初中数学检验方法例谈

数学答案检验方法例谈数学答案检验方法例谈 松江区教师进修学院附属 立达中学 庄士忠 201600 数学能力包括计算能力 也包括估算能力 有时候我们不知道答案是否 对 但可以知道答案是否一定错 检验答案不仅能纠正错误 还能有效培养我 们思维的严谨性 灵活性 深刻性 方法一 直接法 例 1 如图 点 C 在线段 AB 的延长线上 15DAC 110DBC 则 D 的度数是 分析 由题设知 15DAC 110DBC 利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和知识 通过计算可得出 D 95 方法二 特例法 例 2 已知 ABC 中 60A ABC ACB 的平分线交于点O 则 BOC 的度数为 分析 此题已知条件中就是 ABC 中 60A 说 明只要满足此条件的三角形都一定能够成立 故不妨令 ABC 为等边三角形 马上得出 BOC 120 例 3 填空题 已知 a 0 那么 点 P a2 2 2 a 关于 x 轴的对称点是在第 象限 解 设 a 1 则 P 3 3 关于 x 轴的对称点是 3 3 在第三象限 所以点 P a 2 2 2 a 关于 x 轴的对称点是在第三象限 例 4 无论 m 为任何实数 二次函数 y x2 2 m x m 的图像都经过的点是 解 因为 m 可以为任何实数 所以不妨设 m 2 则 y x 2 2 再设 m 0 则 y x 2 2x 解方程组 解得 所以二次函数 y x 2 2 m x m 的图像都经过的点是 1 3 方法三 基本概念检验法方法三 基本概念检验法 基本概念 法则 公式是同学们复习时最容易忽视的 因此在解题时极易 发生概念性错误 所以 概念检验法是一种对症下药的方法 例 4 下列函数中 是一次函数的有几个 ABC D 1 y 2x2 2 y x3 2 3 y kx 2 4 y x 1 3 答 有三个 错了 我们先来回想一下一次函数的定义 一切形如 y kx b k 非 0 的函数称为一次函数 对照定义形式 仅 4 为一次函数 故只有一个 方法四 对称原理检验法方法四 对称原理检验法 对称的条件势必导致结论的对称 此结论通常被称为不充足理由律 利 用这种对称原理可以对答案进行快速检验 例 5 因式分解 xy 1 x 1 y 1 xy xy y 1 xy x 1 结 论显然错误 左端关于 x y 对称 所以右端也应关于 x y 对称 正确答案应 为 xy 1 x 1 y 1 xy xy y 1 xy x 1 方法五 特殊情形检验法 猜想法 方法五 特殊情形检验法 猜想法 问题的特殊情况往往比一般情况更易解决 因此通过特殊值 特例或极端 状态来检验答案是非常快捷的方法 因为矛盾的普遍性寓于特殊性之中 猜想法 例 6 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形 按照这样的规律摆下去 则第 n 个图形需棋子 枚 用含 n 的代数式表示 分析 从第 1 个图中有 4 枚棋子 4 3 1 1 从第 2 个图中有 7 枚棋子 7 3 2 1 从第 3 个图中有 10 枚棋子 10 3 3 1 从而猜想 第 n 个图中有棋子 3n 1 枚 方法六 等价关系检验法方法六 等价关系检验法 等价关系不仅广泛用于解题时的等价转换 而且在检验答案时也可收到事 半功倍的效果 等价转化法 通过 化复杂为简单 化陌生为熟悉 将问题等价地转化成便于解 决的问题 从而得出正确的结果 例 7 如图 在 ABC 中 AB 7 AC 11 点 M 是 BC 的中点 AD 是 BAC 的平分线 MF AD 则 FC 的长为 第 1 个 图 第 2 个 图 第 3 个 图 解 如图 设点 N 是 AC 的中点 连接 MN 则 MN AB 又 MF AD 所以 所以 因此 例 8 如图 在 中 E 为斜边 AB 上一点 AE 2 EB 1 四边形 DEFC 为正方形 则阴影部分的面积为 解 将直角三角形 EFB 绕 E 点 按逆时针方向旋转 因为 CDEF 是正方形 所 以 EF 和 ED 重合 B 点落在 CD 上 阴影部分的面积转化为直角三角形 ABE 的面 积 因为 AE 2 EB 1 所以阴影部分的面积为 