2011高考数学复习资料汇编：第6单元 平面向量（真题解析+最新模拟）

20112011 年最新高考年最新高考 最新模拟最新模拟 平面向量平面向量 1 2010 全国卷 2 理数 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 答案 B 解析 因为CD平分 ACB 由角平分线定理得 ADCA2 DBCB1 所以 D 为 AB 的三等分 点 且 22 ADAB CBCA 33 所以 2121 CDCA ADCBCAab 3333 故 选 B 2 2010 辽宁文数 平面上 O A B三点不共线 设 OAa OBb 则OAB 的面积等 于 A 22 2 aba b B 22 2 aba b C 22 2 1 2 aba b D 22 2 1 2 aba b 答案 C 解析 2 2 22 111 sin 1cos 1 222 OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 2 aba b 3 2010 辽宁理数 平面上 O A B 三点不共线 设 OA a OBb 则 OAB 的面积等于 A 222 aba b A B 222 aba b A C 222 1 2 aba b A D 222 1 2 aba b A 答案 C 解析 三角形的面积 S 1 2 a b sin 而 2222222 11 cos 22 ababababa b 2 11 1 cos sin 22 a ba ba ba b 4 2010 全国卷 2 文数 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若CB a CA b a 1 b 2 则CD A 1 3 a 2 3 b B 2 3 a 1 3 b C 3 5 a 4 5 b D 4 5 a 3 5 b 答案 B 解析 CD 为角平分线 1 2 BDBC ADAC AB CBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 5 2010 安徽文数 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 A ab B 2 2 a b A C ab D ab 与b垂直 答案 D 解析 11 22 ab 0ab b A 所以 ab与b垂直 6 2010 重庆文数 若向量 3 am 2 1 b 0a b A 则实数m的值为 A 3 2 B 3 2 C 2 D 6 答案 D 解析 60a bm A 所以m 6 7 7 2010 重庆理数 已知向量 a b 满足0 1 2 a bab 则2ab A 0 B 2 2 C 4 D 8 答案 B 解析 2ab 22844 2 222 bbaaba 8 2010 山东文数 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对任意的 am n bp q 令abmqnp A 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则0ab A B abba AA C 对任意的R 有 abab AA D 2222 aba bab A 答案 B 9 2010 四川理数 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16 BCABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 答案 C 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 10 2010 天津文数 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则 AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 11 2010 全国卷 1 文数 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切 点 那么PA PB 的最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 解析 法一 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时21x 法二 设 0APB 2 cos1 tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换元 2 sin 01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 法三 建系 园的方程为 22 1xy 设 11110 0 A x yB xyP x 22 11101110110 001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx P A B O 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy 12 2010 四川文数 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16BC ABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 答案 C 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 13 2010 湖北文数 已知ABC 和点 M 满足0MAMBMC 若存在实m使得 AMACmAM 成立 则m A 2B 3C 4D 5 14 2010 山东理数 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对任意的a m n bp q 令ab mq np A 下面说法错误的是 A 若a 与b 共线 则ab 0 A B ab ba AA C 对任意的R 有a b A ab A D 2222 ab ab a b A 答案 B 解析 若a 与b 共线 则有ab mq np 0 A 故 A 正确 因为bapn qm A 而 ab mq np A 所以有abba AA 故选项 B 错误 故选 B 命题意图 本题在平面向量的基础上 加以创新 属创新题型 考查平面向量的基础知识 以及分析问题 解决问题的能力 15 2010 湖南理数 在Rt ABC 中 C 90 AC 4 则AB AC uu u r uuu r 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 16 2010 抚顺市一模 已知A B C三点不共线 且点O满足OAOBOC 0 则下列结论正确的是 A 12 33 OAABBC B 21 33 OAABBC C 12 33 OAABBC D 21 33 OAABBC 答案 D 解析 依题意 由OAOBOC 0 得OAABAC 3 所以 12 33 OAABBC 选择 D 17 2010 河北隆尧一中二月考 已知向量 a b c 都不平行 且 123 0abc 123 R 则 A 123 一定全为 0 B 123 中至少有一个为 0 C 123 全不为 0 D 123 的值只有一组 答案 C 解析 在ABC 中 设 ABa BCb CAc 则 a b c 都不平行 且0abc 排除 A B 且有2220abc 排除 D 所以选 C 18 2010 北京市东城区二模 对于非零向量 a b 20 ab 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 20 ab ab 但 ab 20 ab 所以 20 ab 是 ab 的充分不必要条件 19 2010 武汉市四月调研 飞机从甲地以北偏西 15 的方向飞行 1400km 到达乙地 再从 乙地以南偏东 75 的方向飞行 1400km 到达丙地 那么丙地距甲地距离为 A 1400km B 700 2km C 700 3km D 1400 2km 答案 A 解析 依题意 作出示意图 如图 设 A B C 分别对应甲 乙 丙三地 易知 A B C 三点构成正三角形 所以丙地距甲地距离为 1400km 选择 A 20 2010 衡水中学高三第一次模拟考试 设向量 1 x 1 x 1 3 则 a b x 2 是 的 a b A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条 件 答案 A 解析 依题意 3 x 1 x 1 0 x 2 所以 x 2 是 的充分 a b a b 但不必要条件 21 2010 北京海淀区一摸 在四边形ABCD中 ABDC 且0AC BD 则四边形 ABCD A 矩形 B 菱形 C 直角梯形 D 等腰梯形 答案 B 解析 ABDC 即一组对边平行且相等 0AC BD 即对角线互相垂直 该四边形 ABCD为菱形 选择 B 22 2010 崇文区二模 若非零向量 a b满足 abb 则 A 2 2 aab B 2 2 aab C 2 2 bab D 2 2 bab 答案 C 解析 因为 abb 所以 2 0aab 即 2 aab 因此 a 2ab 2b 构成直角三角形的三边 2b 为斜边 所以 2 2 bab 选择 C A B C 东 北 23 2010 淄博市二模 设平面向量 1 2 2 y ab 若ab 则 3 ab等于 A 5B 6C 17D 26 答案 A 解析 ab 则2 2 104yy 从而3 1 2 ab 3 ab 5 24 2010 重庆市四月考 已知 2 1 1 3 ab 且 abb 则 A 1 2 B 2 C 2 D 1 2 答案 A 解析 由题意的 2 5 100abba bb 解得 1 2 25 2010 石家庄市教学质量检测 二 已知向量a cos sin b cos sin 若 3 则向量a 与向量a b 的夹角是 A 3 B 6 C 6 5 D 3 2 答案 B 解析 设向量a 与向量a b 的夹角为 则 cos cos cos 3 3 选择 B 26 2010 茂名市二模 如右图 在ABC 中 0 4 30ABBCABC AD 是边 BC 上的高 则 AD AC 的值等于 A 0B 4C 8D 4 答案 B 解析 因为 0 4 30ABBCABC AD 是边 BC 上的高 AD 22 3BD 所以 1 2 44 2 AD ACADABBCAD ABAD BC 选择 B 27 2010 北京海淀区二模 已知a 1 0 b 1 x 若3a b 则x的值为 A 2 B 2 2 C 31 D 3 答案 D 第 3 题 解析 依题意 a b x 3 选择 D 28 2010 宁波市二模 若两个非零向量 a b 满足2ababa 则向量ab 与 ab 的夹角是 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案 C 解析 依题意 由 2 ababa 得ab 22 3ba cos 22 1 2 ab ab ab 所以向量ab 与ab 的夹角是 2 3 选择 C 29 2010 重庆八中第二次月考 把函数sin yx x R的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得 到的图象所表示的函数是 A sin 23 x y x R B sin 26 x yx R C sin 2 3 yxx R D sin 2 3 yxx R 答案 C 解析 根据三角函数图像平移规律知得到的图象所表示的函数是sin 2 3 yxx R 选择 C 30 2010 抚州市四月质检 若将函数 yf x 的图像按向量 1 3 a 平移得到 sin 2 6 yx 的图像 则 f x 的解析式为 Asin21x B cos2 1x C cos2 1x Dsin21x 答案 C 解析 依题意 函数 sin 2 6 yx 按向量 1 3 a 平移得到f x cos21x 选 A B P C M N D 择C 31 2010 河北隆尧一中三月月考 在 ABC所在平面上有三点P Q R 满足 ABPCPBPA BCQCQBQA CARCRBRA 则 PQR的面积 与 ABC的面积之比为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 答案 B 解析 由PAPBPCAB PAPCABPB 即PAPCABBP PAPCAP 2PCAP P 为线段 AC 的一个三等分点 同理可得Q R的位置 PQR 的面积为 ABC的面积减去三个小三角形面积 面积比为 1 3 32 2010 河北隆尧一中四月模拟 设 P 为ABC 内一点 且 31 45 APABAC 则 ABP 的面积与ABC 面积之比为 A 1 4 B 3 4 C 1 5 D 4 5 答案 C 解析 如图 过 P 作 PM AC PN AB 因为 31 45 APABAC 所以 N 为 AC 靠近 A 的五等分点 所以连接 CP 并延长 交 AB 于 D 则4CPPD 故5CDPD 则ABP 的面积与ABC 面积之比为 1 5 33 2010 襄樊五中5月调研 若y sin Error Error 的图像按照向量a 平移后得到y sin Error Error 的 图象 则a 可以是 A 0 B 0 C 0 D 0 3 3 6 6 答案 B 解析 依题意 y sin Error Error 所以a 0 选择 B sin 1 2 3 34 2010 绵阳南山中学热身考试 将函数sin 0 yx 的图象 按向量 0 6 a 平移 平移后的图象如图所示 则平移后的 图象所对应函数的解析式是 A sin 6 yx B sin 6 yx C sin 2 3 yx D sin 2 3 yx 答案 C 解析 依题意 将 x 代入检验易知 C 正确 7 12 35 2010 四川省绵阳市三诊 把圆C 2 1 22 yx按向量a h 1 平移后得圆C1 若圆 C1在不等式x y 1 0 所确定的平面区域内 则h的最小值为 A 1 B 1 C 3 3 D 3 3 答案 A 解析 圆C 2 1 22 yx按向量a h 1 平移后得圆C1 22 1 1 2 xhy 若圆C1 在不等式x y 1 0 所确定的平面区域内 1 1 2 22 h 且0h 所以 h 1 选择 A 36 2010 南宁市二模 在ABC 中 若2sinsincos ABBA 则ABC 的形状是 A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 等腰三角形 答案 B 解析 依题意 sinAsinB0 0 A B ABC 的形状是钝角三 2 角形 选择 B 37 2010 深圳市第二次调研 在 ABC 中 若sin sin sin3 4 30ABC 则ABC 是 A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定 答案 C 解析 依题意 由正弦定理得 a b c 令 a 则最大角为 C cosC 3 4 303 3 1630 0 234 所以ABC 是钝角三角形 选择 C 38 2010 抚顺市一模 在 ABC 中 A B C 所对的边分别为a b c 若 1 2AB 且 13a b 则cos2B的值是 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 答案 A 解析 依题意 因为 13a b 所以 sinA sinB 1 又 1 2AB 则 cosA 3 所以 A 300 B 600 cos2B 选择 A 3 2 1 2 39 2010 北京宣武区一模 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c S表示 ABC 的面积 若 222 1 coscossin 4 aBbAcC Sbca 则B A 90 B 60 C 45 D 30 答案 C 解析 