初中数学新课程统计与概率学习策略研究

初中数学新课程统计与概率学习策略研究 田 勇 中央广播电视大学 数学与应用数学 贵州思南 摘要 本文采用问卷调查的方式展开 通过对初中学生学习概率与统 计情况的调查 分析学生在学习中所出现的问题 并对有关问题进行 研究得出相应的学习策略 关键词 关键词 初中 概率统计 问卷调查 学习策略 Junior high school math statistics and probability learning strategies Tian Yong The open university ofchina Mathematics and applied mathematics SiNan GuiZhou Abstract This paper adopts questionnaire manners through to the middle school student learning probability and statistics analysis investigating the situation of students in learning problems occurred in the relevant problems and obtains the corresponding learning strategy research Keywords Junior high school Probability and statistics questionnaire survey Learning strategies 第一章第一章 前前 言言 学习策略是对信息进行编码 分析和提取的智力活动 是选择 整合 应用学习技巧的一套操作过程 是有目的 有意识地制定的有关学习 过程的复杂方案 好的学习策略 可以使学习达到最佳效率 二二 问卷调查问卷调查 通过问卷调查 可以了解学生在学习概率与统计中存在的相关问题 寻找出相应的学习策略 进一步提高学生学习统计与概率的效率 问 卷见附表 2 1 问卷对象问卷对象 本人是对德江县的初中进行问卷调查 学校招收的初中学生中有 80 是少数民族学生 为了比较不同的学习基础和学习方法及教学条件对 学习统计与概率的影响 本人研究选取了本县的另一所初中作为对比 分别在两所学校的七 八 九年级各抽取一个班进行调查研究 问卷 施测的对象及人数分布见表 1 1 泉口中学高山中学学校调查 人数情况 班级人数收回问卷班级人数收回问卷 七年级58565452 八年级49485050 九年级52524745 总计159156151147 表 1 1 注释注释 为了便于统计 本人对调查的学生进行编码 说明如下 用英文字母表示学校 HL 表示泉口中学 EZ 表示高山中学 2 1 随机事件的基本概念的考察随机事件的基本概念的考察 调查方式 考虑到平行对照研究的需要 尽量减小教学进度差异对 学生答题水平造成的误差 以下分析主要是调查初中学生对概率与统计 的基本概念的理解 在分析中经过比较得出是否存在概率的基本概念 错误 通过学生对不可能事件 随机事件 必然事件的区别判断学生 对随机事件是否有正确的理解 问卷中采用最常见的掷质地均匀的一 颗正方体骰子的随机情境 请学生判断下列结果是不可能事件 随机 事件 还是必然事件 并在括号内填入你认为的最佳答案 A 不可能事件 B 随机事件 C 必然事件 1 掷得的这个数是一个偶数 2 掷得的这个数比 6 大 3 掷得的这个数比 7 小 4 掷得的这个数不是 7 调查结果如下表 七年级八年级九年级选 项HLEZHLEZHLEZ 题号 1 1 A2 3 5 1 1 9 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 B 53 94 7 50 96 1 45 93 7 49 98 0 52 100 45 100 C1 1 8 1 2 0 2 4 3 0 0 0 0 0 0 A 55 98 3 52 100 47 97 9 49 98 51 98 1 45 100 B1 1 7 0 0 1 2 1 1 2 1 1 9 0 0 1 2 C0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 B2 3 5 1 1 9 1 2 0 1 2 2 3 8 1 2 2 1 3 C 54 96 5 51 98 1 46 96 0 49 98 50 96 2 44 97 8 A0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B4 7 2 3 