广东省广州市2013届高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 2012 20132012 2013 学年度第一学期学年度第一学期 高三级数学科 理科 期中考试试卷高三级数学科 理科 期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分 共本试卷分选择题和非选择题两部分 共 1010 页 满分为页 满分为 150150 分 考试用时分 考试用时 120120 分钟 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上 用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上学号填涂在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答 答案必须写在答 卷纸各题目指定区域内的相应位置上 超出指定区域的答案无效超出指定区域的答案无效 如需改动 先划掉原来 的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁和平整 第一部分选择题第一部分选择题 共共 4040 分分 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 若 则 1 2 3 4 5U 1 2 3A 2 4B u AC B A 2 4 B 1 3 C 1 2 3 4 D 1 2 3 4 5 2 若复数 为虚数单位 是纯虚数 则实数 2 1 1 aai ia A B C 0 D 11 1 3 等差数列的前 n 项和为 且 9 3 成等比数列 若 3 则 n a n S 1 a 2 a 3 a 1 a 4 a A 6 B 4 C 3 D 5 4 设是甲抛掷一枚骰子得到的点数 则方程有两个不相等的实数根的a 2 20 xax 概率为 A B C D 2 3 1 3 1 212 5 5 已知变量x y满足条件则的最大值是 1 0 290 x xy xy xy A 2 B 5C 6D 8 6 下列各命题中正确的命题是 命题 或 为真命题 则命题 和命题 均为真命题 pqpq 命题 2 000 13xR xx 的否定是 2 13xR xx 函数 22 cossinf xaxax 最小正周期为 是 的必要不充分条件 平1a 面向量a 与b 的夹角是钝角 的充分必要条件是 0a b 用心 爱心 专心2 第 11 题图 A B C D 7 把边长为 的正方形沿对角线折起 使得平面平面 形成三1ABCDBD ABDCBD 棱锥的正视图与俯视图如下图所示 则侧视图的面积为 ABDC A B C D 2 1 2 2 4 2 4 1 8 点为双曲线 和圆 的一个交点 P 1 C 0 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 C 2222 bayx 且 其中为双曲线的两个焦点 则双曲线的离心率为 1221 2FPFFPF 21 F F 1 C 1 C A B C D 321 13 2 第二部分第二部分 非选择题非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 3030 分 分 9 若向量 满足条件 则 1 ax 2 1b r ab rr x 10 在ABC 中 面积为 60A 16AC 220 3 那么的长度为 BC 11 右图是求 222 123 2 100的值的程序框图 则正整数n 12 已知圆的圆心与抛物线的焦点关于轴对称 C 2 4yx y 又直线与圆相切 则圆的标准方程为 4360 xy CC 13 已知函数 令 3 3 2 f xxfx 2 nf 则二项式 展开式中常数项是第 项 2 nx x 第第 1414 1515 题为选做题 只能选做一题 全答的 只计前一题的得分 题为选做题 只能选做一题 全答的 只计前一题的得分 14 坐标系与参数方程选讲 坐标系与参数方程选讲 在极坐标系 20 中 曲线1 sin cos 与的交点的极坐标为 cossin 1 是 否 in 开始 1 0is 2 ssi 1ii 输出s 结束 A D E C B O 用心 爱心 专心3 15 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 是圆的直径 直线与AB O CE 圆相切于点 于点 若圆的面积为 OCADCE DO4 30ABC 则的长为 AD 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题共 12 分 已知函数 2sin coscos2f xxxx x R 1 求 f x的最小正周期和最大值 2 若 为锐角 且 2 83 f 求tan2 