广东省佛山市顺德区2013届高三数学上学期期末试题 理 新人教A版

1 20122012 学年度第一学期高三年级期末教学质量检测理科数学试卷学年度第一学期高三年级期末教学质量检测理科数学试卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名 班级和考号填写在答题 卷上 2 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置 上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以 上要求作答的答案无效 第 卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 1 在复平面内 复数 12 zii 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 集合 A x y 则等于 2 2xx lg 1 Bx yx AB A B C D 01 xx 12 xx 12 xx 01 xx 3 下列函数 f x中 满足 对任意 1 x 2 x 0 当 1 x 2 f x的是 A f x 2 1 x B f x x e C ln 1 f xx D f x 1 x 4 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 A 3 1 B 3 2 C 1 D 2 5 已知锐角 满足 cos cos 3 5 5 13 则 cos A B C D 33 65 33 65 54 75 54 75 6 设 x y 满足约束条件 220 840 0 0 xy xy xy 若目标函数 0 0 zabxy ab 的最大值 为 8 则 a b 的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 7 抛物线 2 8yx 的焦点到双曲线 22 1 124 xy 的渐近线的距离为 第 4 题 2 A 1 B 3 C 3 3 D 3 6 以下正确命题的个数为 命题 存在 0 0 20 x xR 的否定是 不存在 0 0 20 x xR 函数 1 3 1 4 x f xx 的零点在区间 1 1 4 3 内 在中 已知角 则角 C 600 ABC 3 34 22 45 bcB 已知随机变量 服从正态分布 2 2 N 4 0 84P 则 0 P 0 16 A 1B 2C 3D 4 第 卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 7 小题 9 至 13 题为必做题 14 至 15 题为选做题 每小题 5 分 满 分 30 分 9 不等式的解集是 1 3 12 xx 10 若 则展开式中的系数为 用数字作答 1 0 2 3dxxa 5 2 x a x 4 x 11 公差不为零的等差数列的前 n 项和为是的等比中项 则 n a 4 n Sa 37 aa与 8 32S 10 S 12 垂直于直线2610 xy 且与曲线 32 31yxx 相切的直线方程是 13 执行如图的程序框图 则输出的是 请考生在以下两个小题中任选一题作答 两题全答的以第 14 小题计分 14 坐标系与参数方程选做题 极坐标系中 圆上的动点到直线 2 2 cos30 第 13 题 3 的距离的最大值是 cossin70 15 几何证明选讲选做题 如图 AB是圆O的直径 直线CE和圆O相切于点C 于 D 若AD 1 则圆O的面积是 ADCE 30ABC 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 且函数 2 3sin 2cos1 2cos 1 axxbx f xa b 1 求函数的最小正周期和单调减区间 f x 2 求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的 x 值 f x 0 2 17 本小题满分 12 分 中华人民共和国 道路交通安全法 中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次 酒后驾车 和 醉酒驾车 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q 简称血酒含量 单位是毫克 100 毫升 当 20 Q 80 时 为酒后驾车 当Q 80 时 为醉酒驾车 某市公安局交通管理部门于 2012 年 4 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦 查行动 共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者 如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所 得结果画出的频率分布直方图 其中Q 140 的人数计入 120 Q 140 人数之内 1 求此次拦查中醉酒驾车的人数 2 从违法驾车的 60 人中按酒后 驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人 做样本进行研究 再从抽取的 8 人中任 取 3 人 求 3 人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和期望 18 本小题14分 如图所示 平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边 PAD组成 已知AB DC BD 2AD 4 AB 2DC 52 现将 PAD沿AD折起 使点P的射影O恰好落在直线AD上 1 求证 BD 平面PAD B C P D A 第 15 题 第 17 题 图 20 4060 80 100120140 0 0032 0 0042 0 0050 频率 组距 Q 4 P DC A B 2 求平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值 19 本小题 14 分 已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点 O 焦点在轴上 左右焦点分别为 且x 12 F F 2 点在该椭圆上 12 FF5 4 5 3 1 求椭圆 C 的方程 2 设椭圆 C 上的一点在第一象限 且满足 圆的方程P 12 PFPF O 为 求点坐标 并判断直线与圆的位置关系 22 4xy P 2 PFO 3 设点为椭圆的左顶点 是否存在不同于点的定点 对于圆上任意一点 AABOM 都有为常数 若存在 求所有满足条件的点的坐标 若不存在 说明理由 MA MB B 20 本小题 1 分 已知数列满足 为正整数 n a 2 1 1 a 1 1 2 1 2 n nn aan 1 令 求证 数列是等差数列 并求数列的通项公式 n n n ab2 n b n a 2 令 求数列 的前 n 项和 nnnn cccTa n n c 21 1 n C n T 3 比较与的大小 并证明之 n T 12 5 n n 21 本小题满分 14 分 已知函数 a fxxa x R lng xx 1 求函数 F xf xg x 的单调区间 2 若关于x的方程 2 g x xf xe x e为自然对数的底数 只有一个实数根 求 a的值 2012 