113集合的基本运算（1）

1 1 3 集合的基本运算集合的基本运算 整体设计整体设计 教学分析教学分析 课本从学生熟悉的集合出发 结合实例 通过类比实数加法运算引入集合间的运算 同时 结合 相关内容介绍子集和全集等概念 在安排这部分内容时 课本继续注重体现逻辑思考的方法 如类比等 值得注意的问题 在全集和补集的教学中 应注意利用图形的直观作用 帮助学生理解补集的 概念 并能够用直观图进行求补集的运算 三维目标三维目标 1 理解两个集合的并集与交集 全集的含义 掌握求两个简单集合的交集与并集的方法 会求 给定子集的补集 感受集合作为一种语言 在表示数学内容时的简洁和准确 进一步提高类比 的能力 2 通过观察和类比 借助 Venn 图理解集合的基本运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 培养数形结合的思想 重点难点重点难点 教学重点 交集与并集 全集与补集的概念 教学难点 理解交集与并集的概念 以及符号之间的区别与联系 课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 第第 1 课时课时 导入新课导入新课 思路思路 1 我们知道 实数有加法运算 两个实数可以相加 例如 5 3 8 类比实数的加法运算 集合 是否也可以 相加 呢 教师直接点出课题 思路思路 2 请同学们考察下列各个集合 你能说出集合 C 与集合 A B 之间的关系吗 1 A 1 3 5 B 2 4 6 C 1 2 3 4 5 6 2 A x x 是有理数 B x x 是无理数 C x x 是实数 引导学生通过观察 类比 思考和交流 得出结论 教师强调集合也有运算 这就是我们本节 课所要学习的内容 思路 3 1 如图 1131 甲和乙所示 观察两个图的阴影部分 它们分别同集合 A 集合 B 有什 么关系 图 1 1 3 1 观察集合 A 与 B 与集合 C 1 2 3 4 之间的关系 学生思考交流并回答 教师直接指出这就是本节课学习的课题 集合的运算 2 已知集合 A 1 2 3 B 2 3 4 写出由集合 A B 中的所有元素组成的集合 C 已知集合 A x x 1 B x x 0 在数轴上表示出集合 A 与 B 并写出由集合 A 与 B 中的所 有元素组成的集合 C 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 通过上述问题中集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系 类比实数的加法运算 你发现了什么 用文字语言来叙述上述问题中 集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系 用数学符号来叙述上述问题中 集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系 试用 Venn 图表示 A B C 请给出集合的并集定义 求集合的并集是集合间的一种运算 那么 集合间还有其他运算吗 请同学们考察下面的问题 集合 A 与 B 与集合 C 之间有什么关系 A 2 4 6 8 10 B 3 5 8 12 C 8 A x x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级女同学 B x x 是国兴中学 2007 年 9 月 入学的高一年级男同学 C x x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级同学 类比集合的并集 请给出集合的交集定义 并分别用三种不同的语言形式来表达 活动 活动 先让学生思考或讨论问题 然后再回答 经教师提示 点拨 并对回答正确的学生及时 表扬 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 主要引导学生发现集合的并集和交集运 算并能用数学符号来刻画 用 Venn 图来显示 讨论结果 讨论结果 集合之间也可以相加 也可以进行运算 但是为了不和实数的运算相混淆 规定这种运算不 叫集合的加法 而是叫做求集合的并集 集合 C 叫集合 A 与 B 的并集 记为 A B C 读作 A 并 B 所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成了集合 C C x x A 或 x B 如图 1131 所示 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 其 含义用符号表示为 A B x x A 或 x B 用 Venn 图表示 如图 1131 所示 集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算 这种运算叫求集合的交集 记作 A B 读作 A 交 B A B C A B C 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 其含义用符号表示为 A B x x A 且 x B 用 Venn 图表示 如图 1132 所示 图 1 1 3 2 应用示例应用示例 思路思路 1 1 设 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求 A B A B 图 1 1 3 3 活动 活动 让学生回顾集合的表示法和交集 并集的含义 