角平分线性质复习

角的平分线的性质 习题课角的平分线的性质 习题课 2 2 课时 课时 教学目标教学目标 1 角平分线是过角的顶点 且在角的内部的一条射线 它把一个角分成两个 相等的角 它与角的两边三线共点 角的顶点 2 角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合 关于这一点需从两个方面 去说明 角平分线上的点到角两边的距离相等 到角两边距离相等的点在角 平分线上 进而推广到一般 若要证明某一图形 B 是满足条件 A 的点的集合 要说明两点 图形 B 上的所有点满足条件 A 满足条件 A 的所有点都在图 形 B 上 3 关于命题 角平分线上的点到角两边距离相等 的证明 先要分清题目的 题设部分及结论部分 依照命题准确作出图形 写出已知 求证 再利用相关知 识进行证明 这也是证明一个命题 定理 的几个基本步骤 4 角平分线性质定理及其逆定理 判定定理 的证明分别利用了全等三角形中 AAS 定理及 HL 公理 难点难点 是 角平分线是到角两边距离相等的点的集合 这一结论的理解及 运用 教学过程教学过程 例例 1 ABC 中 C 90 AD 为角平分线 BC 64 BD DC 9 7 求 D 到 AB 的距离 图 3 9 1 图 3 9 1 分析分析 设 DE 为 D 到 AB 的距离 由角平分线性质 CD DE 再由已知可求 CD DE 解解 作 DE AB 于 E C 90 DC AC 又 AD 为 BAC 平分线 DC DE BC 64 BD DC 9 7 DC 64 28 DE 28 16 7 例例 2 求证 三角形三条内角平分线交于一点 分析分析 此类命题证明需先作图 写出已知 求证 再根据条件进行证明 证明证明三直线共点 常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上 此题 中 可考虑如图 3 9 2 设 ABC 与 ACB 的平分线交于 O 再证 AO 平分 BAC 图 3 9 2 已知 ABC 中 AA BB CC 为角平分线 求证 AA BB CC 交于一点 证 设 BB CC 交于 O 过 O 分别作 OD BC 于 D DE AC 于 E OF AB 于 F O 在 ABC 平分线上 OD OF O 在 ACB 平分线上 OE OD OE OF O 在 BAC 平分线上 即 O 在 AA 上 AA BB CC 交于一 点 注 该点称为三角形内心 例例 3 定理 末位数字为 0 的整数能被 5 整除 是否存在逆定理 请说明理 由 分析分析 先写出逆命题 能被 5 整除的整数末位数字是 0 再说明逆命题 的真假 显然这是一个假命题 我们只需举一反倒即可 例如 15 能被 5 整除 但末位数字为 5 故逆命题为假命题 因此原定理没有逆定理 例 4 判断命题 两整数相加 和为整数 的逆命题的真假 解解 逆命题为 和为整数 则两加数必为整数 它是一个假命题 如 1 2 等 都能说明逆命题为假命题 2 1 2 1 3 1 3 5 难题巧解点拨难题巧解点拨 例例 1 ABC 的周长为 41cm 边 BC 17cm 角平分线 AD 将 ABC 分为面积 比为 3 5 的两部分 且 AB AC 求 AB AC 图 3 9 3 图 3 9 3 分析分析 设 AB x AC y 则有 x y 17 41 而 S ABD S ADC 3 5 此条件不好 利用 故考虑 AD 为角平分线 它到两边的距离相等 即 ABD 中 AB 边上的 高 ADC 中 AC 边上的高相等 从得求出 x y 进而求出 x y 解解 作 DE AB 于 E DF AC 于 F AD 为角平分线 DE DF AB AC S ABD S ADC DE AB DF AC 2 1 2 1 AB AC 3 5 x y 17 41 x y 3 5 x y x 9 y 15 即 AB 9cm AC 15cm 例例 2 三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等 这一命题的逆 命题是真命题还是假命题 图 3 9 4 分析分析 先要写出逆命题 到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交 点 该命题是一个假命题 例如 图 3 9 4 P 为 ABC 的两外角 MBC 和 NCB 的角平分线交点 此时 P 到三边 AB AC BC 的距离 PD PF PE 而 P 不为 ABC 的内角平分线交点 注意 不要误以为过点向 ABC 三边的作垂线那么垂足一定都落在边上 也可落在边延长线上 从这里入手证明逆命题为一假命题 同步达纲练习同步达纲练习 一 判断 3 分 8 24 分 1 P 为 AOB 内一点 C 在 OA 上 D 在 OB 上 若 PC PD 则 OP 平分 AOB 2 到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上 3 因为 三内角对应相等的两个三角形全等 是假命题 所以它的逆命 题也是假命题 4 三角形三条角平分线交于一点 且这一点到三顶点的距离相等 5 任何命题都有逆命题 6 任何定理都有逆定理 7 三角形三条角平分线交点到三边距离相等 这个命题的逆命题是真 命题 8 有命题 若 x y 则 x2 y2 的逆命题是个假命题 二 填空 4 分 8 32 分 1 角平分线是到角的两边 相等的所有点的 2 三角形三内角平分线 该点到三边的距离 3 对顶角相等 的逆命题是 它是一个 命题 4 P 在 MON 的角平分线上 PA OM 于 A PB ON 于 B PA PB 12 则 PA PB 5 一个定理的 是正确的时 我们称它为原定理的 6 直角三角形有两个角是锐角 这个命题的逆命题是 它是一 个 命题 7 定理 同位角相等 两直线平行 的逆定理是 三 选择 5 分 6 3 分 1 下列说法正确的是 A 每个命题都有逆命题 B 每个定理都有逆定理 C 真命题的逆命题也是真命题 D 假命题的逆命题是假命题 2 P Q 为 AOB 内两点 且 AOP POQ QOB AOB PM OA 于 M QN OB 3 1 于 N PQ OP 则下面结论正确的是 A PM QM B PM QN C PM QN D PM PQ 3 下列关于三角形角平分线的说法错误的是 A 两角平分线交点在三角形内 B 两角平分线交点在第三个角 的平分线上 C 两角平分线交点到三边距离相等 D 两角平分线交点到三顶点距 离相等 4 下列命题中 正确的命题有几个 对顶角相等 相等的角是对顶角 不是对顶角的两个角就不相等 不相 等的角不是对顶角 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 0 个 5 设 a b 为实数 下面四个命题 若 a b 则 a2 b2 若 a2 b2 则 a b 若 则 a2 b2 若 a2 b2 则 abab 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 下列命题真命题是 A 同位角相等 B 同旁内角相等 两直线平行 C 不相等的角不是内错角 D 同旁内角不互补 两直线不平 行 四 解答题 7 分 2 14 分 1 如图 3 9 6 P 为 AOB 内一点 OA OB 且 OPA 与 OPB 面积相等 求证 AOP BOP 2 ABC 的外角 CBD BCE 的角平分线交于点 F 求证 AF 平分 BAC 素质优化训练素质优化训练 1 如图 3 9 7 AB AC AD AE BD CE 交于 O 求证 AO 平分 BAC 图 3 9 7 2 ABC 中 AB BC CA 三内角平分线交于 O OP AB 于 P OM BC 于 M ON CA 于 N AH BC 于 H 求证 OP OM ON AH 生活实际运用生活实际运用 1