1 2 2 1 1 方法七 整体思想检验法方法七 整体思想检验法 整体把握不仅能培养我们全局观念 养成良好的思维习惯 而且在检验答 案时 通过彼此的遥相呼应 全局的和谐统一也可收到出奇制胜的效果 例 9 如果 x y 4 x y 8 那么代数式 x2 y2的值是 分析 若直接由 x y 4 x y 8 解得 x y 的值 再代入求值 则过程稍显复 杂 且易出错 而采用整体代换法 则过程简洁 妙不可言 分析 x2 y2 x y x y 4 8 32 例 10 已知 5 3 cbba 1 222 cba 则 cabcab 的值等于 分析 运用完全平方公式 得 222 accbba 2 222 cba 2 cabcab 即 cabcab 222 cba 2 1 222 accbba 5 3 cbba 5 6 abbcac 1 222 cba cabcab 1 2 1 2 5 3 2 5 3 2 5 6 25 2 方法八 数形结合检验法方法八 数形结合检验法 数是形的抽象概括 形是数的直观表现 数形结合相得益彰 通过代数方 法解出的问题 若能联想出几何背景 不妨用几何方法进行直观验证 用几何 方法求出的答案 也可用代数方法进行精确验算 数形结合法 数缺形时少直观 形缺数时难入微 数学中大量数的问题后面都隐含着形 的信息 图形的特征上也体现着数的关系 我们要将抽象 复杂的数量关系 通过形的形象 直观揭示出来 以达到 形帮数 的目的 同时我们又要运用数的 规律 数值的计算 来寻找处理形的方法 来达到 数促形 的目的 对于一些 含有几何背景的填空题 若能数中思形 以形助数 则往往可以简捷地解决问 题 得出正确的结果 例 11 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如图所示 已知斜放置的三个 正方形的面积分别是 1 2 3 正放置的四个正方形的面积依次是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4 解 四个正方形的面积依次是 S1 S2 S3 S4 可设它们的边长分别为 a b c d 由直角三角形全等可得 解得 a2 b2 c2 d2 4 则 S1 S2 S3 S4 4 例 12 如图为二次函数 y ax2 bx c 的图象 在下列说法中 ac 0 方程 ax2 bx c 0 的根是 x1 1 x2 3 a b c 0 当 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 正确的说法有 把正确的答案的序号都填在横线 上 分析 本题借助图解法来求 利用图像中抛物线开口向上可知 a 0 与 y 轴负 半轴相交可知 c 0 所以 ac 0 图像中抛物线与 x 轴交点的横坐标为 1 3 可知方程 ax2 bx c 0 的根是 x1 1 x2 3 从图中可知抛物线上横坐标 为 1 的点 1 a b c 在第四象限内所以 a b c 0 从与 x 轴两交点的 横坐标为 1 3 可知抛物线的对称轴为 x 1 且开口向上 所以当 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 所以正确的说法是 方法九 一题多解检验法方法九 一题多解检验法 多种解法比一种解法更使人放心 也更容易发现存在问题 当一道题 解完后 进行再思考 往往会闪出好念头 获得好方法 用新颖的方法再解后 有错则纠 无错则形成双保险 例 13 六 一 有学生 55 人 女生人数是男生的 六 一 班有男生多 6 5 少人 生 1 用方程解 设男生有 x 人 女生是人 X 6 5 根据 男生人数 女生人数 全班人数 列方程 x 55X 6 5 男生人数 55 X 30X 6 11 生 2 全班总分成 11 份 求出每份几人 55 5 6 5 人 男生占 6 份的人数 6 5 30 人 生 3 设男生 x 人 看作 5 6 得出 55 x x 5 6 6 5 X 30 生 4 男生 6 份 女生 5 份 男生是全班人数的 从而直接可列式求男 11 6 生 55 30 人 11 6 通过对同一道题不同答解方法的展现 经历了一个从特殊到一般 再从一般 到特殊的思维过程 同时也检验答