（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第7课时 抛物线课时闯关（含解析）

1 江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 7 7 课时课时 抛物线抛物线 课时闯关 含解析 课时闯关 含解析 A 级 双基巩固 一 填空题 1 在抛物线y2 2px上 横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5 则p的值为 解析 由题意 4 5 p 2 p 2 答案 2 2 2010 高考湖南卷改编 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是 4 则点P到 该抛物线焦点的距离是 解析 由题意知P到抛物线准线的距离为 4 2 6 由抛物线的定义知 点P到 抛物线焦点的距离也是 6 答案 6 3 已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 AF 2 则 BF 解析 因为AF 2 所以xA 1 2 所以xA 1 所以A 1 2 又F 1 0 所以BF AF 2 答案 2 4 当a为任何值时 直线 a 1 x y 2a 1 0 恒过定点P 则过P点的抛物线的标 准方程为 解析 由Error 得定点P 2 3 抛物线过定点P 当焦点在x轴上时 方程为y2 x 当焦点在y轴上时 抛物 9 2 线方程为x2 y 4 3 答案 y2 x或x2 y 9 2 4 3 5 若动点P到点F 2 0 的距离与它到直线x 2 0 的距离相等 则点P的轨迹方程 为 解析 由抛物线的定义可知 点P的轨迹是以 2 0 为焦点 以x 2 为准线的抛物 线 其方程为y2 8x 答案 y2 8x 6 已知抛物线y2 2px的准线与双曲线x2 y2 2 的左准线重合 则抛物线的焦点坐 标为 解析 抛物线y2 2px的准线方程为x p 2 又曲线x2 y2 2 的左准线为x 1 故有 1 p 2 p 2 则抛物线方程为y2 4x 焦点坐标为 1 0 答案 1 0 7 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则p的值为 2 解析 由已知 可知抛物线的准线x 与圆 x 3 2 y2 16 相切 圆心为 3 0 p 2 半径为 4 圆心到直线的距离d 3 4 解得p 2 p 2 答案 2 8 2012 南京调研 已知点A 2 1 y2 4x的焦点是F P是y2 4x上的点 为使 PA PF 取得最小值 P点的坐标是 解析 过P作PK l l为抛物线的准线 于K 则 PF PK PA PF PA PK 当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时 PA PK 最小 此时P点的纵坐标为 1 把y 1 代入y2 4x得x 1 4 即当P点的坐标为时 PA PF 最小 1 4 1 答案 1 4 1 二 解答题 9 如图所示 直线l1和l2相交于点M l1 l2 点N l1 以A B为端点的曲线段C上 的任一点到l2的距离与到点N的距离相等 若 AMN为锐角三角形 AM AN 3 且 NB 6 建立适当的坐标系 求曲线段C的方程 17 解 以直线l1为x轴 线段MN的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 由条件可知 曲 线C是以点N为焦点 以l2为准线的抛物线的一段 其中A B分别为C的端点 设曲线C的方程为y2 2px p 0 xA x xB y 0 其中xA xB为A B的横坐标 p MN 所以M N 由 AM AN 3 得 p 2 0 p 2 0 17 2 2pxA 17 xA p 2 2 2pxA 9 xA p 2 3 联立解得xA 代入 式 并由p 0 4 p 解得Error 或Error 因为 AMN为锐角三角形 所以 xA p 2 故舍去Error Error 由点B在曲线C上 得xB BN 4 p 2 综上 曲线C的方程为y2 8x 1 x 4 y 0 10 已知抛物线C x2 2py p 0 其焦点F到准线的距离为 1 2 1 试求抛物线C的方程 2 设抛物线C上一点P的横坐标为t t 0 过P的直线交C于另一点Q 交x轴于 M 过点Q作PQ的垂线交C于另一点N 若MN是C的切线 求t的最小值 解 1 焦点F到准线的距离为 p 1 2 1 2 故抛物线C的方程为x2 y 2 设P t t2 Q x x2 N x0 x 2 0 则直线MN的方程为y x 2x0 x x0 2 0 令y 0 得M x0 2 0 kPM kNQ x0 x t2 t x0 2 2t2 2t x0 x2 0 x2 x0 x NQ QP 且两直线斜率存在 kPM kNQ 1 即 x0 x 1 2t2 2t x0 整理 得x0 2t2x 2t 1 2t2 又Q x x2 在直线PM上 则与共线 得x0 MQ MP 2xt x t 由 得 t 0 2t2x 2t 1 2t2 2xt x t t t 或t 舍去 x2 1 3x 2 3 2 3 所求t的最小值为 2 3 B 级 能力提升 一 填空题 1 2012 无锡质检 已知抛物线y 2x2上任意一点P 则点P到直线x 2y 8 0 的 距离的最小值为 解析 设P x0 y0 则点P到直线x 2y 8 0 的距离d x0 2y0 8 5 又点P在抛物线y 2x2上 所以y0 2x 2 0 所以d 4x x0 8 所以当x0 时 1 52 0 1 8 dmin 1 5 4 1 8 2 1 8 8 127 5 80 答案 127 5 80 4 2 若过点P 2 1 的直线l与抛物线y2 4x交于A B两点 且 则直 OP 1 2 OA OB 线l的方程为 解析 由 则P为AB中点 设A x1 y1 OP 1 2 OA OB B x2 y2 x1 x2 则x1 x2 4 y1 y2 2 又y 4x1 y 4x2 2 12 2 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 2 l斜率为 2 l的方程为y 1 2 x 2 y1 y2 x1 x2 即 2x y 3 0 答案 2x y 3 0 3 已知抛物线y2 2x 直线AB交抛物线于A B两点 交x轴正半轴于点 M m 0 若 0 O为坐标原点 则m的值是 OA OB 解析 设A B y2 1 2 y1 y2 2 2 y2 由 0 OA OB 得 y1 y2 0 y2 1 y2 2 4 当直线AB的斜率存在时 设为k k 0 m 0 则直线AB的方程为y k x m 由Error 得ky2 2y 2km 0 而 4 8k2m 0 恒成立 所以满足条件 又y1 y2 2m 所以m2 2m 0 则m 2 或m 0 舍去 所以m 2 当直线AB的斜率不存在时 则A m B m 2m2m 由 0 OA OB 则m2 2m 0 所以m 2 或m 0 舍去 所以m 2 综上 得m 2 答案 2 4 2010 高考湖南卷 过抛物线x2 2py p 0 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线 交于A B两点 A B在x轴上的正射影分别为D C 若梯形ABCD的面积为 12 则 2 p 解析 依题意 抛物线的焦点F的坐标为 0 p 2 设A x1 y1 B x2 y2 直线AB的方程为y x p 2 代入抛物线方程得 y2 3py 0 p2 4 故y1 y2 3p AB AF BF y1 y2 p 4p 直角梯形有一个内角为 45 故 CD AB 4p 2p 梯形面积为 CD 3p 2p 3 2 2 2 22 1 2 BC AD 1 22 p2 12 p 2 22 答案 2 5 二 解答题 5 2010 高考福建卷 已知抛物线C y2 2px p 0 过点A 1 2 1 求抛物线C的方程 并求其准线方程 2 是否存在平行于OA O为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线C有公共点 且 直线OA与l的距离等于 若存在 求直线l的方程 若不存在 说明理由 5 5 解 1 将 1 2 代入y2 2px 得 2 2 2p 1 所以p 2 故所求抛物线C的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 2 假设存在符合题意的直线l 其方程为y 2x t 由Error 得y2 2y 2t 0 直线l与抛物线C有公共点 4 8t 0 解之得t 1 2 由直线OA与l的距离d 可得 t 1 5 5 t 5 1 5 1 1 1 2 1 2 故符合题意的直线l存在 其方程为 2x y 1 0 6 如图所示 M是抛物线y2 x上的一点 动弦ME MF分别交x轴于A B两点 且 MA MB 1 若M为定点 证明 直线EF的斜率为定值 2 若M为动点 N a 0 其中a R R 是x轴上一点 求 MN 的最小值 解 1 证明 设M y y0 直线ME的斜率为k k 0 则直线MF的斜率为 k 2 0 直线ME的方程为y y0 k x y 2 0 由Error 消去x 得ky2 y y0 1 ky0 0 解得yE xE 1 ky0 k 1 ky0 2 k2 同理 yF xF 1 ky0 k 1 ky0 2 k2 kEF 定值 yE yF xE xF 1 ky0 k 1 ky0 k 1 ky0 2 k2 1 ky0 2 k2 2 k 4ky0 k2 1 2y0 所以直线EF的斜率为定值 2 设M x0 y