山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 3.7 弧长及扇形面积教案 北师大版

1 3 73 7 弧长及扇形面积教案弧长及扇形面积教案 教学目标教学目标 1 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程 2 了解弧长计算公式及扇形面积计算公式 并会应用公式解决问题 教学重点和难点 教学重点和难点 重点 重点 用弧长及扇形面积公式解决问题 难点 难点 弧长及扇形面积计算公式探索及应用 教法与学法指导 教法与学法指导 学生互相交流探索法 本节课的内容为弧长及扇形面积 是在学习了圆的有关性质后 利用圆的性质探索推导弧长及扇形 的面积 并能运用得出的结论进行有关计算 实质上是圆的有关性质的运用 本节的重点和难点是学生 自己能推导并掌握弧长及扇形的面积 并能应用公式解决问题 在教学中 教师不要急于给出学生公式 而要引导学生自己根据已有的知识推导公式 如果学生有 困难 可以采取小组合作的形式解决 这样既能使学生有成就感 又能培养他们的探索能力 还能使所 学知识掌握得比较牢固 那么运用公式进行计算来 解决问题就比较容易了 教具准备 教具准备 PPT 课件 教学过程 教学过程 一 创设情境 引入新课一 创设情境 引入新课 师 同学们 春天到了 春季运动会也将在近日举行 你是否仔细观察过在田径二百米跑比赛中 每位运动员的起跑位置相同吗 生 不同 师 为什么不同 这样的起点位置对每位运动员公平吗 带着这样的疑问 本节课我们将一起走进 弧长及扇形面积弧长及扇形面积 教师板书课题教师板书课题 3 7 弧长及扇形面积弧长及扇形面积 设计意图 设计意图 从学生熟悉的 200 米运动员的起点位置引入本课 让学生体会生活处处有数学 数学来 源于生活这一事实 实际效果 实际效果 学生感受到数学在生活中的应用 增强了学生们的学习意识 二 问题导学 自主探究二 问题导学 自主探究 复习回顾 复习回顾 师 多媒体出示问题 1 圆的周长如何计算 2 圆的面积如何计算 3 圆的圆心角是多少度 生 若圆的半径为r 则周长l 2 r 面积S r2 圆的圆心角是 360 师 我们知道弧是圆周的一部分 扇形是圆的 部分 那么弧长与扇形面积应怎样计算 它们与圆 的周长 圆的面积之间有怎样的关系呢 2 自主探究自主探究 1 1 弧长的计算公式 弧长的计算公式 师 多媒体出示问题 如图 某传送带的一个转动轮的半径为 10cm 1 转动轮转一周 传送带上的物品 A 被传送多少厘米 2 转动轮转 1 传送带上的物品 A 被传送多少厘米 3 转动轮转n 传送带上的物品 A 被传送多少厘米 学生独立思考 2 分钟 并尝试用语言准确的表述 生 1 1 转动轮转一周 传送带上的物品应被传送一个圆的周长 所以 传送带上的物品 A 被传 送 2 10 20 cm 生 2 2 因为圆的周长对应 360 的圆心角 所以转动轮转 1 传送带上的物品 A 被传送圆周 长的 1 360 所以 传送带上的物品 A 被传送 20 36018 cm 生 3 3 转动轮转n 传送带上的物品 A 被传送转 l 时传送距离的n倍 所以 传送带上的物品 A 被传送n 20 36018 n cm 师 根据上面的计算 你能探讨出在半径为R的圆中 n 的圆心角所对的弧长的计算公式吗 请 大家互相交流 生 360 的圆心角对应圆周长为 2 R 那么 1 的圆心角对应的弧长为 2 360180 RR n 的圆心 角对应的弧长应为 1 的圆心角对应的弧长的n倍 即n 180180 Rn R 师 表述得非常棒 在半径为R的圆中 n 的圆心角所对的弧长 arclength 的计算公式计算公式为 180 n R l 师 请同学们用半分钟时间对公式进行记忆和书写 生 边读 边写 加强公式的记忆 师 我们发现 弧长公式与半径R 圆心角n有着密切的关系 