2011年高考一轮数学复习 2-3函数的单调性理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 第第 2 2 章章 第第 3 3 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 判断或证明函数的单调性 1 下列函数中 在 0 上为增函数的是 A y 1 x2 B y x2 2x C y D y 1 1 x x x 1 解析 y 1 x2的对称轴为x 0 且开口向下 0 为其单调递增区间 答案 A 2 给出下面四个条件 Error Error Error Error 能使函数y logax 2为单调减函数的是 填上使命题正确的所有条件的代号 解析 由y x 2知 x 0 单调减 x 0 单调增 又 y logax a 1 时 x 0 单调增 0 a 1 时 x 0 单调减 根据复合函数的单调性 同 增同减则函数增 有增有减则函数减 故x 0 时 a 1 或x 0 时 0 a 1 故选 答案 考点二 求函数的单调区间 3 2010 江西师大附中 函数f x log x2 4x 3 的单调增区间是 1 2 A 1 B 3 C 2 D 2 解析 本题主要考查复合函数单调性的求法 忽略函数的定义域是考生最容易犯的错 误 由x2 4x 3 0 得该函数的定义域是 1 3 设 x x2 4x 3 则需要是减函数 只需求 x 在定义域内的减区间即可 故选 A 答案 A 4 判断函数f x 的单调区间 并证明其单调性 x x2 1 解 函数f x 的单调增区间为 1 1 减区间为 1 和 1 证明如 下 f x 的定义域为 R R 在定义域内任取x1 x2 都有f x1 f x2 x1 x2 1 1 x2 x2 2 1 x1 x2 1 x1x2 x o al 2 1 1 x o al 2 2 1 其中x1 x2 0 x 1 0 x 1 0 2 12 2 1 当x1 x2 1 1 时 1 x1x2 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 为增函数 2 当x1 x2 1 或 1 时 1 x1x2 0 f x1 f x2 f x 为减函数 综上所述 f x 在 1 1 上是增函数 在 1 及 1 上是减函数 考点三 函数单调性的应用 5 已知函数f x logsin1 x2 6x 5 在区间 a 上是减函数 则实数a的取值 范围为 用心 爱心 专心 A 5 B 3 C 1 D 5 解析 原函数定义域为 1 5 而函数h x x2 6x 5 在x 3 时为增函数 sin1 1 f x 的单调减区间为 5 a 5 答案 D 6 如果函数f x x2 2 a 1 x 2 在区间 4 上是减函数 则实数a的取值 范围是 A 3 B 3 C 5 D 3 解析 f x x2 2 a 1 x 2 对称轴为x 1 a 递减区间为 1 a 依题意 有 4 1 a 4 1 a 得a 3 a 3 答案 B 7 2010 豫南九校 已知f x Error 是 上的增函数 那么a的取值范 围是 A 1 B 3 C 2 3 D 1 3 解析 本题主要考查函数的单调性 由题意可得 Error 解得 2 a 3 故选 C 答案 C 8 设f x 是定义在 0 上的函数 同时满足条件 f xy f x f y f 2 1 若x 1 则f x 0 如果f x f x 3 2 求x的取值范围 解 f f y f x x y f f x f y x y 设 0 y x 则 1 f x f y f 0 x y x y f x f y 0 即f x f y 因此f x 在 0 上递增 令x y 2 代入 得f 4 2f 2 2 f x f x 3 f x x 3 f x2 3x f x2 3x f 4 f x 在 0 上递增 Error 解得 3 x 4 故x的取值范围为 3 4 1 2009 福建 下列函数f x 中 满足 对任意x1 x2 0 当x1 x2时 都有f x1 f x2 的是 A f x B f x x 1 2 1 x C f x ex D f x ln x 1 解析 对任意的x1 x2 0 当x1 x2时 都有f x1 f x2 f x 在 0 上为减函数 故选 A 用心 爱心 专心 答案 A 2 2009 辽宁 已知偶函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f 2x 1 f 的x的取值范围是 1 3 A B 1 3 2 3 1 3 2 3 C D 1 2 2 3 1 2 2 3 解析 f x 是偶函数 其图象关于y轴对称 又f x 在 0 上递增 f 2x 1 f 2x 1 x 故选 A 1 3 1 3 1 3 2 3 答案 A 3 2009 北京 若函数f x Error 则不等式 f x 的解集为 1 3 解析 依题可得Error 或Error 解之得 3 x 0 或 0 x 1 不等式 f x 的解集为 3 1 1 3 答案 3 1 1 已知函数f x Error 是 上的减函数 那么a的取值范围是 A 0 3 B 0 3 C 0 2 D 0 2 解析 当x 1 时 f1 x a 3 x 5 为减函数 需a 3 0 a 3 当x 1 时 f2 x 为减函数 需a 0 2a x 又函数f x 在 上为减函数 则需f1 x min f2 x max 即f1 1 f2 x 亦即a 3 5 2a 解得a 2 综上所述 0 a 2 答案 D 2 设函数f x 对x 0 的任意实数 恒有f x 2f x2 1 成立 1 x 1 求函数f x 的解析式 2 用函数单调性的定义证明函数f x 在 0 上是增函数 4 2 解 1 由f x 2f x2 1 1 x 得f 2f x 1 1 x 1 x2 2 得 3f x x2 3 2 x2 f x x2 1 1 3 2 x2 2 证明 任取 0 x1 x2 4 2 f x1 f x2 x x 1 32 1 2 x2 1 1 32 2 2 x2 2 x x 1 32 22 1 2 x2 2 2 x2 1 用心 爱心 专心 x x 1 32 22 1 2 x o al 2 1 x o al 2 2 x2 1x2 2 x x 1 1 32 22 1 2 x2 1x2 2 x x 1 32 22 1 x2 1x2 2 2 x2 1x2 2 x x 1 32 22 1 x1x2 r 2 x1x2 r 2 x2 1x2 2