2011年高考数学试题解析分项版 专题6 不等式 理

20112011 年高考试题解析数学 理科 分项版年高考试题解析数学 理科 分项版 0606 不等式不等式 一 选择题 1 2011 年高考山东卷理科 4 不等式 5 3 10 xx 的解集为 A 5 7 B 4 6 C 5 7 D 4 6 4 2011 年高考浙江卷理科 5 设实数 x y满足不等式组 250 270 0 xy xy x y0 若 x y为整数 则 34xy 的最小值是 A 14 B 16 C 17 D 19 答案 B 解析 作出可行域 503 2701 xyx xyy 由得 x y为整数 所以4 1xy min 3 44 116z 故选B 5 2011 年高考浙江卷理科 7 若 a b为实数 则 01ab 是 11 ab ba 或的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 条件 答案 A 解析 1111abab ab bbaa 或则 2 1111 1 ababab ab babaab 因为 01ab 所以 2 1 0 ab ab 即 11 0ab ba 于是 11 0ab ba 所以 11 ab ba 或成立 充分条件 反之 11 ab ba 或成立 即 1111 00 abab ab bbaa 或则 11 ab ba 2 1 0 ab ab 故0ab 不必要条件 故选 A 6 2011 年高考安徽卷理科 4 设变量 x y满足1 xy 则2xy 的最大值和最小值分别为 答案 B 命题意图 本题考查线性规划问题 属容易题 解析 不等式1xy 对应的区域如图所示 当目标函数过点 0 1 0 1 时 分别取最小或最大值 所以2xy 的最大值和最小 值分别为 2 2 故选 B 7 2011 年高考天津卷理科 2 设 x yR 则 2x 且2y 是 22 4xy 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 9 2011 年高考天津卷理科 8 对实数a与b 定义新运算 1 1 a ab ab b ab 设函数 22 2 f xxxxxR 若函数 yf xc 的图像与x轴恰有两个公共点 则实数c的取值范围是 A 3 21 2 B 3 21 4 C 11 44 D 11 2011 年高考江西卷理科 3 若 log f x x 则 f x的定义域为 A B C D 答案 A 解析 要使原函数有意义 只须 1 2 log 21 0 x 即021 1x 解得x 故选 A 12 2011 年高考江西卷理科 4 若 lnf xxxx 则 fx 的解集为 A B C D 31 1 44 答案 C 解析 因为 xx fxx xx 原函数的定义域为 0 所以由 fx 可得 2 20 xx 解得2x 故选 C 13 2011 年高考湖南卷理科 7 设 1 m在约束条件 1yx mxy xy 下 目标函数myxz 的 最大值小于 2 则m的取值范围为 A 21 1 B 21 C 3 1 D 3 答案 A 解析 画出可行域 或分别解方程组 mxy xy 1yx xy 1yx mxy 得到三个区域端点 0 0 2 1 2 1 1 1 1 m m m 当且仅当直线myxz 过点 1 1 1 m m m 时 z取到最大值 2 1 1 2 m m z 解得 21 1 m 故选 A 评析 本小题主要考查线性规划问题中 利用最值求参数的取值范围问题 14 2011 年高考广东卷理科 5 已知平面直角坐标系xOy上的区域 D 由不等式组 02 2 2 x y xy 给定 若M x y 为 D 上动点 点 A 的坐标为 2 1 则zOM OA A的最大 值为 A 4 2 B 3 2 C 4 D 3 解析 C 由题得不等式组对应的平面区域 D 是如图所示的直角梯形 OABC cos3 cos3 zOM OAOMOAAOMOMAOMON 所以就是求 ON 的最大值 ON 表示 方向上的投影 在OAOM 数形结合观察得当点 M 在点 B 的地 方时 ON 才最大 22 2 2 3612 4cos2 3236 AOMAOM AA 2 在中 OA 2 1 3 OB 2 6 AB 2 1 1 所 以 42 3 2 63 max z 所以选择 C 15 2011 年高考湖北卷理科 8 已知向量 3 2 axzbyz 且ab 若 x y满足不等 式1xy 则 z 的取值范围为 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 3 3 答案 D 解析 因为ab 故0a b 即2 3 0 xzyz 可得23zxy 又因为 1xy 其图像为四条直线1 1 1 1xyxyxyxy 所围成的正方形面 由线性规划可计算得当0 1xy 时 33zxy 取到 max 3z 当0 1xy 取到 min 3z 所以选 D 16 2011 年高考湖北卷理科 9 若实数 a b满足0 0ab 且0ab 则称a与b互补 记 22 a babab 那么 0a b 是a与 b 互补的 A 必要而不充分条件B 充分而不必要条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由 0a b 即 22 0 abab 故 22 abab 则0ab 化简得 222 abab 即ab 0 故0ab 且0ab 则0 0ab 且0ab 故选 C 17 2011 年高考重庆卷理科 2 1x 是 2 10 x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 D 设 2 2f xmxkx 则方程 2 20mxkx 在区间 