2011年高考数学二轮考点专题突破 圆锥曲线的概念及性质

用心 爱心 专心 1 第二讲第二讲 圆锥曲线的概念及性质圆锥曲线的概念及性质 一 选择题 1 2010 安徽 双曲线方程为 x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 A B C D 0 2 2 0 5 2 0 6 2 0 3 解析 原方程可化为 1 a2 1 x2 1 y2 1 2 b2 c2 a2 b2 1 2 3 2 右焦点为 6 2 0 答案 C 2 2010 天津 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程是 y x 它的一个 x2 a2 y2 b23 焦点在抛物线 y2 24x 的准线上 则双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 36 y2 108 x2 9 y2 27 C 1 D 1 x2 108 y2 36 x2 27 y2 9 解析 渐近线方程是 y x 3 b a3 双曲线的一个焦点在 y2 24x 的准线上 c 6 又 c2 a2 b2 由 知 a2 9 b2 27 此双曲线方程为 1 x2 9 y2 27 答案 B 用心 爱心 专心 2 4 2010 辽宁 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂足 如果直线 AF 的斜率为 那么 PF 3 A 4 B 8 C 8 D 16 33 解析 解法一 AF 直线方程为 y x 2 3 当 x 2 时 y 4 A 2 4 33 当 y 4时代入 y2 8x 中 x 6 3 P 6 4 3 PF PA 6 2 8 故选 B 解法二 PA l PA x 轴 又 AFO 60 FAP 60 又由抛物线定义知 PA PF PAF 为等边三角形 又在 Rt AFF 中 FF 4 用心 爱心 专心 3 FA 8 PA 8 故选 B 答案 B 5 高 8 m 和 4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上 且相距 10 m 则地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 如图 1 假设 AB CD 分别为高 4 m 8 m 的旗杆 P 点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点 由于 BPA DPC 则 Rt ABP Rt CDP 从而 BA PA DC PC PC 2PA 在平面 APC 上 以 AC 为 x 轴 AC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系 图 2 则 A 5 0 C 5 0 设 P x y 得 2 x 5 2 y2 x 5 2 y2 化简得 x2 y2 x 25 0 显然 P 点的轨迹为圆 50 3 答案 A 二 填空题 解析 由题知 垂足的轨迹为以焦距为直径的圆 则 c b c2 b2 a2 c2 e20 的焦点为 F 点 A 0 2 若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上 则 B到该抛物线准线的距离为 解析 F 则 B p 2 0 p 4 1 2p 1 解得 p p 42 B 因此 B 到该抛物线的准线的距离为 2 4 1 2 4 2 2 3 2 4 用心 爱心 专心 4 答案 3 2 4 8 2010 北京 已知双曲线 1 的离心率为 2 焦点与椭圆 1 的焦点相同 x2 a2 y2 b2 x2 25 y2 9 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 解析 椭圆 1 的焦点为 4 0 双曲线的焦点坐标为 4 0 x2 25 y2 9 c 4 2 c2 a2 b2 c a a 2 b2 12 双曲线方程为 1 x2 4 y2 12 渐近线方程为 y x x b a3 即x y 0 3 答案 4 0 x y 0 3 即 xD 由椭圆的第二定义得 FD e a 又由 BF 2 FD 得 a 3c 2 a2 c 3c 2 3c2 2a 2a 整理得 a2 3c2 3c2 a 即 e2 解得 e 1 3 3 3 答案 3 3 用心 爱心 专心 5 三 解答题 10 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点 P 到两焦点的距离分别为和 4 3 5 2 3 5 过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 求此椭圆的方程 解 解法一 设椭圆的标准方程是 1 a b 0 或 1 a b 0 两个焦 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 点 分别为 F1 F2 则由题意 知 2a PF1 PF2 2 a 在方程 1 55 x2 a2 y2 b2 中 令 x c 得 y 在方程 1 中 令 y c 得 x 依题意知 b2 a y2 a2 x2 b2 b2 a b2 a 2 3 5 b2 即椭圆的方程为 1 或 1 10 3 x2 5 3y2 10 y2 5 3x2 10 解法二 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 则 PF1 PF2 4 5 3 2 5 3 由椭圆的定义 知 2a PF1 PF2 2 即 a 55 由 PF1 PF2 知 PF2垂直于长轴 故在 Rt PF2F1中 4c2 PF1 2 PF2 2 60 9 c2 于是 b2 a2 c2 5 3 10 3 又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上 也可以在 y 轴上 故所求的椭圆方程为 x2 5 3y2 10 1 或 1 3x2 10 y2 5 11 2010 湖北 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1 1 求曲线 C 的方程 2 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都有 0 x 1 2 y2 化简得 y2 4x x 0 用心 爱心 专心 6 2 设过点 M m 0 m 0 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A x1 y1 B x2 y2 设 l 的方程为 x ty m 由Error Error 得 y2 4ty 4m 0 16 t2 m 0 于是Error Error 又 x1 1 y1 x2 1 y2 FA FB 0 x1 1 x2 1 y1y2 x1x2 x1 x2 1 y1y2 0 FA FB 又 x 于是不等式 等价于 y1y2 1 0 y1y2 y1 y2 4 y2 1 4 y2 2 4 y2 1 4 y2 2 4 y1y2 2 16 1 4 y2 2 2y1y2 1 0 由 式 不等式 等价于 m2 6m 1 4t2 对任意实数 t 4t2的最小值为 0 所以不等式 对于一切 t 成立等价于 m2 6m 1 0 即 3 2 m 3 2 22 由此可知 存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直 线 都有 0 b 0 离心率 e 顶点 y2 a2 x2 b2 5 2 到渐近线的距离为 2 5 5 1 求双曲线 C 的方程 2 如图 P 是双曲线 C 上一点 A B 两点在双曲线 C 的两 条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 AP PB 求 AOB 面积的取值范围 1 3 2 解 解法一 1 由题意知 双曲线 C 的顶点 0 a 到渐近线 ax by 0 的距离为 2 5 5 即 ab a2 b2 2 5 5 ab c 2 5 5 由Error Error 得Error Error 双曲线 C 的方程为 x2 1 y2 4 2 由 1 知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y 2x 用心 爱心 专心 7 设 A m 2m B n 2n m 0 n 0 由 得 P 点的坐标为 AP PB PB m n 1 2 m n 1 将 P 点坐标代入 x2 1 y2 4 化简得 mn 1 2 4 设 AOB 2 tan 2 2 tan sin 2 1 2 4 5 又 OA m OB n 55 S AOB OA OB sin 2 1 2 2mn 1 1 2 1 记 S 1 1 2 1 1 3 2 则 S 1 2 1 1 2 由 S 0 得 1 又 S 1 2 S S 2 1 3 8 3 9 4 当 1 时 AOB 的面积取得最小值 2 当 时 AOB 的面积取得最大值 1 3 8 3 AOB 面积的取值范围是 2 8 3 解法二 1 同解法一 2 设直线 AB 的方程为 y kx m 由题意知 k 0 由Error Error 得 A 点的坐标为 m 2 k 2m 2 k 由Error Error 得 B 点的坐标为 m 2 k 2m 2 k 由 得 P 点的坐标为 AP PB 用心 爱心 专心 8 m 1 1 2 k 2