的值 17 本小题共 12 分 今有 4 种股票和 3 种基金 李先生欲购买其中的任意 3 种产品 1 求李先生所购买的 3 种产品中恰好只含一种基金的概率 2 记购买的 3 种产品中 包含基金的种数为 求 的分布列及数学期望 18 本小题共 14 分 如图 在长方体中 为 1111 DCBAABCD 1 1 ADAAE 中点 CD 1 求证 11 ADEB 2 在棱上是否存在一点 使得平面 若存在 求的长 若不存 1 AAP DPAEB1AP 在 说明理由 3 若 AB 2 求二面角的平面角 1 BAEB 的余弦值 19 本小题共 14 分 已知是函数的一个极值点 3 xxxxaxf10 1ln 2 1 求的值 a 2 求函数的单调区间 xf 3 若直线与函数的图象有 3 个交点 求的取值范围 by xfy b 20 本小题共 14 分 直线 与椭圆交于 两点 l 22 22 1 0 yx ab ab 11 A x y 22 B xy 已知 若且椭圆的离心率 又椭圆经过点m 11 byax n 22 byax mn 3 2 e 第 15 题图 E A D B C A1 B1 D1 C1 用心 爱心 专心4 为坐标原点 3 1 2 O 1 求椭圆的方程 2 若直线 过椭圆的焦点 为半焦距 求直线 的斜率的值 l 0 Fcclk 3 试问 的面积是否为定值 如果是 请给予证明 如果不是 AOB 请说明理由 21 本小题共 14 分 已知数列中 对于任意的 有 n a 1 2a p qN p qpq aaa 1 求数列的通项公式 n a 2 数列满足 n b 1 3124 234 1 2 121212121 n n n n bbbbb a 求数列的通项公式 nN A n b 3 设 是否存在实数 当时 恒成立 若存3 n nn Cb nN A nN A 1nn CC 在 求实数的取值范围 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心5 班级 姓名 学号 O 密 O 封 O 线 O 2012 20132012 2013 学年度第一学期学年度第一学期 高三级数学科 理科 期中考试答卷高三级数学科 理科 期中考试答卷 成绩 注意事项 注意事项 1 本答卷为第二部分非选择题答题区 考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在 各题目指定区域内的相应位置上答题 超出指定区域的答案无效 2 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 题 号 选择题填空题 161718192021 得 分 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 10 11 12 13 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 15 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步解答须写出文字说明 证明过程和演算步 骤骤 16 本小题满分 12 分 解 17 本小题满分 12 分 解 用心 爱心 专心6 O 密 O 封 O 线 O O 密 O 封 O 线 O 18 本小题满分 14 分 解 E A D B C A1 B1 D1 C1 用心 爱心 专心7 19 本小题满分 14 分 解 用心 爱心 专心8 班级 姓名 学号 O 密 O 封 O 线 O 20 本小题满分 14 分 解 用心 爱心 专心9 21 本小题满分 14 分 解 用心 爱心 专心10 2012 20132012 2013 学年度高三级第一学期学年度高三级第一学期 期中数学科 理数 考试答案期中数学科 理数 考试答案 一 选择题 每题一 选择题 每题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 题号12345678 答案BBCACADC 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 49 11 100 12 13 5 2 22 1 4xy 14 15 1 1 2 三 解答题 写出必要的文字说明 计算或证明过程 共三 解答题 写出必要的文字说明 计算或证明过程 共 8080 分 分 16 本小题共 12 分 用心 爱心 专心11 17 本小题共 12 分 解 1 设事件 A 表示 李先生所购买的 3 种产品中 恰好只含一种基金 1 分 3 分 12 34 3 7 18 35 CC P A C 答 李先生所购买的 3 种产品中恰好只含一种基金的概率为 4 分 18 35 2 5 分0 1 2 3 3 4 3 7 4 0 35 C P C 用心 爱心 专心12 12 34 3 7 18 1 