 答案答案 D 9 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 平面 ABCD PA AB 2 E 为 BC 中点 F 为 PA 上一 点 FG AD 若异面直线 DE 与 BF 所成角的余弦值为 5 4 则 PG 的长为 A 1 B 2 1 C 2 D 2 2 解析解析 如图 取 AD 的中点 H 连结 BH 则 BH ED 所以 FBH 即为异面直线 DE 与 BF 所成的角 所以 5 4 cos FBH 设 FA x 又5 BH 则4 2 xBF 1 2 xFH 由余弦定理 可得 5 4 2 cos 222 BHBF FHBHBF FBH 即1 5 4 542 154 2 22 x x xx 所 以 F 为 PA 的中点 又 FG AD 所以 G 为 PD 的中点 且22 PD 故2 PG 答案答案 C 10 斜边长为 2a 的直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在桌面上 斜边 AB 与桌面平行 A 30 三 角板 ABC 与桌面所成的锐角为 45 则边 AC 的中点到桌面的距离是 A a 3 6 B a 4 6 C a 6 6 D a 8 6 解析解析 先求出直线 AB 到桌面的距离 点 A 到桌面的距离就是直线 AB 到桌面的距离 而 AC 的中 点到桌面的距离就是点 A 到桌面距离的一半 如图 A1B1为 AB 在桌面上的射影 CD AB D1为 D 在 A1B1上的射影 面 ABC 与桌面所成锐二面角为 45 又点 C 到 AB 的距离 CD 为a 2 3 aaCDDD 4 6 45cos 2 3 11 AB 到桌面的距离为a 4 6 则 AC 的中点到桌面的距离为a 8 6 故选 D 答案答案 D 二 填空题 11 平面 内有 Rt ABC C 90 P 是平面 外一点 且 PA PB PC P 到 的距离是 40 cm AC 18 cm 则点 P 到 BC 边的距离是 解析解析 作 PO 平面 ABC 垂足为 O PA PB PC AO BO CO O 为 ABC 的外心 又 ACB 90 O 是 AB 边的中点 作 OD BC 由三垂线定理 知 PD BC PD 是点 P 到 BC 边的距离 且 OD 2 1 AC OD 9 cm 在 Rt POD 中 41 22 ODPOPD cm 故点 P 到 BC 的距离为 41 cm 答案答案 41 cm 12 把长 宽分别为32 2 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 60 的二面角 则顶点 B 和 D 之 间的距离是 解析解析 作 DE AC 垂足为 E BF AC 垂足为 F AB 32 AD 2 3 BFDE EF 2 又 二面角 DACB 为 60 DE AC BF AC 异面直线 DE BF 所成的角为 60 760cos2 222 BFDEEFBFDEBD 答案答案 7 13 如图 已知点 E 是棱长为 2 的正方体 AC1的棱 AA1的中点 则点 A 到平面 EBD 的距离等于 解析解析 可求得 S EBD 6 设点 A 到面 EBD 的距离为 d 由 VA EBD VB ADE 得21 3 1 6 3 1 d 解得 3 6 d 答案答案 3 6 14 已知菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 沿对角线 BD 将 ABD 折起 使二面角 ABDC 为 120 则点 A 到 BCD 所在平面的距离等于 解析解析 如图 ABD 沿 BD 折起 A 到 A 点处 连结 AC BD 交于点 O 连结 A O 则 A OC 为二 面角的平面角 A OC 120 故 A OA 60 又1 2 1 ABAOOA 点 A 到面 BCD 的距离为 2 3 60sin OAd 答案答案 2 3 三 解答题 15 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC 3 CC1 2 如图 1 求证 平面 A1BC1 平面 ACD1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 解解 1 由于 BC1 AD1 则 BC1 平面 ACD1 同理 A1B 平面 ACD1 则平面 A1BC1 平面 ACD1 2 设两平行平面 A1BC1与 ACD1间的距离为 d 则 d 等于 D1到平面 A1BC1的距离 易求 A1C1 5 A1B 25 BC1 13 则 65 2 cos 11 BCA 则 65 61 sin 11 BCA 则 S A1BC1 61 由于 VD1 A1BC1 VB A1C1D1 则 1111 2 1 3 1 3 1 11 BBDCADdS BCA 代入求得 61 6112 d 即 