2011年高考数学试题解析分项版 专题5 三角函数 理

用心 爱心 专心 1 20112011 年高考试题解析数学 理科 分项版年高考试题解析数学 理科 分项版 0505 三角函数三角函数 一 选择题 1 2011 年高考山东卷理科 3 若点 a 9 在函数3xy 的图象上 则 tan 6 a 的值为 A 0 B 3 3 C 1 D 3 3 2011 年高考安徽卷理科 9 已知函数 sin 2 f xx 其中 为实数 若 6 f xf 对xR 恒成立 且 2 ff 则 f x的单调递增区间是 A 36 kkkZ B 2 kkkZ C 2 63 kkkZ D 2 kkkZ 答案 C 命题意图 本题考查正弦函数的有界性 考查正弦函数的单调性 属中等偏难题 解析 若 6 f xf 对xR 恒成立 则 sin 1 63 f 所以 32 kkZ 6 kkZ 由 2 ff kZ 可知 用心 爱心 专心 2 sin sin 2 即sin0 所以 7 2 6 kkZ 代入 sin 2 f xx 得 7 sin 2 6 f xx 由 7 222 262 kxk 得 5 63 kx k 故选 C 4 2011 年高考辽宁卷理科 4 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asin AsinB bcos2A 2a则 b a A 2 3 B 2 2 C 3 D 2 答案 D 解析 由正弦定理得 sin2AsinB sinBcos2A 2sinA 即 sinB sin2A cos2A 2sinA 故 sinB 2sinA 所以2 b a 5 2011 年高考辽宁卷理科 7 设 sin 1 43 则sin2 A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 7 9 答案 A 解析 2 17 sin2cos 22sin121 2499 6 2011 年高考浙江卷理科 6 若0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 则cos 2 A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 答案 C 解析 2442 cos cos 2442 cos cos 442 sin sin 442 132 2634 35 3 333399 故选 C 7 2011 年高考全国新课标卷理科 5 已知角 的顶点与原点重合 始边与横轴的正半轴重合 用心 爱心 专心 3 终边在直线xy2 上 则 2cos A 5 4 B 5 3 C 3 2 D 4 3 9 2011 年高考天津卷理科 6 如图 在 ABC中 D是边AC上的 点 且 23 2ABADABBD BCBD 则sinC的值为 A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 答案 D 用心 爱心 专心 4 解析 设BDa 则由题意可得 2 BCa 3 2 ABADa 在ABD 中 由余弦定理 得 222 cos 2 ABADBD A AB AD 2 2 2 3 2 4 3 2 2 a a a 1 3 所以sin A 2 1 cos A 2 2 3 在 ABC中 由正弦定理得 sinsin ABBC CA 所以 3 2 2 sin2 2 3 a a C a 解得sinC 6 6 故选 D 10 2011 年高考湖北卷理科 3 已知函数 3sincos f xxx xR 若 1f x 则x的取 值范围为 A 3 x kxkkz B 22 3 xkkkz C 5 66 x kxkkz D 5 22 66 xkxkkz 答案 B 解析 由3sincos1xx 即 1 sin 62 x 解得 5 22 666 kxkkz 即22 3 kxkkz 所以选 B 11 2011 年高考陕西卷理科 6 函数 cosf xxx 在 0 内 A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两一个零点 D 有无穷个零点 答案 B 解析 令 1 yx 2 cosyx 则它们的图像如图故选 B 12 2011 年高考重庆卷理科 6 若ABC 的内角 A B C所对的边 a b c满足 22 4abc 且 0 60C 则ab的值为 A 4 3 B 84 3 C 1 D 2 3 用心 爱心 专心 5 解析 选 A 由 22 4abc 得 222 24ababc 由 0 60C 得 222 421 cos 222 abcab C abab 解得 4 3 ab 13 2011 年高考四川卷理科 6 在 ABC 中 222 sinsinsinsinsinBCBC 则 A 的取 值范围是 A 0 6 B 6 c 0 3 D 3 15 2011 年高考福建卷理科 3 若 tan 3 则 2 sin2 cos a 的值等于 A 2 B 3 C 4 D 6 答案 D 16 2011 年高考福建卷理科 10 已知函数 f x e x 对于曲线 y f x 上横坐标成等差 数列的三个点 A B C 给出以下判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 用心 爱心 专心 6 A B C D 答案 B 二 填空题 1 2011 年高考辽宁卷理科 16 已知函数 f x Atan x 0 2 y f x 的部分图像如下图 则 f 24 答案 3 解析 函数 f x 的周期是 3 2 882 故2 2 由 tan1 3 tan 20 8 A A 得 1 4 A 所以 tan 2 4 f xx 故tan 23 24244 f 2 2011 年高考安徽卷理科 14 已知ABC 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的 等差数列 则ABC 的面积为 答案 15 3 命题意图 本题考查等差数列的概念 考查余弦定理的应用 考查利用公式求三角形面积 解析 设三角形的三边长分别为4 4aa a 最大角为 由余弦定理得 