2010年高中数学高考热点：攻略探索性问题

用心 爱心 专心 2010 年高考数学热点 攻略探索性问题年高考数学热点 攻略探索性问题 一 考情分析 探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论 或由问题的题干去追溯相应的条 件 要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找 去发现规律性的东西 问题增加了许多可 变的因素 思维指向不明显 解题时往往难于下手 近年来 探索性问题在高考试题中多次出现 主要有以下几类 1 探索条件型问题 从给定的问题结论出发 追溯结论成立的充分条件 2 探索结论型问题 从给定的题设条件出发 探求相关的结论 3 探索存在型问题 从假设相关结论存在出发 从而肯定或否定这种结论是否存在 4 探索综合型问题 从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发 探究问题的相应变化 二 高考预测 预测 2010 年数学试卷中继续保持了探索型 开放型 研究型等题型 形式上也会有所突破 如只猜不证 只算不写等 填空题中出现了条件 结论完全开放的设计 题型的创新 带来 了新的理念 这必将促进教学的创新 三 突破策略 问题的条件不完备 结论不确定是探索性问题的基本特征 从探索性问题的解题过程来看 没有确定的模式 可变性多 对观察 试验 联想 类比 猜想 抽象 概括 特别是对发 现问题 分析问题的能力要求较高 探索性问题的解题策略有 1 攻略之一 特殊值探路 一般化证明 从最简单 最特殊的情况出发 有时也可借助直觉观察或判断 推测出命题的结论 必要时 给出严格证明 例 1 已知 2 32 2 Nnbnna n nn 试判断 n a 与 n b 的大小关系 解析 由 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b 55 ba 6 a 6 b 7 a 7 a 猜想出 结论 当 5 n 时 nn ba 当 2 n 3 4 时 n a n b 当 1 n 或 6 n 时 n a n b 然 后用数学归纳法证明猜想的正确性 2 攻略之二 假设存在 推理检验 此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手 充分挖掘题设条件的内涵与外 延 积极向所探究的结论靠拢 解答这类问题的一般思路是 先假定对象存在 运用条件进 行推理 若得到相应的合理结论 断言这个对象是存在的 若出现矛盾 则否定先前假设 断言对象是不存在的 例 2 抛物线过定点 A 0 2 且以 x 轴为准线 1 求抛物线的顶点 M 的轨迹 C 2 问过定点 B 2 5 1 是否存在一对互相垂直的直线同时都与轨迹 C 有公共点 证明 你的结论 解析 1 利用数形结合法 根据抛物线定义可求得动点 M 的轨迹方程为 x 2 4 y 1 2 4 y 0 用心 爱心 专心 2 过点 B 的直线与曲线 C 有交点需满足什么条件 两直线垂直的条件又是什么 这两者 中有何关系 从而推出合理的结论 设过点 B 2 5 1 的直线 L 为 y 1 k x 2 5 L 与 C 有交点的条件为方程组 414 1 2 5 2 2 yx xky 有解 3 2 0 k 现假设存在一对过 B 且与轨迹 C 有公共点的互相垂直的直线 L1和 L2 则有 11 2121 kkkk 但由上述结果知 9 4 21 kk 这就产生矛盾 故这样的直线不存 在 例 3 2008 年湖北高考试题 已知数列 n a 和 n b 满足 1 a 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban 其中 为实数 n为正整数 对任意实数 证明数列 n a 不是等比数列 试判断数列 n b 是否为等比数列 并证明你的结论 设0 ab n S 为数列 n b 的前n项和 是否存在实数 使得对任意正整数n 都有 n aSb 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 证明 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有 a22 a1a3 即 094 9 4 94 9 4 4 9 4 3 3 2 222 矛盾 所以 an 不是等比数列 解 因为 bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 1 n 1 3 2 an 2n 14 3 2 1 n an 3n 21 3 2 bn 又 b1 18 所以 当 18 bn 0 n N 此时 bn 不是等比数列 当 18 时 b1 18 0 由上可知 bn 0 3 2 1 n a b b n N 故当 18 时 数列 bn 是以 18 为首项 3 2 为公比的等比数列 用心 爱心 专心 由 知 当 18 bn 0 Sn 0 不满足题目要求 18 故知 bn 18 3 2 n 1 于是可得 Sn 3 2 1 18 5 3 n 要使 a Sn b 对任意正整数 n 成立 即 a 5 3 18 1 3 2 n b n N 3 18 22 5 1 1 33 2 1 nn n ab f n 得 令 则 3 当 n 为正奇数时 1 f n 1 9 5 3 5 nfn为正偶数时 当 f n 的最大值为 f 1 3 5 f n 的最小值为 f 2 9 5 于是 由 式得9 5 a 5 3 18 18318 5 3 abb 当 a3a 存在实数 使得对任意正整数 n 都有 a Sn0 用它们 拼成一个三棱柱或四棱柱 在所有可能的情形中 全面积最小的是一个四棱柱 则 a 的取值 范围是 用心 爱心 专心 2 3152 315 0 0 1 0 3333 ABCD 4 2009 安徽卷理 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为面 积相等的两部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 5 观察 sin220 cos250 sin20 cos50 4 3 sin215 cos245 sin15 cos45 4 3 写出一个与以上两式规律相同的一个等式 6 2009 浙江文 设等差数列 n a 的前n项和为 n S 则 