5 7 3 6 22 4 0 1 1 9 1 2 2 1 4 C 52 92 8 49 94 3 45 93 848 96 0 51 98 1 44 97 8 表 1 2 不可能事件 随机事件 必然事件 注释注释 括号外的 表示选择对应项的人数 括号内的 表示选 择对应项人数的百分比 加粗下划线的为真确答案 调查数据分析 由上表可知对于第 1 小题 学生的正确率分别为 94 7 96 1 93 7 98 0 100 100 则可知学生选择的正确 率都是在 93 7 以上 又由表可知误选的大多是七年级 八年级的学生 可推断出学生对随机事件的认识随年级的增长而增长 当然在调查中 不排除学生之间有抄袭答案的可能 对于第 2 小题 学生的正确率 高达 97 以上 而选择 C 项的学生没有 说明学生对必然事件的理解 是很清楚的 对于第 3 4 小题 学生的正确率也是非常高的 但是学生的错误选项集中在 B 项 而这两个事件都是必然事件 学生 错误的认为是随机事件 由此可判断学生形成错误的原因在于他们并 没有真正理解随机事件的概念 无法很好区分随机事件与必然事件 可推断选择 B 项的学生认为 骰子有 6 个面 掷一次得到一个面 而且 每个面上的数都比 7 小 所以掷一次得到比 7 小的点数都是随机的事 件 这里学生明显把 掷得的这个数小于 7 这个必然事件中的 6 个基 本事件的随机性理解为原事件发生也是随机的 小结小结 由上表分析从 1 2 小题可以推断大部分学生对不可能事件和 随机事件的区别能力随年级的增长呈现出递增趋势 而从 3 4 题可以推断学生对随机事件和必然事件的区分能力很弱 且并不 随年级的增长而增加 而更多受确定性思维和学习策略的影响 2 3 问卷调查所呈现出的学习概率与统计的相关问题问卷调查所呈现出的学习概率与统计的相关问题 通过学生对问卷中关于问题的回答得出学生在学习概率统计中出现的 相关问题如下 1 学生对随机事件发生的概率没有正确的理解与计算 原因在于 他们对概率概念的理解还很欠缺 2 学生的数学思维能力还很低 也不具备相关的概率统计定义的 理解 3 学生在概率方面的直觉思维能力没有很好的得到提高 4 学生对于学习概率与统计缺乏兴趣及自主学习的能力 5 学生没有良好的学习习惯等等 三三 学习概率统计的相关策略学习概率统计的相关策略 3 1 学会运用多种方法计算随机事件的概率学会运用多种方法计算随机事件的概率 概率理论计算的条件有两条 1 一次实验有可能出现的结果是 有限个 2 每种结果出现的可能性相等 初中阶段所考察的概率问题 都是具有等可能概率 且 P 事件 A 事件 A 可能出现的次数 事件所 有出现的次数 主要类型有 1 单次抽样的概率 2 多次有放回型抽样的概率 3 多次无放回型抽样的概率 案例一 小红 小明 小芳在一起做游戏 需要确定游戏的先后顺序 他们约定用 剪子 包袱 锤子 的方式确定 问在一个回合中三人 都出包袱的概率是多少 解析一 本题相当于盒子里有 1 2 3 三个小球 小红 小明 小芳三人 依次做有放回抽样 三人同时抽到 2 号球的概率是多少 通过画树图 的方式计算可知 三人随机出手总共有 27 种可能 其中 2 2 2 的组 合只有 1 个 因此三人都出包袱的概率是 127 解析二 本题相当于盒子里有 1 2 3 三个小球 小红 小明 小芳三人 依次做有放回抽样 三人同时抽到 2 号球的概率是多少 小红出包袱 的概率是 13 小明在小红抽到 2 号球的基础上抽到 2 号球的概率也是 13 小芳也如此 因此三人都出包袱的概率 133 127 小结小结 在解决概率问题时学生应该运用多种思维方法去思考 提高自己的数 学思维能力 发展自己的数学应用意识 积极主动 勇于探索 具有 实事求是的态度 锲而不舍的精神 使自己用数学的思考方式解决问 题 认识世界 3 2 运用概率解决实际问题的指导策略运用概率解决实际问题的指导策略 实际情景的概率问题 经常会比较两个事件发生的可能性大小 因此 可以先分别算出这两个事件发生的概率 然后比较两个概率的大小 案例二 小华与小丽设计了 A B 两种游戏 游戏 A 的规则 用 3 张数字 分别是 2 3 3 的扑克牌 将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上 第一次 随机抽取一张牌记下数字后原样放回 洗匀后在第二次随机抽取一张 牌记下数字 若抽出的两张牌上的数字之和为偶数 则小华获胜 若 抽出的两张牌上的数字之和为奇数 则小丽获胜 游戏 B 的规则 用 4 张数字分别为 5 6 8 8 的扑克牌 将牌洗匀后背面朝上放置在桌 面上 小华先随机抽取一张牌 抽出的牌不放回 