变力做功的计算

变力做功的计算变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算 对于变力做功的计算 一般有以下几种方法 一 微元法 对于变力做功 不能直接用进行计算 但是我们可以把运动过程分成很 多小段 每一小段内可认为 F 是恒力 用求出每一小段内力 F 所做的功 然 后累加起来就得到整个过程中变力所做的功 这种处理问题的方法称为微元法 这种方法 具有普遍的适用性 但在高中阶段主要用于解决大小不变 方向总与运动方向相同或相反 的变力的做功问题 例 1 用水平拉力 拉着滑块沿半径为 R 的水平圆轨道运动一周 如图 1 所示 已知 物块的质量为 m 物块与轨道间的动摩擦因数为 求此过程中摩擦力所做的功 图 1 思路点拨 由题可知 物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变 方向 时刻变化 是变力 不能直接用求解 但是我们可以把圆周分成无数小微元 段 如图 2 所示 每一小段可近似成直线 从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变 求出每一小段上摩擦力做的功 然后再累加起来 便可求得结果 图 2 2 正确解答 把圆轨道分成无穷多个微元段 摩擦力在每一段上 可认为是恒力 则每一段上摩擦力做的功分别为 摩擦力在一周内所做的功 误点警示 对于此题 若不加分析死套功的公式 误认为位移 s 0 得到 W 0 这 是错误的 必须注意本题中的 F 是变力 小结点评 对于变力做功 一般不能用功的公式直接进行计算 但有时可以根据变力 的特点变通使用功的公式 如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时 可用 计算该力的功 但式子中的 s 不是物体运动的位移 而是物体运动的路程 发散演习 如图 3 所示 某个力 F 10N 作用于半径 R 1m 的转盘的边缘上 力 F 的大小保持不 变 但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致 则转动半圆 这个力 F 做功多少 图 3 答案 31 4J 二 图象法 在直角坐标系中 用纵坐标表示作用在物体上的力 F 横坐标表示物体在力的方向上 的位移 s 如果作用在物体上的力是恒力 则其 F s 图象如图 4 所示 经过一段时间物体 发生的位移为 s0 则图线与坐标轴所围成的面积 阴影面积 在数值上等于力对物体做的 功 W Fs s 轴上方的面积表示力对物体做正功 如图 4 a 所示 s 轴下方的面积表示 力对物体做负功 如图 4 b 所示 3 图 4 如果 F s 图象是一条曲线 如图 5 所示 表示力的大小随位移不断变化 在曲线 下方作阶梯形折线 则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功 当阶梯折线越 分越密时 这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积 可见曲线与坐标轴所围成的 面积在数值上等于变力所做的功 由于 F s 图象可以计算功 因此 F s 图象又称为示功 图 图 5 例 2 子弹以速度射入墙壁 入射深度为 h 若子弹在墙中受到的阻力与深度成正 比 欲使子弹的入射深度为 2h 求子弹的速度应增大到多少 思路点拨 阻力随深度的变化图象如图 6 所示 由图象求出子弹克服阻力做的功 再 由动能进行求解 图 6 正确解答 解法一 设射入深度为 h 时 子弹克服阻力做功 W1 射入深度为 2h 时 子弹克服阻力做功 W2 由图 6 可知 4 根据动能定理 子弹减少的动能用于克服阻力做功 有 联立求解得 解法二 设阻力与深度间的比例系数为 k Ff ks 由于 Ff随位移是线性变化的 所 以 Ff的平均值为 根据动能定理 有 联立求解得 小结点评 若力随位移按一次方函数关系变化时 求功时可用平均作用力来代替这个 变力 用恒力功的公式求功 也可用 F s 图象求功 若力随位移的变化不是一次函数关系 则可用图象求功 而不能用平均值求功 发散练习 1 如图 7 所示 有一劲度系数 k 500N m 的轻弹簧 左端固定在墙壁上 右端紧靠 一质量 m 2kg 的物块 物块与水平面间的动摩擦因数 弹簧处于自然状态 现缓 慢推动物块使弹簧从 B 到 A 处压缩 10cm 然后由静止释放物块 求 1 弹簧恢复原长时 物块的动能为多大 2 在弹簧恢复原长的过程中 物块的最大动能为多大 5 图 7 答案 1 1 7J 2 1 764J 提示 1 从 A 到 B 的过程 对物体应用动能定理得 其中 W弹可利用示功图求出 画出弹簧弹力随位移变化的图象 如图 8 所示 F1 kx1 弹力做功的值等于 OAB 的面积 即 所以 图 8 2 放开物体后 物体做的是加速度越来越小的加速运动 当弹簧的弹力等于摩擦 力时 物体有最大的动能 设此时弹簧的压缩量为 由得 物体的位移 在 这一过程中弹力的功在数值上等于图 8 中梯形 OADC 的面积 即 所以物块的最大动能为 6 2 用质量为 5kg 的均匀铁索从 10m 深的井中吊起一质量为 20kg 的物体 在这个过程 中至少要做多少功 g 取 10m s2 答案 2250J 提示 作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力 但在拉起铁索的过程 中 铁索长度逐渐缩短 因此拉力也逐渐减小 即拉力是一个随距离变化的变力 从物体 在井底开始算起 