现在 你能解释一下这节课开头关 于 200 米起跑位置不同 的原因吗 生 因为处于外跑道同学所在圆的半径大 若在同一起点 则外跑道学生所跑的 弧长 大于内 跑道学生所跑的 弧长 因此 处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前 师 很好 这位同学能将 200 米弯道跑 的问题转化为 弧长 问题 从而进行说理 请同学 们体会这种转化思想的应用 设计意图 设计意图 承接创设的问题情境 让学生回顾圆的有关知识 并利用圆的性质探索推导弧长公式 能用得出的结论进行说理 实质上是圆的有关性质的运用 并掌握用公式解决实际问题的一般思路 提 高学生的建构能力 实际效果 实际效果 学生可根据已有的知识得出弧长公式 在说理问题上 部分学生还需再仔细斟酌 师 下面我们看弧长公式的运用 多媒体出示例 1 例例 1 1 制作弯形管道时 需要先按中心线计算 展直长度 再下料 试计算下图中管道的展直长度 即弧AB的长 结果精确到 0 1 mm 师 要求管道的展直长度 转化成数学问题 即已知什么 求什么 如 3 何计算 生 管道的展直长度即弧AB的长 已知R 40mm n 110 根据弧长公式l 180 n R 可求得弧AB 的长 生 板书解题过程 解 R 40mm n 110 弧AB的长l 180 n R 110 180 40 76 8 mm 因此 管道的展直长度约为 76 8 mm 设计意图 设计意图 让学生利用公式进行弧长的有关计算 明确弧长与所在圆的半径 圆心角的度数关系密 切 熟练公式的应用 实物投影展示解题过程的同时 规范学生的书写 实际效果 实际效果 学生可根据已有的知识得出弧长公式 然后利用公式解决问题 学生解决此题的效果较 好 少数同学的计算能力有待加强 自主探究自主探究 2 2 扇形面积计算公式 扇形面积计算公式 师 多媒体出示问题 在一块空旷的草地上有一根柱子 柱子上拴着一条长 3 m 的绳子 绳子的 另一端拴着一只狗 1 这只狗的最大活动区域有多大 2 如果这只狗只能绕柱子转过n 角 那么它的最大活动区域有多大 生 2 分钟时间思考 并口述思考过程 生 1 1 如图 1 这只狗的最大活动区域是圆的面积 即 9 生 2 2 如图 2 狗的活动区域是扇形 扇形是圆的一部分 360 的圆心角对应的圆面积是 9 1 的圆心角对应圆面积的 1 360 即 1 360 9 40 n 的圆心角对应的圆面积为n 40 40 n 师 由此实际问题 你能总结扇形的面积公式吗 生 如果圆的半径为R 则圆的面积为 R2 1 的圆心角对应的扇形面积为 2 360 R n 的圆心角 对应的扇形面积为n 2 360 R 2 360 n R 因此扇形面积的计算公式为 S扇形 360 n R2 其中R为扇形的半径 n为圆心角 师 请同学们用半分钟时间对公式进行记忆和书写 生 边读 边写 加强公式的记忆 师 多媒体出示例 2 请同学们利用扇形面积公式完成下题 例例 2 2 扇形AOB的半径为 12 cm AOB 120 求弧AB的长 结果精确到 0 1 cm 和扇形AOB的面 积 结果精确到 0 1cm2 生 4 分钟时间思考并板书 加强对公式的记忆与应用 解 弧 AB 的长l 120 180 12 8 25 1cm S扇形 120 360 122 48 150 7 cm2 4 因此 弧AB的长约为 25 1 cm 扇形AOB的面积约为 150 7 cm2 设计意图 设计意图 引导学生自己根据已有的知识推导公式 通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际 问题 教师此时乘胜追击 再出示课本问题 让学生及时巩固解决实际问题的方法 并能积极进入探究过 程 实际效果 实际效果 在上题的探究中 学生完成较好 但部分学生在计算上显得比较吃力 三 合作探究 展示交流三 合作探究 展示交流 