勾股定理应用(含解答)

1 勾股定理 点击一 勾股定理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a b 斜边为 c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方 因此 在运用勾股定理计算三角形的边长时 要注意如下三点 1 注意勾股定理的使用条件 只对直角三角形适用 而不适用于锐角三角形和钝角 三角形 2 注意分清斜边和直角边 避免盲目代入公式致错 3 注意勾股定理公式的变形 在直角三角形中 已知任意两边 可求第三边长 即 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 点击二 学会用拼图法验证勾股定理 拼图法验证勾股定理的基本思想是 借助于图形的面积来验证 依据是对图形经过割补 拼接后面积不变的原理 如 利用四个如图 1 所示的直角三角形三角形 拼出如图 2 所示的三个图形 请读者证明 如上图示 在图 1 中 利用图 1 边长为 a b c 的四个直角三角形拼成的一个以 c 为边长的正方形 则图 2 1 中的小正方形的边长为 b a 面积为 b a 2 四个直 角三角形的面积为 4 ab 2ab 2 1 a b c 图 1 1 2 3 2 由图 1 可知 大正方形的面积 四个直角三角形的面积 小正方形的的面积 即 c2 b a 2 2ab 则 a2 b2 c2问题得证 请同学们自己证明图 2 3 点击三 在数轴上表示无理数 将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题 第一步 利用勾股定 理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段 斜边 长的平方 注意一般其中一条线段的 长是整数 第二步 以数轴原点为直角三角形斜边的顶点 构造直角三角形 第三步 以数 轴原点圆心 以斜边长为半径画弧 即可在数轴上找到表示该无理数的点 点击四 直角三角形边与面积的关系及应用 直角三角形有许多属性 除边与边 边与角 角与角的关系外 边与面积也有内的联 系 设 为直角三角形的两条直角边 为斜边 为面积 于是有 abcS 222 2abaabb 222 abc 1 244 2 ababS 所以 即 22 4abcS 22 1 4 Sabc 也就是说 直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一 利 用该公式来计算直角三角形的有关面积 周长 斜边上的高等问题 显得十分简便 点击五 熟练掌握勾股定理的各种表达形式 如图 2 在 Rt中 0 A B C 的对边分别为 a b c ABC 90 C 则 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 点击六 勾股定理的应用 1 已知直角三角形的两条边 求第三边 2 已知直角三角形的一边 求另两条边的关系 3 用于推导线段平方关系的问题等 4 用勾股定理 在数轴上作出表示 的点 即作出长为的线段 235n 3 类型之一 勾股定理 例 1 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是 13cm 和 5cm 那么这个直角三角 形的面积是 cm2 解析 欲求直角三角形的面积 已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长 则求得另 一直角边的长即可 根据勾股定理公式的变形 可求得 解 由勾股定理 得 132 52 144 所以另一条直角边的长为 12 所以这个直角三角形的面积是 12 5 30 cm2 2 1 例 2 如图 3 1 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到 顶点 B 则它走过的最短路程为 A B C 3a D a3a 21 a5 解析 本题显然与例 2 属同种类型 思路相同 但正方体的 各棱长相等 因此只有一种展开图 解 将正方体侧面展开得 如图 3 由图知 AC 2a BC a 根据勾股定理得 a5a5a a2 AB 222 故选 D 类型之二 类型之二 类型之二 在数轴上表示无理数 例 3 在数轴上作出表示的点 10 解析 根据在数轴上表示无理数的方法 需先把视为直角三角形斜边的长 再确定10 出两直角边的长度后即可在数轴上作出 解 以为斜边的直角三角形的两直角边可以是 3 和 1 所以需在数轴上找出两段分10 别长为 3 和 1 的线段 如图所示 然后即可确定斜边长 再用圆规在数轴上作出长为 的线段即可 10 A B C 图 3 A B 图 3 4 下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用 例 5 阅读材料 第七届国际数学教育大会的会徽 它的主题图案是由一连串如图所示 的直角三角形演化而成的 设其中的第一个直角三角形 OA1A2是等腰三角形 且 OA1 A1A2 A2A3 A3A4 A8A9 1 请你先把图中其它 8 条线段的长计算出 来 填在下面的表格中 然后再计算这 8 条线段的长的乘积 OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8 解 这 8 条线段的长的232567223 乘积是7072 