小丽从剩下的牌中 随机抽取一张 若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数 字大 则小华获胜 否则 小丽获胜 请你帮小丽选择其中一种游戏 使她获胜的可能性较大 并说明理由 解析 要选择小丽获胜可能性较大的游戏 应先求出游戏 A B 中小丽 获胜的概率值 通过分析所有可能出现的结果共有 9 种 其中两之和为偶数的有 5 种 所以游戏 A 小华获胜的概率为 59 而小丽获胜的概率为 49 即游戏 A 对小华有利 获胜的可能性大于小丽 通过分析所有可能出现的结果共有 12 种 其中小华抽出的牌面上数 字比小丽大的有 5 种 根据游戏 B 的规则 当小丽抽出的牌面上的数 字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时 则小丽获胜 在 游戏 B 中小华获胜的概率为 512 而小丽获胜的概率为 712 即游戏 B 对小丽有利 获胜的可能性大于小华 小结小结 概率与实际生活的联系非常的紧密 往往实际生活中的许多问题都可 以用概率的思想来解决 用概率解决生活中的问题体现了数学的使用 价值与文学价值 初中学生应该做到初步运用概率的相关知识在生活 中提出 分析 解决问题 学会独立思考 体会数学的用处及数学的 基本思想和基本思维方式 获得分析问题和解决问题的一些基本方法 发展创新意识 3 3 概率统计与现实生活的联系概率统计与现实生活的联系 俗话说兴趣是最好的老师 培养对概率统计的兴趣 对学好这门课程 至关重要 所以 我们要从根本上培养对于这些知识的热爱 树立良 好的学习态度 为此 让我们来谈谈有关于统计与概率与现实中实际 问题的联系 来帮助大家培养学习概率统计的兴趣 由于概率统计这 门课程是从赌博中发源而来的 所以说 这门学科从它出现之日就与 现实生活结下了密切的联系 简单的举几个例子 1 例如抽奖活动 抽奖活动中我们可以利用概率统计的知识计 算出许多相关的问题 如中奖率 期望 盈利率等等 当我们有了这 些知识 一方面可以使我们对抽奖活动有了从客观数据上有了了解 另一方面 还能引导我们正确的投资 以防遭遇抽奖诈骗或者是过度 投资 案例案例 若有一个圆盘平均分为 8 份 标有数字 1 8 圆盘中间有指 针 抽奖规则 你选择相应是几个数字 当转动圆盘指针时 若指针 落在你所选择的数字间 表示中奖 指针落两数之间的分隔线上不中 奖 具体如下表 选择数字个数投资 元 中奖金额 元 124 248 3612 4816 51020 问 选择一个数字投资 5 次和选择 5 个数字投资一次 选择哪种 投资更有利呢 分析 若选择一个数字一次只用投资 2 元 中奖得 4 元 那么如果投 资 5 次只花费 10 元 如都中奖奖金为 20 和选择五个数字投资一次所 得的奖金一样多 看似选择一个数字投资五次和选择五个数字一次是 一样的获利 但是若果用概率的知识来解决这个问题 若记选择一个 数字五次为事件 A 选择五个数字一次为事件 B 则有 P A 18 18 18 18 18 185 P B 58 185 58 所以就这两种情况选择一次 5 个数字投资更有利 2 例如游戏公平性的计算 游戏是在具有相关的规则下 所进 行的一种有趣的活动 在我们生活的周围有很多的游戏 你在玩游戏 的时候有没有考虑过它的公平性呢 怎样用数学中的概率与统计来计 算游戏的公平性 下面来研究一个列子 某中学九年级有 8 个班 要从中选出两个班代表学校参加社区的公益 活动 各班都想参加 但是由于特殊原因一班必须参加 另外从二到 八班中选一个班 有人提出以下的方法 在同一个品牌的四个乒乓球 上分别标上数字 1 2 3 4 并放入一个不透明的袋中 摇匀后从中随 机摸出两个乒乓球 两个球和是几就选几班 你认为这种方法公平吗 说明理由 解析 要验证这种方法是否合理 就应该考虑 2 到 8 这几个数字出现 的概率 两数字和 1234 1 345 23 56 345 7 4567 是否相同 这就将游戏的合理性转到数学的问题的解决 摸球可能出 现的结果列表如下 由上表可知 摸出球的和出现的结果有 12 种情况 且每种情况出现 的可能性相同 其中和为 2 的没有 和为 3 的有两种 和为 4 的有两 种 和为 5 的有四种 和为 6 的有两种 和为七的有两种 和为 8 的 没有 即 P 和为 2 P 和为 8 0 P 和为 3 P 和为 7 P 和为 4 P 和为 6 212 16 P 和为 5 412 13 由此可知 2 班到 8 班被选中的概率不等 因此这种方法是不公平的 3 4 概率的统计定义的理解概率的统计定义的理解 概率在初中阶段有三种定义 