弧长与扇形面积的关系弧长与扇形面积的关系 师 我们探讨了弧长和扇形面积的公式 在半径为R的圆中 n 的圆心角所对的弧长的计算公式 为l 180 n R n 的圆心角的扇形面积公式为S扇形 360 n R2 在这两个公式中 弧长和扇形面积都 和圆心角n和半径R 因此 l和S之间有什么关系吗 换句话说 能否用弧长表示扇形面积呢 请大家 互相交流 生 对比弧长及扇形面积公式进行探究 交流 生 解 l 180 n R S扇形 360 n R2 360 n R2 1 2 R 180 n R S扇形 1 2 lR 师 你能否发现 扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式 生 与三角形的面积公式类似 师 很好 我们可以类比三角形的面积公式记忆此公式 师 因此 我们发现 计算扇形面积有几种方法 生 两种 师 若已知圆心角和半径 选择哪个公式 若知道弧长和半径 选择哪个公式 生 若已知圆心角和半径 选择 S扇形 360 n R2 若知道弧长和半径 选择S扇形 1 2 lR 师 在例 2 中 计算出弧AB的长后 我们还可以怎样计算扇形AOB的面积 生 S扇形 1 2 lR 1 2 8 12 150 7 cm2 设计意图 设计意图 由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难 因此 在探讨公式后 让学生 直接再利用公式法确定问题的答案 这样可以让部分学生恢复解题的自信 实际效果 实际效果 学生能够仿照公式法书写此题的解题过程 解题的积极性较高 部分学生为有了第二公 式法解决问题而高兴 四 训练反馈 应用提升四 训练反馈 应用提升 1 一个扇形的圆心角为90o 半径为2 则弧长 扇形面积 2 一个扇形的弧长为20 cm 面积是240 c 则该扇形的圆心角为 3 如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0 6cm 其中水面高 0 9cm 求截面上有水部分的面 积 结果保留根号 R l 5 4 如图 A B C D E相互外离 它们的半径都是 1 顺次连接五个圆心得五边形 ABCDE 求图中五个扇形的面积之和 阴影部分 设计意图 设计意图 这里可以说是弧长公式及扇形面积公式的应用 选择公式时 需要学生对公式的灵活掌 握 在探讨弓形的面积公式时 可以采取小组合作的形式解决 让学生在共同参与的基础上掌握解决问题 的方法 其中 第 3 题使用图形面积的和计算阴影面积 而第 4 题采用转化的方法 将五个扇形转化为 3 2 个圆的面积计算 实际效果 实际效果 学生对这后两个题感到有一定的困难 但采取小组合作的形式解决能够基本解决 解题 的积极性较高 部分学生为解决问题而高兴 有些学生需要个别辅导 五 课时小结 纳入系统五 课时小结 纳入系统 师 通过本课的学习 你用掌握了哪些知识和解题方法 生 1 本节课学习了如下内容 1 探索弧长的计算公式l 180 n R 并运用公式进行计算 2 探索扇形的面积公式S 360 n R2 并运用公式进行计算 3 探索弧长l及扇形的面积S之间的关系 并能已知一方求另一方 生 2 在计算阴影面积问题时 可以通过规则图形的面积的和或差求解 也可以通过图形变化转 化为规则图形求解 设计意图 设计意图 本课课堂容量较大 有小部分学生跟不上 让学生总结本课的学习内容 更利于学生梳 理本课的知识点 实际效果 实际效果 只有少部分学生能够清晰的进行归纳 其余同学在这少部分学生的带领下都能明确本课 的重点 六 当堂检测 达成目标六 当堂检测 达成目标 1 已知扇形的圆心角为 60 半径为 5 则扇形有周长为 A 5 3 B 5 3 10 C 5 6 D 5 6 10 2 圆环的外圆周长为 250cm 内圆周长为 150cm 则圆环的宽度为 A 100cmB 50 C 25 D 100 3 弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是 A 360 B 180 C 60 D 60 4 正三角形ABC内接于半径为 2cm 的圆 则AB所对弧的长为 A 2 3 B 4 3 C 8 3 D 4 3 或 8 3 6 5 一条弧所对的圆心角为 120 半径为 3 那么这条弧长为 结果用 表示 6 如图 O1的半径O1A是 O2的直径 O1的半径O1C交 O2于点B 则AAC和AAB的长度的大小 关系为 7 已知扇形的圆心角是 150 弧长为 20 cm 则扇形的面积为 设计意图 设计意图 在注重基础的前提下强化公式的应用 同时训练学生解决实际问题的 能力 实际效果 实际效果 由于课堂容量较大且计算量也较大 所以 检测部分不能预期进行 可以让学生在课下以练习题的形式完成 七 课后作业 巩固目标七 课后作业 巩固目标 必做题 必做题 课本 第 142 143 页 习题 3 10 第 2 4 题 选做题 选做题 如图 两个同心圆被两条半径截得的AAB的长为 6 cm ACD的长为 10 cm 又AC 12 cm 求阴影部分ABDC的面积 分析 分析 要求阴影部分的面积 需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差 根据扇形面积 S 1 2 lR l已知 则需要求两个半径OC与OA 因为OC OA AC AC已知 所以只要能求出OA即可 解 设OA R OC R 12 O n 根据已知条件有 6 180 n R 10 180 n R 12 由 得 3 512 R R 3 R 12 5R R 18 OC 18 12 30 S S扇形 COD S扇形 AOB 1 2 10 30 1 2 6 18 96 cm2 所以阴影部分的面积为 96 cm2 设计意图 设计意图 必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式 选做题供学有余力的学生完成 训练学生 灵活运用公式解决实际问题的能力 拓宽学生的知识面 实际效果 实际效果 作业的规范性较好 在计算上仍有个别同学出现错误 板书设计 板书设计 3 7 3 7 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积 一 弧长的计算公式 l 180 n R 二 扇形的面积公式 S 360 n R2 三 探索弧长l及扇形的 面积S之间的关系 S扇形 1 2 lR 学学 生生 板板 演演 区区 教后反思 教后反思 7 要想上一堂好课 教师不仅要有浓厚的教学热情 更要有引导学生自主参与学习活动的教学技巧 在师生的共同努力下 才能真正使数学课堂教学成为真正的数学活动的双边互动教学 纵观本节课 呈 现以下特点 1 1 联系生活实际 激发学生兴趣联系生活实际 激发学生兴趣 利用学生熟悉的 田径 200 米跑的弯道起跑位置 创设情境 这样 就拉近了抽象的数学问题和实际生活的距离 使数学回归生活 在整个教学活动中 从新课的引入到探索 公式都是从学生的生活实际选择学习材料 这些生活中的素材 调动了学生原有的生活经验 使学生觉得 数学就在自己身边 感受到数学源于生活 用于生活 而又高于生活 利用数学本身的魅力来吸引学生 让 学生在生活中体验数学 同时增强了学生学习的自觉性和主动性 2 2 学生的学生的 探究活动探究活动 贯穿整节课贯穿整节课 教学中不是直接给出公式 而要引导学生自己根据已有的知识一 步一步推导公式 这样既能使学生有成就感 又能培养他们的探索能力 还能使所学知识掌握得比较牢 固 运用公式进行计算来解决问题就比较容易了 交流探索法 贯穿整节课 让学生在探索中体验 在 体验中领悟 自然过度 水到渠成 3 3 营造良好的小组合作学营造良好的小组合作学习氛围习氛围 对于老师来说 是否能够为学生宽松和谐的学习环境