例 6 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾 股圆方图 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 如图所 示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形的较短直角边为 a 较 长直角边为 b 那么的值为 2 ba A 13 B 19 C 25 D 169 解析 由勾股定理 结合题意得 a2 b2 13 由题意 得 b a 2 1 由 得 a2 b2 2ab 1 把 代入 得 13 2ab 1 2ab 12 a b 2 a2 b2 2ab 13 12 25 因此 选 C 说明 2002 年 8 月 20 日 28 日 我国在首都北京成功举办了第 24 届国际数学家大会 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会 也是多年来在我国举行的最重要的一次国 际会议 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷 进入了数学大国的行列 并向着新世 纪成为数学强国迈开了步伐 这次大会的会标如下图所示 它取材于我国三国时期 公元 3 世纪 赵爽所著的 勾股圆方图注 类型之四 勾股定理的应用 5 一 求边长 例 1 已知 如图 在 ABC 中 ACB 90 AB 5cm BC 3cm CD AB 于 D 求 CD 的长 二 求面积 例 2 1 观察图形思考并回答问题 图中每个小方格代表一个单位面积 观察图 1 1 正方形 A 中含有 个小方格 即 A 的面积是 个单位面积 正方形 B 中含有 个小方格 即 B 的面积是 个单位面积 正方形 C 中含有 个小方格 即 C 的面积是 个单位面积 在图 1 2 中 正方形 A B C 中各含有多少个小方格 它们的面积各是多少 你能发现图 1 1 中三个正方形 A B C 的面 积之间有什么关系吗 图 1 2 中的呢 2 做一做 6 观察图 1 3 图 1 4 并填写下表 三个正方形 A B C 的面积之间有什么关系 3 议一议 你能用三角形的边长表示正方形的面积吗 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗 分别以 5 厘米 12 厘米为直角边作出一个直角三角形 并测量斜边的长度 中的 规律对这个三角形仍然成立吗 解析 注意到图中每个小方格代表一个单位面积 通过观察图形不能得到答案 9 9 9 9 18 18 A 中含 4 个 B 中含 4 个 C 中含 8 个 面积分别为 4 4 8 A 与 B 的面积之和等于 C 图 1 2 中也是 A 与 B 的面积之和等于 C 2 答案 7 答案 3 答案 设直角三角形三边长分别为 a b c 如图 成立 三 作线段 例 3 作长为 的线段 解析 作法 1 作直角边长为 1 单位长 的等腰直角三角形 ACB 如图 2 以斜边 AB 为一直角边 作另一直角边长为 1 的直角三角形 ABB1 3 顺次这样作下去 最后作到直角三角形 AB2B3 这时斜边 AB AB1 AB2 AB3的长度 就是 证明 根据勾股定理 在 Rt ACB 中 AB 0 AB 其他同理可证 8 点评 由勾股定理 直角边长为 1 的等腰直角三角形 斜边长就等于 直角边长为 1 的直角三角形的斜边长就是 类似地也可作出 将上图无限地向两个方 向画下去就可得到 勾股树 请你试试看 四 证明平方关系 例 4 已知 如图 在 ABC 中 90CE AD是BC边上的中线 ABDE 于E 求证 222 BEAEAC 解析 根据勾股定理 在 ACDRt 中 222 CDADAC 在 ADERt 中 222 DEAEAD 在BDERt 中 222 BEBDDE 22222222 CDBEBDAECDDEAEAC 又 CDBD 222 BEAEAC 点评 证明线段的平方差或和 常常要考虑到运用勾股定理 若无直角三角形 则可通过 作垂线的方法 构成直角三角形 以便为运用勾股定理创造必要的条件 五 实际应用 例 5 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风 暴 有极强的破坏力 如图 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台 风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会减弱一级 该台风中 心现正以 15 千米 时的速度沿北偏东 30 方向往 C 移动 且台风中心风力不变 若城市所受 风力达到或走过四级 则称为受台风影响 1 该城市是否会受到这交台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风影响 那么台风影响该城市持续时间有多少 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 A B D C E 9 解析 1 由点 A 作 AD BC 于 D 则 AD 就为城市 A 距台风中心的最短距离 在 Rt ABD 中 B 30 AB 220 AD AB 110 2 1 由题意知 当 A 点距台风 12 4 20 160 千米 时 将会受到台风影响 故该城市会受到这次台风的影响 2