35 CC P C 21 34 3 7 12 2 35 CC P C 9 分 3 3 3 7 1 3 35 C P C 12 分 18 本小题共 14 分 解 1 连结长方体中 11 AD BC 1111 DCBAABCD 1 1 ADAA 则 1 分 11 ADAD 1111 ABA ADD 平面 2 分 1111111 ADABADABA 又 面 3 分 1 AD 11 ABCD 又 面 1 B E 11 ABCD 4 分 11 DB EA 2 存在的中点 P 使得 1 AA 1 DPB AE平面 证明 取的中点为 中点为 连接 1 AAP 1 ABQPQ 在中 11 AAB 11 1 2 PQAB 又 11 1 2 DEAB PQDE 四边形 PQDE 为平行四边形 PQDE E A D B C A1 B1 D1 C1 E A D B C A1 B1 D1 C1 P Q E A D B C A1 B1 D1 C1 H 用心 爱心 专心13 又 11 PDAB EQEAB E 平面 平面 1 PDAB E平面 此时 8 分 1 11 22 APAA 3 法一 在平面上 过点作交于 连结ABEBBHAE AEH 1 B H 11 B BABCD AEB BH 平面平面 1 AEB H 为二面角的平面角 1 BB H 1 BAEB 在中 ABEA 1 2 1 2 ABE AESABAD 又 则 1 1 2 ABE SAEBH 2BH 在中 1 Rt B BH 1 3B H 1 1 26 cos 33 BH B HB B H 即二面角的平面角的余弦值为 1 BAEB 6 3 法二 因为 11 ABAAABADAAAD 建立如图所示坐标系 11 0 0 0 0 0 1 2 0 0 2 0 1 1 1 0AABBE 1 AAABCD 平面 平面 ABE 的一个法向量 10 0 1n 设平面的法向量为 1 AEB 2 nx y z 1 1 1 0 2 0 1 AEAB x y z E A D B C A1 B1 D1 C1 用心 爱心 专心14 由 得 1 2 1 0 0 AE n AB n 0 20 xy xz 取 则平面的一个法向量1 1 2xyz 1 AEB 21 1 2n 12 12 12 26 cos 316 nn n n n n 经检验 二面角 B AE B 所成平面角为锐角 其余弦值为 1 12 6 cos 3 n n 19 本小题共 14 分 解 1 因为 2 分102 1 x x a xf 所以 因此 4 分0106 4 3 a f16 a 2 由 1 知 1 10 1ln 16 2 xxxxxf 5 分 x xx xf 1 34 2 2 当时 3 1 1 x0 xf 当时 6 分 3 1 x0 xf 所以的单调增区间是 xf 3 1 1 的单调减区间是 8 分 xf 3 1 3 由 2 知 在内单调增加 在内单调减少 在上单调增加 xf 1 1 3 1 3 且当或时 1 x3 x0 xf 所以的极大值为 极小值为 10 分 xf92ln16 1 f212ln32 3 f 因为 1 92ln1611ln16 10 ff 3 212ln32211132 1 1 2 feff 所以在的三个单调区间 xf 3 3 1 1 1 直线与的图象各有一个交点 当且仅当 by xfy 1 3 fbf 用心 爱心 专心15 13 分 因此 的取值范围为 14 分b 92ln16 212ln32 20 本小题共 14 分 解 1 2 分 22 22 3 2 13 1 4 cab e aa ab 3 分2 1ab 椭圆的方程为 4 分 2 2 1 4 y x 2 依题意 设 的方程为l3ykx 由 5 分 22 2 2 3 4 2 310 1 4 ykx kxkx y x 显然0 6 分 1212 22 2 31 44 k xxx x kk 由已知得 nm0 22 12121212 4 3 3 a x xb y yx xkxkx 2 1212 4 3 3kx xk xx 2 22 12 3k k4 3k30 k4k4 解得 8 分2k 3 当直线斜率不存在时 即 AB 2 121 xxyy 由已知 得 nm0 2222 1111 404xyyx 又在椭圆上 11 A x y 所以 2 2 1 111 42 1 2 42 x xxy 三角形的面积为定值 10 分 11211 11 2 1 22 Sxyyxy 用心 爱心 专心16 当直线斜率存在时 设的方程为ABABykxt 222 2 2 4 240 1 4 ykxt kxktxt y x 必须 即0 2 222 44 4 4 0k tkt 得到 11 分 12 2 2 4 kt xx k 2 12 2 4 4 t x x k nm 12121212 404 0 x xy yx xkxt kxt 代入整理得 12 分 22 24tk 13 分 2 121 1 2 1