0 1 内有两个不同 的根等价于 2 010 01 2 80 ff k m km 因为 02f 所以 120fmk 故抛物线开口向 上 于是0m 02km 令1m 则由 2 80km 得3k 则 3 22 k m 所 以 m 至少为 2 但 2 80km 故 k 至少为 5 又 5 22 k m 所以 m 至少为 3 又由 252mk 所以 m 至少为 4 依次类推 发现当6 7mk 时 m k首次满足 所有条件 故mk 的最小值为 13 20 2011 年高考四川卷理科 9 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每 辆车虚满载且只运送一次 拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划党团派用两 类卡车的车辆数 可得最大利润 A 4650 元 B 4700 元 C 4900 元 D 5000 元 22 2011 年高考北京卷理科 6 根据统计 一名工作组装第 x 件某产品所用的时间 单 位 分钟 为 Ax A c Ax x c xf A C 为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装第 A 件产品用时 15 分钟 那么 C 和 A 的值分别是 A 75 25 B 75 16 C 60 25 D 60 16 答案 D 23 2011 年高考北京卷理科 8 设 0 0A 4 0B 4 4C t 4D ttR 记 N t为平行四边形 ABCD 内部 不含边界 的整点的个数 其中整点是指横 纵坐标都 是整数的点 则函数 N t的值域为 A 9 10 11 B 9 10 12 C 9 11 12 D 10 11 12 答案 C 24 2011 年高考福建卷理科 8 已知 O 是坐标原点 点 A 1 1 若点 M x y 为平面区域 2 1 y2 xy x 上的一个动点 则OA OM 的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 0 2 D 1 2 答案 C 25 2011 年高考上海卷理科 15 若 a bR 且0ab 则下列不等式中 恒成立的是 A 22 2abab B 2abab C 112 abab D 2 ba ab 答案 D 二 填空题 1 2011 年高考浙江卷理科 16 设 x y为实数 若 22 41 xyxy 则2xy 的最大值是 答案 2 10 5 解析 22 4431xyxyxy 2222 3325 1 2 2 2 2 2228 xy xyxyxyxy 2 10 2 5 xy 故2xy 的最大值为 2 10 5 2 2011 年高考全国新课标卷理科 13 若变量 x y满足约束条件 329 69 xy xy 则2zxy 的最小值为 答案 6 6 yx y 9 yx 92 yx 32 yx ox 5 4 A 第 13 题图 解析 如图可知最优解是 4 5 所以 6 5 24 min z 点评 本题考查线性规划问题 求最优解事先要准确画出线性区域是关键 3 2011 年高考天津卷理科 13 已知集合 1 349 46 0 AxR xxBxR xtt t 则集合 AB 答案 25xx 解析 因为0t 所以 1 44t t 所以 2BxR x 由绝对值的几何意义可得 45AxRx 所以AB 25xx 4 2011 年高考湖南卷理科 10 设Ryx 且0 xy 则 2 22 2 4 11 y xy x 的最小值 为 答案 9 解析 由Ryx 且0 xy可知 0 0 0 2222 yxyx 则 945 1 45 1 4414 11 22 22 22 222 22 2 yx yx yx yxy xy x 当且仅当 22 22 1 4 yx yx 时 取到等号 故填 9 评析 本小题主要考查不等式的性质和基本不等式求最值问题 5 2011 年高考广东卷理科 9 不等式130 xx 的解集是 解析 1 xx 由题得1 3 1 3 1 22 xxxxx 所以不等式 的解集为 1 xx 6 2011 年高考安徽卷江苏 8 在平面直角坐标系xOy中 过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 的图象交于 P Q 两点 则线段 PQ 长的最小值是 答案 4 解析 设坐标原点的直线方程为 0 ykx k 则由 2 ykx y x 解得交点坐标为 2 2 k k k 2 2 k k k 即为 P Q 两点 所以线段 PQ 长为 22 222 224kk kk 当且仅当1k 时等号成立 故线段 PQ 长的最小值是 4 7 2011 年高考上海卷理科 4 不等式 1 3 x x 的解为 答案 0 x 或 1 2 x 三 解答题 1 2011 年高考安徽卷理科 19 本小题满分 12 分 设1 1 xy 证明 111 xyxy xyxy 1abc 证明loglogloglogloglog abcbca bcaabc 设logabx logbcy 由换底公式得 log1 log log b c b a a cxy 1 logba x 1 logcb y logacxy 故 要证 loglogloglogloglog abcbca bcaabc 只要证明 111 xyxy xyxy 其中log1 a xb log1 b yc 由 知所要证明的不等式成立 解题指导 证明不等式常规的方法有分析法 综合法 作差法和作商法 无论哪种方法 不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键 第二问的处理很有艺术性 