222 4 4 2 4 cos120aaaa a 则10a 所以三边长为 6 10 14 ABC 的 面积为 1 6 10 sin12015 3 2 S 3 2011 年高考全国新课标卷理科 16 在ABC 中 60 3BAC 则2ABBC 的 最大值为 用心 爱心 专心 7 4 2011 年高考重庆卷理科 14 已知 1 sincos 2 且0 2 则 cos2 sin 4 的值 为 解析 14 2 由题设条件易得 7 sincos 2 故 22 in sincos 424 s 7 cos2sincossincos 4 所以 cos214 2 sin 4 5 2011 年高考全国卷理科 14 已知 a 2 sin 5 5 则 tan2 答案 4 3 解析 a 2 sin 5 5 2 52 5 cos1 sin1 55 aa 用心 爱心 专心 8 则 tan 5 sin1 5 cos22 5 5 a a 故 tan2 2 2 1 2 2tan14 2 12 1tan3 1 24 a a 6 2011 年高考安徽卷江苏 7 已知 2 4 tan x 则 x x 2tan tan 的值为 答案 4 9 解析 因为 2 2tan 4 tan2 4 1tan 4 x x x 2 2 2 1 2 4 3 而tan 2 2 x cot2x 所以 3 tan2 4 x 又因为 tan1 tan 2 41tan x x x 所以解得 1 tan 3 x 所以 x x 2tan tan 的值为 4 9 7 2011 年高考安徽卷江苏 9 函数 sin wAwxAxf 是常数 0 0 wA的 部分图象如图所示 则 0 f 3 12 7 答案 6 2 解析 由图象知 函数 sin f xAwx 的周期为 7 4 123 而周期 2 T w 所以2w 由五点作图法知 2 3 解得 3 又 A 2 所以函数 2sin 2 3 f xx 所以 0 f 6 2sin 32 8 2011 年高考北京卷理科 9 在ABC 中 若b 5 4 B tanA 2 则 sinA a 2 用心 爱心 专心 9 11 2011 年高考上海卷理科 8 函数sin cos 26 yxx 的最大值为 答案 23 4 解析 将原函数解析式展开得 2 31 coscos sin 22 yxxx 31 1 cos2 sin2 44 xx 故最大值为 331 41616 23 4 三 解答题 1 2011 年高考山东卷理科 17 本小题满分 12 分 在AABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 2cosC2c a cosBb I 求 sin sin C A 的值 用心 爱心 专心 10 II 若 cosB 1 4 2b 求ABC 的面积 解析 由正弦定理得2 sin aRA 2 sin bRB 2 sin cRC 所以 cosA 2cosC2c a cosBb 2sinsin sin CA B 即 sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB 即有sin 2sin ABBC 即 sin2sinCA 所以 sin sin C A 2 由 知 sin sin cC aA 2 即 c 2a 又因为2b 所以由余弦定理得 222 2cosbcaacB 即 222 1 2422 4 aaaa 解得1a 所以 c 2 又因为 cosB 1 4 所以 sinB 15 4 故ABC 的面积为 11 sin1 2 22 acB 15 4 15 4 2 2011 年高考浙江卷理科 18 本题满分 14 分 在ABCA中 角 ABC所对的边分别为 a b c已知 sinsinsin ACpB pR 且 2 1 4 acb 当 5 1 4 pb 时 求 a c的值 若角B为锐角 求 p 的取值范围 3 2011 年高考天津卷理科 15 本小题满分 13 分 已知函数 tan 2 4 f xx 用心 爱心 专心 11 求 f x的定义域与最小正周期 设0 4 若 2cos2 2 f 求 的大小 解析 本小题主要考查两角和的正弦 余弦 正切公式 同角三角函数的基本关系 二 倍角的正弦 余弦公式 正切函数的性质等基础知识 考查基本运算能力 由2 42 xkkZ 得 82 k xkZ 所以 f x的定义域为 82 k xR xkZ f x的最小正周期为 2 由 2cos2 2 f 得tan 4 2cos2 即 22 sin 4 2 cossin cos 4 整理得 sincos 2 cossin cossin cossin 因为sincos0 所以可得 2 1 cossin 2 解得 1 sin2 2 由0 4 得20 2 所以2 6 12 4 2011 年高考江西卷理科 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 已知 sinC cosC 1 sin 2 C 1 求 sinC 的值 2 若 a2 b2 4 a b 8 求边 c 的值 解析 由 2 2sincos1 2sin1 sin 2222 CCCC 即sin 2cos2sin1 0 222 CCC 因为sin0 2 C 所以 1 sincos 222 CC 两边平方得 3 sin 4 C 2 由 1 sincos 222 CC 得sincos 22 CC 所以 422 C 所以 2 C 由 3 sin 4 C 得 7 cos 4 C 由余弦定理得 222 7 2 4 cabab 又 22 4 8abab 即 22 2 2 0ab 所以2 2ab 所以 2 82 7c 所以71c 本题考查三角形 同角三角函数关系式 两角和与差的三角函数公式 二倍角公式及余弦定 用心 爱心 专心 12 理 5 2011 年高考湖南卷理科 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 角CBA 所对的边 分别为cba 且满足CaAccossin 求角C的大小 求 4 cossin3 BA 的最大值 并求取得最大值时角BA 的大小 解 