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 n b 的前n项积为 n T 则 4 T 16 12 T T 成等比数列 7 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 3 2 2 求 a b 的值 C 上是否存在点 P 使得当 l 绕 F 转到某一位置时 有 OBOAOP 成立 若存在 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程 若不存在 说明理由 8 2009 北京卷理 如图 在三棱锥P ABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC 上 且 DEBC 已知椭圆 C 的离心率为 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 2 2 两点 当 l 的斜率为 1 时 坐标原点 O 到 l 的距离为 用心 爱心 专心 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 是否存在点E使得二面角A DEP 为直二面角 并说明理由 参考答案 1 解析 l 且 l m l m 且 l l 但不能推出 l m l m l m 由 m l m 不能推出 答案 B 2 解析 选 1 1 元 5 张 0 6 元 2 张 0 8 元 1 张 故 8 张 答案 B 3 答案 C 解析 先考查拼成三棱柱 如图 1 全面积 S1 4812 4 543 34 2 1 2 2 a a aaaaa 再考查拼成四棱柱 如图 2 全面积 1 若 AC 5a AB 4a BC 3a 则该四棱柱的全面积为 S2 2824 2 43 2342 2 a a aaaa 2 若 AC 4a AB 3a BC 5a 则该四棱柱的全面积为 S2 3224 2 53 2342 2 a a aaaa 3 若 AC 3a AB 5a BC 4a 则该四棱柱的全面积为 S2 3624 2 54 2342 2 a a aaaa 又在所有可能的情形中 全面积最小的是一个四棱柱 从而知 3 15 0201248122824 222 aaaa 即 a 的取值范围是 15 0 3 用心 爱心 专心 4 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ABC 由 34 34 xy xy 得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 4 3 S ABC 144 4 1 233 设 ykx 与3 4xy 的 交点为 D 则由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x 5 2 D y 5147 2233 kk 选 A 5 解析 由 50 20 45 15 30 可得 sin2 cos2 30 sin cos 30 4 3 答案 sin2 cos2 30 sin cos 30 4 3 6 答案 812 48 TT TT 解析 对于等比数列 通过类比 有等比数列 n b 的前n项积为 n T 则 4 T 812 48 TT TT 16 12 T T 成等比数列 点评 此题是一个数列与类比推理结合的问题 既考查了数列中等差数列和等比数列的知识 也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 7 解 设 0 cF 当l的斜率为 1 时 其方程为 Ocyx 0 到l的距离为 A x D y C O y kx 4 3 用心 爱心 专心 22 00 c c 故 2 2 2 c 1 c 由 3 3 a c e 得 3 a 22 cab 2 C 上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有 OBOAOP 成立 由 知 C 的方程为 2 2x 2 3y 6 设 2211 yxByxA 1 xkylxl的方程为轴时 设不垂直当 C OBOAOPP 使上的点 成立的充要条件是 点的坐标为 2121 yyxxP 且 6 3 2 2 21 2 21 yyxx 整理得 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyxxyxyx 632 632 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxCBA上 即在 又 故 0332 2121 yyxx 将 并化简得代入 632 1 22 yxxky 0636 32 2222 kxkxk 于是 2 2 21 32 6 k k xx 21x x 2 2 32 63 k k 2 2 21 2 21 32 4 2 1 k k xxkyy 代入 解得 2 2 k 此时 2 3 21 xx 于是 2 2121 xxkyy 2 k 即 2 2 3 k P 用心 爱心 专心 因此 当 2 k 时 2 2 2 3 P 022 yxl的方程为 当 2 k 时 2 2 2 3 P 022 yxl的方程为 当l垂直于x轴时 由 0 2 OBOA 知 C 上不存在点 P 使 OBOAOP 成立 综上 C 上存在点 2 2 2 3 P 使 OBOAOP 成立 此时l的方程为 022 yx 点评 本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力 第一问直接运用点到直线的距离公 式以及椭圆有关关系式计算 第二问利用向量坐标关系及方程的思想 借助根与系数关系解 决问题 注意特殊情况的处理 8 解法 1 PA 底面 ABC PA BC 又 90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角A DEP 的平面角 用心 爱心 专心 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时 90AEP 故存在点 E 使得二面角A DEP 是直二面角 解法 2 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 Axyz 设PA a 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP BC AP