2011年高考数学试题分类汇编 不等式

用心 爱心 专心 1 十一 不等式十一 不等式 一 选择题一 选择题 1 1 重庆理 重庆理 7 7 已知 a 0 b 0 a b 2 则 y 14 ab 的最小值是 A 7 2 B 4 C 9 2 D 5 答案答案 C 2 2 浙江理 浙江理 5 5 设实数 x y满足不等式组 250 270 0 xy xy x y 0 若 x y为整数 则34xy 的最小 值是 A 14 B 16 C 17 D 19 答案答案 B 3 3 全国大纲理 全国大纲理 3 3 下面四个条件中 使a b 成立的充分而不必要的条件是 A 1ab B 1ab C 22 ab D 33 ab 答案答案 A 4 4 江西理 江西理 2 2 若集合 x AxxBx x 则AB A xx B xx C xx D xx 答案答案 B 5 5 辽宁理 辽宁理 9 9 设函数 1 log1 1 2 2 1 xx x xf x 则满足 2 xf 的x的取值范围是 A 1 2 B 0 2 C 1 D 0 答案答案 D 6 6 湖南理 湖南理 7 7 设 m 1 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数z x my的最大值小于 2 则 m 的取值范围为 A 1 1 2 B 1 2 C 1 3 D 3 答案答案 A 7 7 湖北理 湖北理 8 8 已知向量 a x z 3 b 2 y z 且 a b 若x y满足不等式 1xy 则 z 的取值范围为 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 3 3 答案答案 D 8 8 广东理 广东理 5 5 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定 若 M x y 为D上的动点 点A的坐标为 2 1 则z OM OA 的最大值为 用心 爱心 专心 2 A 4 2 B 3 2 C 4 D 3 答案答案 C 9 9 四川理 四川理 9 9 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每辆车虚满载 且只运送一次 派用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的 每辆乙型卡车虚配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数 可得最大利润 z A 4650 元 B 4700 元 C 4900 元 D 5000 元 答案答案 C 解析 由题意设派甲 乙 x y辆 则利润450350zxy 得约束条件 08 07 12 10672 219 x y xy xy xy 画出可行域在 12 219 xy xy 的点 7 5 x y 代入目标函数 4900z 10 10 福建理 福建理 8 8 已知 O 是坐标原点 点 A 1 1 若点 M x y 为平面区域 2 1 y2 xy x 上 的一个动点 则OA OM 的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 0 2 D 1 2 答案答案 C 11 11 安徽理 安徽理 4 4 设变量 yxyxyx2 1 则满足 的最大值和最小值分别为 A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 答案答案 B 12 12 上海理 上海理 1515 若 a bR 且 0ab 则下列不等式中 恒成立的是 A 22 2abab B 2abab C D 112 abab D 2 ba ab 答案答案 二 填空题二 填空题 13 13 陕西理 陕西理 1414 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树 相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 答案答案 2000 14 14 浙江理 浙江理 1616 设 x y为实数 若 22 41 xyxy 则2x y 的最大值是 答案答案 2 10 5 15 15 全国新课标理 全国新课标理 1313 若变量 x y 满足约束条件 329 69 xy xy 则 2zxy 的最小值 是 用心 爱心 专心 3 答案答案 6 16 16 上海理 上海理 4 4 不等式 1 3 x x 的解为 答案答案 0 x 或 1 2 x 17 17 广东理 广东理 9 9 不等式 130 xx 的解集是 答案答案 1 18 18 江苏 江苏 1414 设集合 2 2 222 Ryxmyx m yxA 122 RyxmyxmyxB 若 BA 则实数 m 的取值范围是 答案答案 22 2 1 三 解答题三 解答题 19 19 安徽理 安徽理 1919 设 1 1 xy 证明 111 xy yxxy yx cba 1 证明log logloglogloglog abcbca bcaabc 本题考查不等式的基本性质 对数函数的性质和对数换底公式等基本知识 考查代数式的 恒等变形能力和推理论证能力 证明 I 由于 1 1 yx 所以 1 111 2 xyxyyxxyxy yxxy yx 将上式中的右式减左式 得 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 yxxyyx yxxy yxxyxy xyyxxyxy yxyxxyxy yxxyxyxy 所以即然 从而所要证明的不等式成立 II 设 log logycxb ba 由对数的换底公式得 log 1 log 1 log 1 logxyc y b x a xy a acbc 于是 所要证明的不等式即为 111 xy yxxy yx 其中 1log 1log cybx ba 故由 I 立知所要证明的不等式成立 20 20 湖北理 湖北理 1717 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上 的车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的 用心 爱心 专心 4 的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20 200 x 时 车流速度 v 是 车流密度x的一次函数 当0 200 x 时 求函数 v x 的表达式 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观点的车辆数 单位 辆 每小时 f xxv x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 本小题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 满 分 12 分 解 由题意 当0 20 60 xv x 时 当20 200 xv xaxb 时设 再由已知得 1 2000 3 2060 200 3 a ab ab b 解得 故函数 v x 的表达式为 60 020 1 200 20200 3 x v x xx 依题意并由 可得 60 020 1 200 20200 3 xx f x xxx 当0 20 xf x 时 为增函数 故当 20 x 时 其最大值为 60 20 1200 当20 200 x 时 2 11 200 10000 200 3323 xx f xxx 当且仅当 200 xx 即 100 x 时 等号成立 所以 当 100 xf x 时 在区间 20 200 上取得最大值 10000 3 综上 当 100 x 时 f x 在区间 0 200 上取得最大值 10000 3333 3 即当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3333 辆 小时 21 湖北理 湖北理 2121 已知函数 1f xInxx 0 x 求函数 f x 的最大值 设 kk a b 1 2k n 均为正数 证明 1 若 1 122 aba b nn a b 12 bb n b 则 12 12 1 n kkk n a aa 2 若 12 bb n b 1 则 1 n 12 1 222 212 n kkk nn b bbbbb 本题主要考查函数 导数 不等式的证明等基础知识 同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力 以及化归与转化的思想 满分 14 分 解 I f x 的定义域为 0 令 1 10 1 fxx x 解得 当0 1 0 xfxf x 时 在 0 1 内是增函数 当 1x 时 0 1 fxf x 在 内是减函数 故函数 1f xx 在 处取得最大值 1 0 f 用心 爱心 专心 5 II 1 由 I 知 当 0 x 时 有 1 0 ln1 f xfxx 即 0 kk a b 从而有ln 1 kk aa 得 ln 1 2 kkkkk baa bb kn 求和得 1 111 ln nnn k kkkk kkk aa bb 2 111 ln0 nnn k kkkk kkk a bba 即 12 12 ln 0 n kkk n a aa 12 12 1 n kkk n a aa 2 先证 12 12 1 n kkk n b bb n 令 1 1 2 k k akn nb 则 111 1 1 nnn kkk kkk a bb n 于是 由 1 得 12 12 111 1 n kkk n nbnbnb 即 12 12 12 1 n n kkk kkk n nn b bb 12 12 1 n kkk