一种是古典概率 一种是几何概率 另一种是概率的统计定义 对于前两种定义 由于学生拥有小学知识 的铺垫 很容易理解 但恰恰是教材中大多为古典概型或几何概型的 问题 因此容易造成学生解决概率问题时 默认它是等可能的情形 所以对于概率的统计定义 学生理解起来比较困难 对于概率的统计 定义的价值及它和前两种定义的关系可以从以下的几个方面来理解 在相同的条件下做大量重复实验 一个事件 A 出现的次数 M 和总的 实验次数 N 之比 称为事件 A 在这 N 次实验中出现的频率 当实验次 数 N 很大时 频率将稳定在一个常数附近 N 越大 频率偏离这个常 数较大的可能性越小 这个常数称为这个事件的概率 这个定义与统计有非常密切的关系 它是建立在频率稳定性的基础上 所以称为概率的统计定义 这种对概率讨论的对象不再限于随机实验 所有可能的结果为等可能的情形 因而更具有一般性 例如 掷一枚 质地不均匀的硬币 硬币正 反两面向上的可能性不相等 不能用古 典概率而只能用统计方法对这个问题进行分析 如果经过大量重复实 验 发现随着实验次数不断增加 硬币正面向上的频率越来越稳定在 常数 23 的附近 则可以推断事件 A 硬币正面向上 发生的概率为 P A 23 随着人们观察对象的广泛化 人们越来越认识到 对一个 随机事件来说 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的 并且是 客观存在的 就好比一根木棒有长度 一块土地有面积一样 它就是 频率稳定的中心值 概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具 体值 并且在实验重复次数 N 较大时 可用频率给出概率的一个近似 值 这一点是概率统计定义最有价值的地方 概率的统计定义突破了古典概率 几何概率中随机实验要满足 结果 等可能 的限制 因而具有一般性 其适用范围也更广泛 从理论上 说 古典概率 几何概率的概率也能够通过大量重复实验由频率的稳 定性得出 即概率的统计定义的适用范围包括 结果等可能 的随机 实验 对于初中学生 只要了解大量重复实验时频率可作为事件发生概率的 估计值即可 为了使初中的学习更轻松 学生可以自己设计一些实验 如抛掷瓶盖 硬币 摸球等 通过动手实验的过程来体会概率的统计 定义 3 5 概率与频率的关系概率与频率的关系 在教师教学中 经常听到老师这样叙述 实验次数越多 用频率 估计概率越准确 这样的叙述严密吗 概率与频率之间到底有什么 样的关系 学生理解起来很困难 频率和概率是两个不同概念 频率与实验的次数有关 而频率的稳 定性又说明了概率是一个客观存在的数 是随机事件自身的一个属性 它与实验次数无关 但是在概率计算中 我们一般用事件发生的频率 去代替概率 这与实际并不矛盾 就像测定一根木棒的长度一样 人 人都知道木棒有客观存在的 真实长度 但用直尺测量时 总会有 误差 测得的数值总是稳定在木棒 真实长度 的附近 而得不到木 棒的 真实长度 值 事实上 人们一般就用测量所得的近似值去代 替 真实长度 只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了 这 里木棒的 真实长度 与测得数值之间的关系同概率与频率之间的关 系是一样 因此 频率既有随机性 每人每次实验都是变化的 又有规律性 也就是稳定性 即随机事件发生的频率的稳定值就是概率 人们 也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率 于是我们可以说 频 率是概率的估计 频率的稳定值就是概率 但不能说 频率的 稳定值是概率估计值 频率的稳定性是概率论的理论基础 对概率 与频率的关系的认识可以分三个层次进行理解 直观认识直观认识 概率描述事件发生的可能性大小 它是事件本身唯一确 定的一个常数 频率反映在 N 次实验中 事件发生的频繁程度 一般 地 如果一个事件的概率较大 频率也较大 概率较小 频率也较小 反之也对 具体实验 具体实验 通过大量重复实验 借助图形表示频率的稳定性规律 随着实验次数的增多 频率的波动越来越小 逐渐稳定在一个常数附 近 但应该认识到频率的不确定性 即当实验次数较少时 频率的波 动可能比较大 精确刻画 精确刻画 以掷一枚质地均匀的硬币为例 已知 正面向上 的概率 为 0 5 掷两次硬币 可能频率是 0 5 用频率估计概率的误差为 0 而掷 100 次硬币 也可能频率为 0 2 误差为 0 3 显然上面的叙述 不严密 太绝对了 比较严格的叙述为 当实验次数较少时 用频率 估计概率误差较小的可能性较小 实验次数越多 用频率估计概率误 