拉力随深度 h 的变化关系是 0 h 10 作出 F h 图线如图 9 所示 利用示功 图求解拉力的功 可用图中梯形面积表示 得出 图 9 3 一辆汽车质量为 1 105kg 从静止开始运动 其阻力为车重的 0 05 倍 其牵引力 的大小与车前进的距离是线性关系 且 是车所受阻力 当该车前进 100m 时 牵引力做了多少功 答案 1 107J 提示 阻力 则牵引力为 作出 F s 图象如图 10 所示 图中梯形 OABD 的面积表示牵引力的功 所以 7 图 10 三 利用 W Pt 求变力做功 这是一种等效代换的观点 用 W Pt 计算功时 必须满足变力的功率是一定的 例 3 汽车的质量为 m 输出功率恒为 P 沿平直公路前进距离 s 的过程中 其速度由 v1增至最大速度 假定汽车在运动过程中所受阻力恒定 则汽车通过距离 s 所用的时间 为 思路点拨 汽车以恒定的功率 P 加速时 由 P Fv 可知 牵引力逐渐减小 汽车做加 速度逐渐减小的加速运动 当 F Ff时 加速度减小到零 速度达到最大 然后以最大的 速度做匀速直线运动 正确解答 当 F Ff时 汽车的速度达到最大 v2 由可得 对汽车 根据动能定理 有 两式联立得 8 误点警示 有同学可能这样解 平均速度 时间 这 样解是错误的 因为汽车的运动不是匀加速运动 不能用求平均速度 小结点评 汽车以恒定的功率起动时 牵引力是变力 牵引力的功不能用 W Fs 计算 但可以用 W Pt 计算 若用求牵引力的功也是错误的 因为牵 引力随位移的变化不是线性关系 不能用求平均牵引力 发散演习 质量为 m 的汽车在平直的公路上从速度 v0开始加速行驶 经过一段时间 t 后 前进了 距离 s 此时恰好达到其最大速度 设此过程中汽车发动机始终以额定功率 P 工作 汽车所受的阻力为恒力 Ff 则这段时间里 发动机所做的功为 A B C D 答案 A B 提示 发动机所做的功即为发动机牵引力做的功 由功率定义可知 W Pt 选项 B 正 确 汽车以恒定功率起动 当 F Ff时 达到最大速度 应有 所以t 选项 A 正确 选项 C D 均将汽车的运动看作匀变速运动 其中 选项 C 是先求出 a 再求出合外力 ma 的功 选项 D 是先算出平均速度 然后用 表示发动机做的功 显然都是错误的 因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运 动 四 利用功能关系求变力功 9 求变力所做的功 往往根据动能定理 机械能守恒定律和功能关系等规律 用能量的 变化量等效代换变力所做的功 这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向 的细节 只考虑变力做功的效果 能量变化 解题过程简捷 是求变力功的首选方法 例 4 如图 11 所示 质量 m 2kg 的小球系在轻细橡皮条一端 另一端固定在悬点 O 处 将橡皮条拉直至水平位置 OA 处 橡皮条无形变 然后将小球由 A 处静止释放 小球到 达 O 点正下方 h 0 5m 处的 B 点时的速度为 v 2m s 求小球从 A 运动到 B 的过程中橡皮 条的弹力对小球所做的功 取 g 10m s2 图 11 思路点拨 取小球 橡皮条和地球组成的系统为研究对象 在小球从 A 运动到 B 的过 程中 只有系统内的重力和弹力做功 机械能守恒 正确解答 取过 B 点的水平面为零重力势能参考平面 橡皮条为原长时的弹性势能为 零 设在 B 时橡皮条的弹性势能为 Ep2 由机械能守恒定律得 则 橡皮条的弹性势能增加 6J 则小球的机械能必减少 6J 故橡皮条的弹力对小球做功 6J 小结点评 弹簧或橡皮条的弹力是变力 求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹 力做功与弹性势能变化的关系 发散演习 1 将一质量为 m 的物体以初速度 v0竖直向上抛出 落回抛出点时的速度为 v 已知 空气阻力与速率成正比 则从抛出到落回抛出点的整个过程中 空气阻力做的功为 10 答案 提示 对整个过程应用动能定理 2 如图 12 所示 物体沿曲面从 A 点无初速度滑下 滑至曲面的最低点 B 时 下滑的 高度为 5m 速度为 6m s 若物体的质量为 1kg 则下滑过程中物体克服阻力所做的功为多 少 图 12 答案 根据动能定理可得 五 利用动能定理求变力功 6 质量为 m 的小球被系在轻绳的一端 在竖直平面内做半径为 R 的圆周运 动 运动过程中小球受到空气阻力的作用 设某一时刻小球通过轨道的最低点 此时绳子的张力为 7mg 此后小球继续做圆周运动 经过半个圆周恰能通过 最高点 则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为 A mgR B mgR C mgR D mgR 4 1 2 1 3 1 11 5 某消防队员从一平台跳下 下落 2m 后双脚触地 接着他用双腿弯曲的方 法缓冲 使自身重心又下降了 0 5m 在着地过程中 地面对他双腿的平均作用 力是他自身重力的 A 2 倍 B 5 倍 C 8 倍 D 10 倍 4 如图所示 质量为 m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动 拉力为某个值 F 时 转动半径为 R 当拉力逐渐减小到时 物体以另一线速度仍做匀速 圆周运动 半径为 2R 则物体克服外力所做的功是 A 0 B C D 2 如图所示 AB 为 1 4 圆弧轨道 BC 为水平直轨道 圆弧的半径为 R BC 的长度也是 R 一质量为