由于本例题难度较小 让学生自己解决 重 点是总结集合运算的方法 根据集合并集 交集的含义 借助于 Venn 图写出 观察这两个集合 中的元素 或用 Venn 图来表示 如图 1133 所示 解 解 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 5 8 点评 点评 本题主要考查集合的并集和交集 用列举法表示的集合 运算时常利用 Venn 图或直接 观察得到结果 本题易错解为 A B 3 4 5 5 6 7 8 8 其原因是忽视了集合元素的互异性 解决集合问题要遵 守集合元素的三条性质 变式训练变式训练 1 集合 M 1 2 3 N 1 5 6 7 则 M N M N 答案 答案 1 1 2 3 5 6 7 2 集合 P 1 2 3 m M m2 3 P M 1 2 3 m 则 m 分析 由题意得 m2 1 或 2 或 m 解得 m 1 1 0 因 m 1 不合题意 故舍去 22 答案 答案 1 022 3 2007 河南实验中学月考 理 1 满足 A B 0 2 的集合 A 与 B 的组数为 A 2 B 5 C 7 D 9 分析 A B 0 2 A 0 2 则 A 或 A 0 或 A 2 或 A 0 2 当 A 时 B 0 2 当 A 0 时 则集合 B 2 或 0 2 当 A 2 时 则集合 B 0 或 0 2 当 A 0 2 时 则集合 B 或 0 或 2 或 0 2 则满足条件的集合 A 与 B 的组数为 1 2 2 4 9 答案 答案 D 4 2006 辽宁高考 理 2 设集合 A 1 2 则满足 A B 1 2 3 的集合 B 的个数是 A 1 B 3 C 4 D 8 分析 转化为求集合 A 子集的个数 很明显 3A 又 A B 1 2 3 必有 3 B 即集合 B 中至 少有一个元素 3 其他元素来自集合 A 中 则集合 B 的个数等于 A 1 2 的子集个数 又集合 A 中含有 22 4 个元素 则集合 A 有 22 4 个子集 所以满足条件的集合 B 共有 4 个 答案 答案 C 2 设 A x 1 x 2 B x 1 x 3 求 A B A B 活动 活动 学生回顾集合的表示法和并集 交集的含义 利用数轴 将 A B 分别表示出来 则阴 影部分即为所求 用数轴表示描述法表示的数集 解 解 将 A x 1 x 2 及 B x 1 x 3 在数轴上表示出来 如图 1134 所示的阴影部分即为所求 图 1 1 3 4 由图得 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 点评 点评 本类题主要考查集合的并集和交集 用描述法表示的集合 运算时常利用数轴来计算结 果 变式训练变式训练 1 设 A x 2x 40 求 A B A B 答案 答案 A B R A B x 2 x 3 2 设 A x 2x 4 2 B x 2x 4 0 求 A B A B 答案 答案 A B 3 2 A B 3 2007 惠州高三第一次调研考试 文 1 设集合 A x 1 x 2 B x 0 x 4 则 A B 等于 A 0 2 B 1 2 C 0 4 D 1 4 分析 在同一条数轴上表示出集合 A B 如图 1135 所示 由图得 A B 0 2 图 1 1 3 5 答案 答案 A 课本 P11例 6 例 7 思路思路 2 1 A x x0 C x x 10 则 A B B C A B C 分别是什么 活动 活动 学生先思考集合中元素特征 明确集合中的元素 将集合中元素利用数形结合在数轴上找到 那么运算结果寻求就易进行 这三个集合都是用描述法表示的数集 求集合的并集和交集的关 键是找出它们的公共元素和所有元素 解 解 因 A x x0 C x x 10 在数轴上表示 如图 1136 所示 所以 A B x 0 x0 A B C 图 1 1 3 6 点评 点评 本题主要考查集合的交集和并集 求集合的并集和交集时 明确集合中的元素 依 据并集和交集的含义 借助于直观 数轴或 Venn 图 写出结果 变式训练变式训练 1 设 A x x 2n n N B x x 2n n N 求 A B A B 解 解 对任意 m A 则有 m 2n 2 2n 1 n N 因 n N 故 n 1 N 有 2n 1 N 那么 m B 即对任意 m A 有 m B 所以 AB 而 10 B 但 10A 即 AB 那么 A B A A B B 2 求满足 1 2 B 1 2 3 的集合 B 的个数 解 解 满足 1 2 B 1 2 3 的集合 B 一定含有元素 3 B 3 还可含 1 或 2 其中一个 有 1 3 2 3 还可含 1 和 2 即 1 2 3 那么共有 4 个满足条件的集合 B 3 设 A 4 2 a 1 a2 B 9 a 5 1 a 已知 A B 9 求 a 解 解 因 A B 9 则 9 A a 1 9 或 a2 9 a 10 或 a 3 当 a 10 时 a 5 5 1 a 9 当 a 3 时 a 1 2 不合题意 当 a 3 时 a 1 4 不合题意 故 a 10 此时 A 4 2 9 100 B 9 5 9 满足 A B 9 4 2006 北京高考 文 1 设集合 A x 2x 1 3 B x 3 x 2 则 A B 等于 A x 3 x 1 B x 1 x 3 D x x 1 分析 集合 A x 2x 1 3 x x 1 观察或由数轴得 A B x 3 x 1 答案 答案 A 2 设集合 A x x2 4x 0 B x