由正弦定理得CAACcossinsinsin 因为 A0 所以0sin A 从而CCcossin 又0cos C 所以1tan C 则 4 C 由 知 AB 4 3 于是 4 cossin3 BA AA cossin3 AAcossin3 6 sin2 A 因为 4 3 0 A 所以 12 11 66 A 从而当 26 A 即 3 A 时 6 sin2 A 取最大值 2 综上所述 4 cossin3 BA 的最大值 2 此时 3 A 12 5 B 评析 本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用 以及运用三角公式进行三 角变换的能力以及三角函数的最值 求角问题 6 2011年高考广东卷理科16 本小题满分12分 已知函数 1 2sin 36 f xxxR 1 求 5 4 f 的值 2 设 106 0 3 32 22135 ff 求cos 的值 用心 爱心 专心 13 解析 解 1 515 2sin 4346 f 2sin2 4 2 101 32sin32sin 132326 f 61 32 2sin 32 2sin2cos 5362 f 53 sin cos 135 2 2 512 cos1sin1 1313 2 2 34 sin1cos1 55 故 3125456 cos coscossinsin 51313565 7 2011 年高考湖北卷理科 16 本小题满分 10 分 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 1 2 cos 4 abC 求 ABC 的周长 求 cos A C 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识 同时考查基本运算能力 解析 222 1 2cos14442 4 cababCcABC 的周长为 1225 abc 22 1115 cos sin1cos1 444 CCC 15 sin15 4 sin 28 aC AacAC c 故 A 为 锐角 2 cos1 sinAA 2 157 1 88 71151511 cos coscossinsin 848416 ACACAC 8 2011 年高考陕西卷理科 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 解析 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角 的余弦的两倍积 或 222 2cosabcbcA 用心 爱心 专心 14 Baccabcos2 222 222 2coscababC 证法一 如图 2 aBC BC ACABACAB 22 2ACAC ABAB 22 2cosACACABAAB 22 2cosbbcAc 即 222 2cosabcbcA 同理可证Baccabcos2 222 222 2coscababC 证法二 已知 ABCA B Ca b cA中所对边分别为A以为原点 AB所在直线为x轴建立直角坐标系 则 cos sin 0 C bA bA B a 2 222 cos sin aBCbAcbA 22222 cos2cossinbAbcAcbA 22 2cosbcbcA 同理可证 222222 2cos 2cosbcacaB cababC 9 2011 年高考重庆卷理科 16 本小题满分 13 分 设 2 cossincoscos 2 aR f xx axxx 满足 0 3 ff 求函数 f x 在 11 424 上的最大值和最小值 解析 22 sin coscossinsin2cos2 2 a f xaxxxxxx 由 0 3 ff 得 31 1 222 a A 解得 2 3a 因此 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 当 4 3 x 时 2 63 2 x f x为增函数 用心 爱心 专心 15 当 11 324 x 时 3 2 624 x f x为减函数 所以 f x在 11 424 上的最大值为 2 3 f 又因为 3 4 f 11 2 24 f 所以 f x在 11 424 上的最小值为 11 2 24 f 10 2011 年高考四川卷理科 17 本小题共 12 分 已知函数 73 sincos 44 f xxxxR 求 f x的最小正周期和最小值 已知 44 cos cos 55 0 2 求证 2 20f 解析 2222 sincoscossin 2222 f xxxxx 2 sincos2sin 4 xxx f x的最小正周期是2 当 2 42 xkk 即 2 4 xkk 时 函数取得最小值 2 0 2 0 2 0 4 cos 5 3 sin 5 4 cos 5 3 sin 5 sin2sin sincoscossin 3 443 0 5 555 2 2 2 22sin24sin2 44 f 用心 爱心 专心 16 2 1 cos 222sin20 2 所以 结论成立 11 2011 年高考全国卷理科 17 本小题满分 l0 分 注意 在试题卷上作答无效 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知A C 90 a c 2b 求 C 解析 由正弦定理得2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 由22 sin2 sin2 2 sinacbRARCRB 得 即sinsin2sinACB A B C 1800 0 180 BAC 0 sinsin2sin 180 ACAC 即sinsin2sin ACAC 由 A C 900 得 A 900 C 00 sin 90 sin2sin 902 ccc 即 00 cossin2 2sin 45 cos 45 cccc 000 2 2sin 45 2 2sin 45 cos 45 ccc 0 1 cos 45 2 c 000 456015cc 12 2011 年高考安徽卷江苏 15 在 ABC 中