2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）（含解析）

用心 爱心 专心1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷山东卷 理科数学解析版理科数学解析版 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 咎在试题卷 草稿纸上无效 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 l0 小题 每小题 5 分 共 50 分在每小题给出的四个选项中 只 有一项是满足题目要求的 解析 因为 2 2 2 34 255 iii z i 故复数 z 对应点在第四象限 选 D 3 若点 a 9 在函数3xy 的图象上 则 tan 6 a 的值为 A 0 B 3 3 C 1 D 3 答案 D 解析 由题意知 9 3a 解得a 2 所以 2 tantantan3 663 a 故选 D 用心 爱心 专心2 5 对于函数 yf x xR yf x 的图象关于 y 轴对称 是 y f x是奇函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 答案 B 解析 由奇函数定义 容易得选项 B 正确 6 若函数 sinf xx 0 在区间0 3 上单调递增 在区间 3 2 上单调递减 则 A 3 B 2 C 3 2 D 2 3 答案 C 解析 由题意知 函数在 3 x 处取得最大值 1 所以 1 sin 3 故选 C 7 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 根据上表可得回归方程 ybxa 中的 b为 9 4 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 答案 B 解析 由表可计算 42357 42 x 49263954 42 4 y 因为点 7 42 2 在回归直线 用心 爱心 专心3 ybxa 上 且 b为 9 4 所以 7 429 4 2 a 解得 9 1a 故回归方程为 9 49 1yx 令 x 6 得 y 65 5 选 B 8 已知双曲线 22 22 1 0b0 xy a ab 的两条渐近线均和圆 C 22 650 xyx 相切 且双曲线的右 焦点为圆 C 的圆心 则该双曲线的方程为 A 22 1 54 xy B 22 1 45 xy C 22 1 36 xy D 22 1 63 xy 答案 A 解析 由圆 C 22 650 xyx 得 22 3 4xy 因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 3 0 所以 c 3 又双曲线的两条渐近线0bxay 均和圆 C 相切 所以 22 3 2 b ab 即 3 2 b c 又因为 c 3 所以 b 2 即 2 5a 所以该双曲线的方程为 22 1 54 xy 故选 A 9 函数2sin 2 x yx 的图象大致是 答案 C 解析 因为 1 2cos 2 yx 所以令 1 2cos0 2 yx 得 1 cos 4 x 此时原函数是增函数 令 1 2cos0 2 yx 得 1 cos 4 x 此时原函数是减函数 结合余弦函数图象 可得选 C 正确 10 已知 f x是R上最小正周期为 2 的周期函数 且当02x 时 3 f xxx 则函数 yf x 的 图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 用心 爱心 专心4 解析 因为当02x 时 3 f xxx 又因为 f x是R上最小正周期为 2 的周期函数 且 0 0f 所以 6 4 2 0 0ffff 又因为 1 0f 所以 3 0f 5 0f 故函数 yf x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 6 个 选 A 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下 图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中 真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 12 设 1 A 2 A 3 A 4 A是平面直角坐标系中两两不同的四点 若 1312 A AA A R 1412 A AA A R 且 11 2 则称 3 A 4 A调和分割 1 A 2 A 已知点 C c o D d O c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 答案 D 用心 爱心 专心5 解析 由 1312 A AA A R 1412 A AA A R 知 四点 1 A 2 A 3 A 4 A在同一条直线上 因为 C D 调和分割点 A B 所以 A B C D 四点在同一直线上 且 11 2 cd 故选 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 执行右图所示的程序框图 输入 l 2 m 3 n 5 则输出的 y 的值是 答案 68 解析 由输入 l 2 m 3 n 5 计算得出 y 278 第一次得新的 y 173 第二次得新的 y 68 105 输出 y 14 若 6 2 a x x 展开式的常数项为 60 则常数a的值为 答案 4 解析 因为 6 16 2 rrr r a TCx x 所以 r 2 常数项为 2 6 a C 60 解得4a 15 设函数 0 2 x f xx x 观察 1 2 x f xf x x 21 34 x fxf f x x 32 78 x fxf fx x 43 1516 x fxf fx x 根据以上事实 由归纳推理可得 当nN 且2n 时 1 nn fxf fx 答案 22 1 x nxn 解析 观察知 四个等式等号右边的分母为2 34 78 1516xxxx 即 用心 爱心 专心6 2 1 2 4 1 4 8 1 8 16 1 16xxxx 所以归纳出分母为 1 nn fxf fx 的分母为 22 1 nxn 故当nN 且2n 时 1 nn fxf fx 22 1 x nxn 16 已知函数fx log 0a1 a xxb