x2 2 a 1 x a2 1 0 a R 若 A B B 求 a 的值 活动 活动 明确集合 A B 中的元素 教师和学生共同探讨满足 A B B 的集合 A B 的关系 集合 A 是 方程 x2 4x 0 的解组成的集合 可以发现 BA 通过分类讨论集合 B 是否为空集来求 a 的值 利用集合的表示法来认识集合 A B 均是方程的解集 通过画 Venn 图发现集合 A B 的关 系 从数轴上分析求得 a 的值 解 解 由题意得 A 4 0 A B B BA B 或 B 当 B 时 即关于 x 的方程 x2 2 a 1 x a2 1 0 无实数解 则 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得 a2m 1 m 2 当 B 时 观察图 1 1 3 7 图 1 1 3 7 由数轴可得解得 2 m 3 5 12 12 121 m m mm 综上所述 实数 m 的取值范围是 m 2 或 2 m 3 即 m 3 点评 点评 本题主要考查集合的运算 分类讨论的思想 以及集合间关系的应用 已知两个集合的 运算结果 求集合中参数的值时 由集合的运算结果确定它们的关系 通过深刻理解集合表示 法的转换 把相关问题化归为其他常见的方程 不等式等数学问题 这称为数学的化归思想 是数学中的常用方法 学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题 知能训练知能训练 课本 P11练习 1 2 3 补充练习 1 设 a 3 5 6 8 B 4 5 7 8 1 求 A B A B 2 用适当的符号 填空 A B A B A B A B A A B B A B A B 解 解 1 因 A B 的公共元素为 5 8 故两集合的公共部分为 5 8 则 A B 3 5 6 8 4 5 7 8 5 8 又 A B 两集合的元素 3 4 5 6 7 8 故 A B 3 4 5 6 7 8 2 由文氏图可知 A BA BA B A BA A BB A BA B 2 设 A x x 5 B x x 0 求 A B 解 解 因 x 5 及 x 0 的公共部分为 0 x 5 故 A B x x 5 x x 0 x 0 x 2 B x x 3 求 A B 解 解 在数轴上将 A B 分别表示出来 得 A B x x 2 5 设 A x x 是平行四边形 B x x 是矩形 求 A B 解 解 因矩形是平行四边形 故由 A 及 B 的元素组成的集合为 A B A B x x 是平行四边形 6 已知 M 1 N 1 2 设 A x y x M y N B x y x N y M 求 A B A B 分析 M N 中元素是数 A B 中元素是平面内点集 关键是找其元素 解 解 M 1 N 1 2 则 A 1 1 1 2 B 1 1 2 1 故 A B 1 1 A B 1 1 1 2 2 1 7 2006 江苏高考 7 若 A B C 为三个集合 A B B C 则一定有 A AC B CA C A C D A 分析 思路一 B C B B C C A B B C A BB A BC ABC AC 思路二 取满足条件的 A 1 B 1 2 C 1 2 3 排除 B D 令 A 1 2 B 1 2 C 1 2 则此时也满足条件 A B B C 而此时 A C 排除 C 答案 答案 A 拓展提升拓展提升 观察 观察 1 集合 A 1 2 B 1 2 3 4 时 A B A B 这两个运算结果与集合 A B 的关系 2 当 A 时 A B A B 这两个运算结果与集合 A B 的关系 3 当 A B 1 2 时 A B A B 这两个运算结果与集合 A B 的关系 由 1 2 3 你发现了什么结论 活动 活动 依据集合的交集和并集的含义写出运算结果 并观察与集合 A B 的关系 用 Venn 图来 发现运算结果与集合 A B 的关系 1 2 3 中的集合 A B 均满足 AB 用 Venn 图表示 如图 1138 所示 就可以发现 A B A B 与集合 A B 的关系 图 1 1 3 8 解 解 A B AABA B B 可用类似方法 可以得到集合的运算性质 归纳如下 A B B A A A B B A B A A A A A ABA B B A B B A A B A A B B A A A A ABA B A 课堂小结课堂小结 本节主要学习了 1 集合的交集和并集 2 通常借助于数轴或 Venn 图来求交集和并集 作业 1 课外思考 对于集合的基本运算 你能得出哪些运算规律 2 请你举出现实生活中的一个实例 并说明其并集 交集和补集的现实含义 3 书面作业 课本 P12习题 1 1A 组 6 7 8 设计感想设计感想 由于本节课内容比较容易接受 也是历年高考的必考内容之一 所以在教学设计上注重加强 练习和拓展课本内容 设计中通过借助于数轴或 Venn 图写出集合运算的结果 这是突破本节 教学难点的有效方法 备课资料备课资料 备选例题 例 1 已知 A y y x2 4x 6 x R y N B y y x2 2x 7 x R y N 求 A B 并分别用描 述法 列举法表示它 解 解 y x2 4x 6 x 2 2 2 2 A y y 2 y N 又 y x2 2x 7 x 1 2 8 8 B y y 8 y N 故 A B y 2 y 8 2 3 4 5 6 7 8 例 2 2006 第十七届 希望杯 全国数学邀请赛 高一 第一试 1 设 S x y xy 0