差较小的可能性越大 3 6 形成形成 统计观念统计观念 的指导的指导 观念 是不同于计算 画图等简单的技能 是一种需要在亲身经历 的过程中培养出来的感觉 有些人将统计观念称为 数据感 或 信息观 念 无论用怎样描述 它反映的都是由一组数据所引出的想法 所推 测到的所有可能结果 自觉的联想到运用统计的方法解决有关的问题 具体地说 统计观念可以在以下几个方面得到体现 1 认识到统计对决策的作用 能从统计的角度思考与数据有关的问 题 2 能通过收集数据 描述数据 分析数据的过程 作出合理的决策 3 能对数据的来源 收集和描述数据的方法 由数据得到的结论进 行合理 的质疑 因此在学生在学习过程中 重点应放在对有关数据的统计及分析上 使之经历统计活动的全过程 形成正确的统计观念 当遇到有关问题 时 首先应该想到收集数据和分析数据 3 7 概率与抽样调查的关系概率与抽样调查的关系 统计是以样本数据为基础 通过对数据的整理 描述和分析 发现 数据的特征或规律 从而对总体的特征作出推断 所以样本的抽取是 否具有代表性 在统计中是至关重要 不同的抽样将产生不同的结论 那么如何抽样更合理 对此学生还存在着很多困惑 学生通过学习 了解到普查与抽查的区别 明确抽查的必要性 但是 由于 我们希望得到的数据能正确反映实际的状况 所以抽出的样本要 能代表这个总体 样本抽得好还是不好 这是非常关键的问题 例如 我想了解这个区学生的学习成绩 找了 100 个学生 但他们都是实验 班的学生 我想了解某市学生每天的学习时间 找的都是重点学校的 学生 这样的样本代表性就很差 有没有代表性的问题 是样本的一 个核心问题 那么 怎么能做到有代表性呢 就是随机抽取 例如 某校要了解初中学生课余体育锻炼的时间 以便改进集中体育 活动的时间 请学生做调查 首先应该根据学校的学生总数 确定样 本容量 容量太小 不具代表性 容量太大 费时费力 其次 要选 择调查的地点 应尽可能涉及到各类学生 如图书馆 运动场等 仅 在一个地方调查 很容易缺乏代表性 比如只选择运动场 一定会得 出结论 学生的每天运动时间过长 反之 只在图书馆做调查 一定 会得到锻炼时间严重不足的结论 此外 还要考虑到各年级的学生的 负担不同而导致业余时间不同 因此应分年级调查等 可见 在抽样 的过程中 要考虑的因素非常多 也比较复杂 初中阶段让学生明确 取样时要结合调查的目的 确定调查对象以及调查方法 使之尽可能 的具有代表性即可 四四 统计与概率的学习策略的研究统计与概率的学习策略的研究 本研究主要是针对初中学生学习统计与概率的学习策略的研究 再 研究中采取问卷调查的方式对不同年级的学生进行调查 调查过程中 主要针对学生对统计与概率的相关知识的了解 从而发现学生的相关 问题 研究出切实可行的具体方案 但是在学生学习的过程中 教师 是引导者 组织者 参与者 所以在学生学习的过程中教师扮演着极 其重要的角色 因此寄予在后续的研究中能增加对教师教法的课题研 究 从而更全面的抓好初中数学新课程统计与概率的学习 五五 查阅文献查阅文献 1 袁振国 当代教育学 修订版 北京 教育科学出版社 1999 2 肖川 教育的理念与信念 长沙 岳麓书出版社 2000 3 范大茵 陈永华 概率论与数理统计 浙江大学出版社 2 版 2003 6 4 徐利治 教育方法论选讲 M 武汉 华东科技大学出版社 2000 1 5 张士藻 中学数学教育学 M 南京 江苏教育出版社 1996 7 6 王秋海 新课程理念下的数学课程教学技能 M 上海 华东师范大学出版社 2004 8 7 孟实华 甘哲 邹伟华 义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级上 下 湖南教 育出版社 2005 8 林群 义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上 下 人民教育出版社 2 版 2008 3 附录 附录 初中数学统计与概率学习情况调查问卷初中数学统计与概率学习情况调查问卷 各位同学 你们好 提高学生的学习效率有助于学生更好地掌握知识 为了使学生能进 一步地了解自己的学习情况 拥有更好的学习策略 我以服务同学为 宗旨 设计了 初中数学统计与概率学习情况调查问卷 请你如实 填写 在括号 内填入认为适合你的选项 1 你所在的学校 A 泉口中学 B 高山中学 2 你所在的年级 A 七年级 B 八年级 C 九年级 3 你对老师将的关于概率与统计的知识感兴趣吗 A 非常感兴趣 B 感兴趣 C 不感兴趣 4 你听老师讲概率与统计的感受是什么 A 良好或轻松 B 还可以 C 有点吃力 D 很痛苦 5 在