借助第一问题的结论巧妙地解决了 这也是一题多问的问题解决 常规思路 前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用 2 2011 年高考广东卷理科 21 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 上 给定抛物线 L 2 1 4 yx 实数 p q 满足 2 40pq x1 x2是方程 2 0 xpxq 的两根 记 12 max p qxx 1 过点 2 000 1 0 4 A ppp 作 L 的切线教 y 轴于点 B 证明 对线段 AB 上任一点 Q p q 有 0 2 p p q 2 设 M a b 是定点 其中 a b 满足 a2 4b 0 a 0 过 M a b 作 L 的两条切线 12 l l 切点分别为 22 1122 11 44 E ppE pp 12 l l与 y 轴分别交与 F F 线段 EF 上 异于两端点的点集记为 X 证明 M a b X 12 PP a b 1 2 p 3 设 D x y y x 1 y 1 4 x 1 2 5 4 当点 p q 取遍 D 时 求 p q 的 最小值 记为 min 和最大值 记为 max 解析 解 1 证明 切线l的方程为 2 00 11 24 yp xp 22 0 4 22 pppppq Q p qABp q 有 当 000 00 0 0 222 ppppp pppp q 时于是 当 000 00 0 0 222 ppppp pppp q 时于是 2 12 l l的方程分别为 22 1122 1111 2424 yp xpyp xp 求得 12 l l 交点M a b 的坐标 1212 24 ppp p 由于 2 40 0aba 故有 12 pp 1 先证 12 M a bxpp 设 M a bX 当 12 1112112 0 002 2 pp ppppppp 时 当 12 1111212 0 020 2 pp ppppppp 时 设 2212 12 111 11102 pppp pp ppp 则 当 1212 1111 0 0 01 22 pppp ppp 时当时 p 注意到 1 M a blM a bX 在上故 2 次证 1 2 p M a bXa b 已知 M a bX 利用 1 有 1 2 p a b 设 1 2 p a b 断言必有 12 pp 若不然 12 pp 令 Y 是 2 l上线段E F 上异于两端点的点的集合 由已证的等价式 1 M a bY 再由 1 得 21 22 pp a b 矛盾 故必有 12 pp 再由等价式 1 M a bX 综上 1 12 2 p M a bXppa b 3 求得 2 15 1 1 44 yxyx 和的交点 12 0 1 2 1 QQ 而1yx 是 的切点为 2 2 1 Q的切线 且与y轴交于 1 0 1 Q 由 Q p q 线段 Q1Q2 有 1 p q 当 22 1 1515 1 02 1 4444 Q p qLyxxqp 时 2 442 02 22 ppqpp h pp qp 在 0 2 上 令 4213 0 2 2 42 p h pp p 得 由于 35 0 2 1 24 hhh h pp q 在 0 2 上取得最大值 max 5 4 h 2 15 2 1 1 44 p qDppqp 有0 故 22 2 15 4 1 4 44 22 ppp ppq p q max 425 24 pp h 222 44 1 2 222 ppqppppp p q 2 1 2 pp 故 minmax 5 1 4 3 2011 年高考湖北卷理科 17 本小题满分 12 分 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车 流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流 密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米 时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20200 x 时 车流速度 v 是车流密度 x的一次函数 当0200 x 时 求函数 v x的表达式 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f xx v x A可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 4 2011 年高考湖北卷理科 21 本小题满分 14 分 已知函数 ln1 0 f xxxx 求函数 f x的最大值 设 1 2 3 kk ab k n均为正数 证明 1 若 1 12212nnn a ba ba bbbb 则 12 12 1 n kkk n a aa 2 若 12 1 n bbb 则 12 222 1212 1 n kkk nn b bbb bb n 本题主要考查函数 导数 不等式的证明等基础知识 同时考查综合运用数学知识进行 推理论证的能力 以及化归与转化的思想 解析 f x的定义域为 0 令 1 10 fx x 解得1x 当01x 时 0 fx f x在 0 1 内是增函数 当1x 时 0 f x f x在 1 内是减函数 故函数 f x在1x 处取得最大值 1 0 f 1 由 知 当 0 x 时 有 1 0 f xf 即ln1xx 0 kk ab 从而有ln1 kk aa 得ln 1 2 kkkkk baa bb kn 求和得 111 ln k nnn b kkkk kkk aa bb 11 nn kkk k