由余弦定理可知coscosaBbAc 于是sin1C 2 C 从而 22222 111 244 Sabbcabb 解得ab 因此45B 选择 C 40 2010 四川省绵阳市三诊 已知向量a b不共线 若向量a b与b a的方向相反 则 A 1 B 0 C 1 D 1 答案 C 解析 逐个代入检验知 C 正确 41 2010 北京顺义区二模 已知向量 3cos 2 a r 3 4sin b r 且a b rr P 则锐 角 等于 A 6 B 4 C 3 D 5 12 答案 B 解析 依题意 12cos sin 6 0 sin2 1 为锐角 所以 4 42 2010 河北隆尧一中二月考 已知等差数列 n a的前项和为 n S 若 1200 OCa OAaOB 且A B C三点共线 该直线不过原点 则 200 S A 100 B 101 C 200 D 201 答案 A 解析 依题意 1200 1aa 1200 200 200 100 2 aa S 选择 A 43 2010 郑州市三模 已知向量a 3 4 b 2 1 如果向量a kb与b垂直 则 实数k的值为 A 23 3 B 3 23 C 2 D 2 5 答案 解析 依题意 a kb 3 2k 4 k 向量a kb与b垂直 所以6 4k 4 k 0 k 选择 2 5 D 44 2010 抚顺市一模 已知A B C三点不共线 且点O满足OAOBOC 0 则 下列结论正确的是 A 12 33 OAABBC B 21 33 OAABBC C 12 33 OAABBC D 21 33 OAABBC 答案 D 解析 依题意 由OAOBOC 0 得OAABAC 3 2OAABBC 3 则 21 33 OAABBC 选择 D 45 2010 郑州市第二次质检 函数 y tan 4 x 2 的部 分图像如图所示 则 OB OA OB A 4B 2 C 2 D 4 答案 D 解析 依题意 由图知 A 2 0 B 3 1 OB OA OB 4 46 2010 重庆八中第二次月考 已知向量 3 2 a 2 1 b 若 bnam与 ba2共线 则 n m 等于 A 2 1 B 2 1 C 2 D 2 答案 A 解析 依题意 bnam 2m n 3m 2n ba2 4 1 若 bnam与 ba2共线 则 4 3m 2n 2m n 0 所以 n m 2 1 选择 A 47 2010 上海文数 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标 为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的点 P 若 1 2 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 答案 4ab 1 解析 因为 1 2 1 e 2 2 1 e 是渐进线方向向量 所以双曲线渐近线方程为 xy 2 1 又 1 2 5 bac 双曲线方程为 1 4 2 2 y x 1 2 OPaebe 22 baba 1 4 22 2 2 ba ba 化简得 4ab 1 48 2010 陕西文数 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 答案 1 解析 0 1 1 21 1 1 mcbamba得由 所以 m 1 49 2010 江西理数 已知向量a b 满足1a 2b a 与 b 的夹角为 60 则ab 答案 3 解析 考查向量的夹角和向量的模长公式 以及向量三角形法则 余 弦定理等知识 如图 aOA bOB abOAOBBA 由余弦定 理得 3ab 50 2010 浙江文数 在平行四边形 ABCD 中 O 是 AC 与 BD 的交点 P Q M N 分别是线 段 OA OB OC OD 的中点 在 APMC 中任取一点记为 E 在 B Q N D 中任取一点记为 F 设 G 为满足向量OGOE OF 的点 则在上述的点 G 组成的集合中的点 落在平行四边形 ABCD 外 不含边界 的概率为 答案 3 4 51 2010 广东理数 若向量a r 1 1 x b r 1 2 1 c r 1 1 1 满足条件 2 cab rrr 2 则x 答案 2 解析 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 解得 2x 52 2010 北京东城区一摸 理科题 11 在平行四边形ABCD中 若 1 3 AB 2 5 AC 则AD BD 答案 1 2 0 1 解析 1 2 ADBCACAB 0 1 BDADAB 53 2010 北京丰台区一模 已知向量 axy 1 2b 1 3ab 且 则 2 ab 等于 答案 5 解析 1 2abxy 2 1xy 2 ab 2 4 xy 22 24xy 22 22145 54 2010 黄冈中学 5 月第一模拟考试 已知向量 2 3 a 2 1 b 则a在b方向上 的投影等于 答案 5 5 解析 a在b方向上的投影为 5 cos 5 AAa ba b aa ba a bb 55 2010 重庆市四月考 已知向量a b满足 a b 1 且 a b 3 a b 则向 量a与b的夹角是 答案 60 解析 由已知 a b 2 3 a b 2 即a2 2a b b2 3 a2 2a b b2 因为 a b 1 则a2 b2 1 所以 2 2a