1 中两个平行平面间的距离等于 61 6112 16 如图 在三棱锥 P ABC 中 AC BC 2 ACB 90 AP BP AB PC AC 1 求证 PC AB 2 求二面角 B AP C 的大小 3 理 求点 C 到平面 APB 的距离 解法一解法一 1 证明 如图 取 AB 中点 D 连结 PD CD 因为 AP BP 所以 PD AB 因为 AC BC 所以 CD AB 因为 PD CD D 所以 AB 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 所以 PC AB 2 因为 AC BC AP BP 所以 APC BPC 又 PC AC 所以 PC BC 又 ACB 90 即 AC BC 且 AC PC C 所以 BC 平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BE CE 因为 AB BP 所以 BE AP 因为 EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影 所以 CE AP 所以 BEC 是二面角 BAPC 的平面角 在 BCE 中 BCE 90 BC 2 6 2 3 ABBE 所以 3 6 sin BE BC BEC 故二面角 BAPC 的大小为 3 6 arcsin 3 由 1 知 AB 平面 PCD 所以平面 APB 平面 PCD 如图 过 C 作 CH PD 垂足为 H 因为平面 APB 平面 PCD PD 所以 CH 平面 APB 所以 CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离 由 1 知 PC AB 又 PC AC 且 AB AC A 所以 PC 平面 ABC 因为 CD 平面 ABC 所以 PC CD 在 Rt PCD 中 CD 2 1 AB 2 6 2 3 PBPD 所以2 22 CDPDPC 所以 3 32 PD CDPC CH 所以点 C 到平面 APB 的距离为 3 32 解法二解法二 1 同解法一 2 如图 以 C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 0 2 0 B 2 0 0 设 P 0 0 t 因为22 ABPB 所以 t 2 P 0 0 2 取 AP 中点 E 连结 BE CE 因为 AC PC AB BP 所以 CE AP BE AP 所以 BEC 是二面角 BAPC 的平面角 因为 E 0 1 1 1 1 0 EC 1 1 2 EB 所以 3 3 62 2 cos EBEC EBEC BEC 所以二面角 B A PC 的大小为 3 3 arccos 3 因为 AC BC PC 所以 C 在平面 APB 内的射影为正 APB 的中心 H 且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离 如 2 建立空间直角坐标系 C xyz 因为HEBH2 所以点 H 的坐标为 3 2 3 2 3 2 所以 3 32 BH 所以点 C 到平面 APB 的距离为 3 32 教学参考例题教学参考例题 志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书 例题 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 2 AC BC 1 ACB 90 点 E 是 AB 的中点 点 F 在侧棱 BB1上 且 EF CA1 1 求二面角 C A1F E 的大小 2 求点 E 到平面 CA1F 的距离 解法一解法一 1 过 E 作 EG FA1 垂足为 G 连结 CG 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 平面 A1B 平面 ABC 又 AC BC E 为 AB 中点 CE AB CE 平面 A1B CG A1F CGE 为二面角 C A1F E 的平面角 又 CE 平面 A1B CE EF 而 EF 平面 CA1 EF 平面 A1CE EF A1E A1AE EBF 4 1 2 2 2 2 2 1 BE AA AE BF 在 Rt A1AE 中 2 23 2 2 2 2222 11 AEAAEA 在 Rt EBF 中 4 3 4 1 2 2 2222 BFBEEF 4 9 22 11 EFEAFA 2 2 4 9 4 3 2 23 1 1 FA EFEA EG 又 2 2 CE 1tan EG EC CGE CGE 45 即二面角 CA1FE 的大小为 45 2 设顶点 E 到平面 A1CF 的距离为 d 由 1 知 CG 1 CE 平面 A1B A1F EF VE A1CF VC A1EF dFACGEFEACE 11 2 1 3 1 2 1 3 1