a 且当 2 a 3 b 4 时 函数fx 的零点 0 1 n xn nnN 则 答案 5 解析 方程log 0a1 a xxb a 且 0 的根为 0 x 即函数log 23 a yxa 的图象与函数 34 yxbb 的交点横坐标为 0 x 且 0 1 xn nnN 结合图象 因为当 23 xaa 时 1y 此时对应直线上1y 的点的横坐标1 4 5 xb 当2y 时 对数函数 log 23 a yxa 的图象上点的横坐标 4 9 x 直线 34 yxbb 的图象上点的横坐标 5 6 x 故所求的5n 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 在AABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 2cosC2c a cosBb I 求 sin sin C A 的值 II 若 cosB 1 4 2b 求ABC 的面积 解析 由正弦定理得2 sin aRA 2 sin bRB 2 sin cRC 所以 cosA 2cosC2c a cosBb 2sinsin sin CA B 即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB 即有 sin 2sin ABBC 即sin2sinCA 所以 sin sin C A 2 由 知 sin sin cC aA 2 即 c 2a 又因为2b 所以由余弦定理得 222 2cosbcaacB 即 222 1 2422 4 aaaa 解得1a 所以 c 2 又因为 cosB 1 4 所以 sinB 15 4 故ABC 的面积为 11 sin1 2 22 acB 15 4 15 4 用心 爱心 专心7 18 本小题满分 12 分 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 A B C 进行围棋比赛 甲对 A 乙对 B 丙对 C 各一盘 已知甲胜 A 乙胜 B 丙胜 C 的概率分别为 0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 求红队至少两名队员获胜的概率 用 表示红队队员获胜的总盘数 求 的分布列和数学期望E 解析 红队至少两名队员获胜的概率为0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 55 取的可能结果为 0 1 2 3 则 0 P 0 4 0 5 0 5 0 1 1 P 0 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 35 2 P 0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 4 3 P 0 6 0 5 0 5 0 15 所以 的分布列为 0123 P0 10 350 40 15 数学期望E 0 0 1 1 0 35 2 0 4 3 0 15 1 6 19 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 ACB 90 平面 EF 若 是线段 的中点 求证 平面 若 求二面角 的大小 解析 连结 AF 因为 EF EF F 所以平面 EFG 平面 ABCD 又易证EFG ABC 所以 1 2 FGEF BCAB 即 1 2 FGBC 即 1 2 FGAD 又 M 为 AD 用心 爱心 专心8 的中点 所以 1 2 AMAD 又因为 D 所以 M 所以四边形 AMGF 是平行四边形 故 GM FA 又因为 平面 FA 平面 所以 平面 取 AB 的中点 O 连结 CO 因为 所以 CO AB 又因为 平面 CO 平面 所以 CO 又 AB A 所以 CO 平面 在平面 ABEF 内 过点 O 作 OH BF 于 H 连结 CH 由三垂线定理知 CH BF 所以CHO 为二面角 的平面角 设 2a 因为 ACB 90 2a CO a 2 2 AEa 连结 FO 容易证得 FO EA 且 2 2 FOa 所以 6 2 BFa 所以 OH 22 26 a 3 3 a 所以在Rt COH 中 tan CHO CO OH 3 故 CHO 60 所以二面角 的大小为60 20 本小题满分 12 分 等比数列 n a中 123 a a a分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且 123 a a a中的任何两个数 不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 求数列 n a的通项公式 若数列 n b满足 1 ln nnn baa 求数列 n b的前2n项和 2n S 解析 由题意知 123 2 6 18aaa 因为 n a是等比数列 所以公比为 3 所以数列 n a的通 项公式 1 2 3n n a 因为 1 ln nnn baa 1 2 3n 1 1 ln2 3n 所以 12nn Sbbb 用心 爱心 专心9 1212 lnlnln nn aaaaaa 2 1 3 1 3 n 12 ln n a a a 31 n 121 ln 21 333 nn 31 n 1 2 ln 23 n n n 所以 2n S 2 31 n 2 21 2 2 ln 23 nn n 91 n 2 2 ln2 2 ln3nnn 21 本小题满分12 分 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均 为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为 3 c c 设该容器的建造费 用为y千元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 解析 因为容器的体积为 80 3 立方米 所以 3 2 4 3 r r l 80 3 解得 2 804 33 r l r 所以圆柱的侧面积为 2 rl 2 804 2 33 r r r 2 1608 33 r r 两端两个半球的表面积之和为 2 4 r 所以y 2 160 8 r r 2 4 cr 定义域为 0 2 l 因为 y 2 160 16 r r 8 cr 3 2 8 2 20 cr r 所以令 0y 得 3 20 2 r c 令