b 3 2 2a b 即a b 1 2 设向量a与b的 夹角为 则 a b cos 1 2 即 cos 1 2 故 60 56 2010 重庆市四月考 若向量a 与b 的夹角为 120 且1 a 2b cab 则c 答案 3 解析 因为 2 22 21 243cabaa bb 57 2010 北京西城区一摸 已知 2a 3b ab 的夹角为 60 则 2 ab 答案 13 解析 依题意 22 2 2 44cos6013abaabb 2 ab 13 58 2010 北京崇文区一模 关于平面向量有下列四个命题 若 a ba c 则 bc 已知 3 2 6 k ab 若ab 则1k 非零向量a和b 满足 a b a b 则a与a b的夹角为30 0 abab abab 其中正确的命题为 写出所有正确命题的序号 答案 解析 中 0 a ba cabc 当0 a时也成立 中若ab 则有 2 1 36 k k 中易知 a b夹角60 a与a b的夹角为30 中 abab abab abab abab 22 ab ab ab ab ab ab 0 59 2010 北京东城区一摸 海上有A B C三个小岛 测得A B两岛相距 10n mile 60 75BACABC 则B C间的距离是 n mile 答案 5 6 解析 由正弦定理知 sin60sin 1806075 BCAB 解得5 6BC 60 2010 北京西城区一摸 文科题 13 在ABC 中 C为钝角 3 2 AB BC 1 sin 3 A 则 角C sinB 答案 150 2 23 6 解析 由正弦定理知 sin31 sin sin22 ABC C BCA 又C为钝角 故150C 132 212 23 sinsin sincoscossin 32326 BACACAC 61 2010 上海市长宁区二模理科 在 ABC 中 0 60 A 5 AB 且 35 S 则 BC的长为 答案 21 解析 依题意 0 60 A 5 AB 所以 AC 4 由余弦定理 1 2AB AC sinA 5 3 得 BC 21 62 2010 河北隆尧一中五月模拟 理 若向量 2sin 1 a 2 2sin cos bm R 且 ab 则m的最小值为 答案 12 解析 因 2 2sin 1 2sin cos abmRab 且 得 2 2sincos2sinm 得 2 2sin2sincosm cos2sin212sin 2 1 4 m 的最小值为12 63 2010 江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 解 1 方法一 由题设知 3 5 1 1 ABAC 则 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4 2 ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2 2 10 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC 4 2 AD 2 10 2 由题设知 OC 2 1 32 5 ABtOCtt 由 OCtAB OC 0 得 32 5 2 1 0tt 从而511 t 所以 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 64 2010 重庆市南开中学考前第一次模拟 已知ABC 为ABC 的三内角 且其对边 分别为 abc 若 2cos tan 2 A mA cos cot 2 A nA 且 1 2 m n 求角 A 若4 bc ABC 的面积为3 求 a 解 由 1 2 m n 得 2 11 2cos1cos 222 A A 所以120A 由 11 sinsin1203 22 ABC SbcAbc 得4 bc 222222 2cos 12 abcbcAbcbcbcbc 所以2 3a 65 2010 陕西省西工大附中第七次适应性训练 如图 为了计算某湖岸边两景点B与C的距离 由于地形的限制 需 要在岸上A和D两个测量点 现测得AD CD AD 10km AB 14km 60BDA 135BCD 求两 景点B与C之间的距离 假设A B C D在同一平面内 测量 结果精确到0 1km 参考数据 21 414 31 732 52 236 解 在 ABD中 设BD x 则 222 2cosBABDADBD ADBDA A 即 222 141020 cos60 xx 整理得 2 10960 xx 解之 得 12 16 6xx 舍 去 由正弦定理 得sin sin BCBD CDBBCD 所以 16 sin308 211 3 sin135 BC km 66 2010 云南省昆明三中第七次月考 在ABC 中 cba 分别是CBA 的对边 长 已知AAcos3sin2 I 若mbcbca 222 求实数m的值 II 若3 a 求ABC 面积的最大值 解 I 由AAcos3sin2 两边平方得 AAcos3sin2 2 即 0 2 cos1cos2 AA 解得 2 1 cos A 而mbcbca 222 可以变形为 22 222 m bc acb 即 2 1 2 cos m A 所以1m II 由 知 2 1 cos A 则 2 3 sin A 又 2 1 2 222 bc acb 所以 2222 2abcacbbc 即