学年度第一学期高三年级期末教学质量检测 理科数学参考答案 一 选择题 BDDC ABAB 二 填空题 9 10 10 11 60 12 320 xy 1 5 13 2 14 15 4 224 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 且函数 2 3sin 2cos1 2cos 1 axxbx f xa b 1 求函数的最小正周期和单调减区间 f x 2 求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的 x 值 f x 0 2 解 1 1 分 f xa b 1cos2cossin32 2 xxx 4 分xx2cos2sin3 6 2sin 2 x 2sin 2 6 f xx 最小正周期为 5 分 由 3 222 262 kxkkZ 的单调递减区间为 8 分 3 2 2 6 kxk f x 2 63 kkkZ 2 令 2 0 x 6 7 6 2 6 x 7 2 666 txt 10 分 1 sin1 2 t 当 t 即 时 的最大值为 2 11 分 2 6 26 2 xx则 f x 当 t 即 时 的最小值为 1 12 分 6 7 2 6 7 6 2 xx则 f x 17 本小题满分 12 分 中华人民共和国 道路交通安全法 中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次 酒后驾车 和 醉酒驾车 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q 简称血酒含量 单 位是毫克 100 毫升 当 20 Q 80 时 为酒后驾车 当Q 80 时 为醉酒驾车 某市公安局交通管理部门于 2012 年 4 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查 行动 共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动 车者 如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结 果画出的频率分布直方图 其中Q 140 的人数 计入 120 Q 140 人数之内 2 468 100 120 140 0 0032 0 0042 0 0050 频率 组距 Q 第 17 题 图 1 求此次拦查中醉酒驾车的人数 2 从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究 再从抽取的 8 人中任取 3 人 求 3 人中含有醉酒驾车人数X的分布列和期望 解 1 0 0032 0 0043 0 0050 20 0 25 0 25 60 15 所以此次拦查中醉酒驾车的人数 为 15 人 4 分 2 易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人 所以 x 的所有可能取值为 0 1 2 P x 0 3 8 3 6 C C 14 5 P X 1 3 8 1 2 2 6 C CC 28 15 P x 2 3 8 2 2 1 6 C CC 28 3 X 的分布列为 10 分 4 3 28 3 2 28 15 1 14 5 0 XE 12 分 18 本小题14分 如图所示 平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边 PAD组成 已知AB DC BD 2AD 4 AB 2DC 52 现将 PAD沿AD折起 使点P的射影O恰好落在直线AD上 1 求证 BD 平面PAD 2 求平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值 1 证明 由题意知平面PAD 平面ABCD 又BD 2AD 4 AB 52 可得AB2 AD2 BD2 则 BD AD 又AD为平面PAD与平面ABCD的交线 则BD 平面PAD 6分 2 如图建立空间直角坐标 易知 A 1 0 0 B 1 4 0 P 0 0 3 3 4 1 PB 0 4 2 BA 8 分 平面 PDA 的法向量为m 0 1 0 设平面 PAB 的法向量为 zyxn 9 分 由 0 0 BAn PBn 得 042 034 yx zyx 取 3 32 1 2 n 则 19 57 cos nm nm nm 13 分 X012 P 14 5 28 15 28 3 x B C P D A z y O B C P D A P DC A B 所以平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值为 19 57 14 分 19 本小题 1 分 已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点 O 焦点在轴上 左右焦点分别为 且x 12 F F 2 点在该椭圆上 12 FF5 4 5 3 1 求椭圆 C 的方程 2 设椭圆 C 上的一点在第一象限 且满足 圆的方程P 12 PFPF O 为 求点坐标 并判断直线与圆的位置关系 22 4xy P 2 PFO 3 设点为椭圆的左顶点 是否存在不同于点的定点 对于圆上任意一点 都AABOM 有为常数 若存在 求所有满足条件的点的坐标 若不存在 说明理由 MA MB B 解 1 设椭圆的方程为 由题意可得 22 22 1 0 xy ab ab 椭圆C两焦点坐标分别为 1 分 1 5 0 F 2 5 0 F 由点在该椭圆上 4 5 3 2222 44 2 2 5 55 6 33 a 又得 3 分 故椭圆的方程为 4 分3 a 5c 2 954b 22 1 94 xy 2 设点 P 的坐标为 则 0 0 x y xy 22 1 94 xy 由得 即 5 分 12 PFPF 12 0FP F P 2 5 5 0 xxy 22 5xy 由 联立结合解得 即点 P 的坐标为 7 分0 0 xy 3 5 5 4 5 5 x y 3 5 4 5 55 直线的方程为 2 PF22 50 xy 圆的圆心 O 到直线的距离 直线与 O 相切 22 4xy 2 PF 2 5 2 5 d 2 PF 9 分 3 的坐标为 则 假设存在点 对于上任意一点 x y 22 4xy B m nOAM 都有为常数 则 MA MB 222 MBxmyn 222 3 MAxy 常数 恒成立 11 分 22 22 3 xmyn xy 又 x2 y2 4 可得 恒成立 22 62 21340m xnymn 或 不合舍去 13 分 22 30 20 1340 m n mn 4 9 4 3 0 m n 1 3 0 m n 存在满足条件的点 B 它的坐标为 4 0 3 14 分 20 本小题 14 分 已知数列满足 为正整数 n a 2 1 1 a 1 1 2 1 2 n nn aan 1 令 求证 数列是等差数列 并求数列的通项公式 n n n ab2 n b n a 2 令 求数列 的前 n 项和 nnnn cccTa n n c 21 1 n C n T 3 比较与的大小 并证明之 n T 12 5 n n 解 1 由 得 1 1 2 1 2 n nn aa122 1 1 n n n n aa 因 即当时 2 分 n n n ab2 1 1 nn bb2 n1 1 nn bb 又 所以数列是首项和公差均为 1 的等差数列 2 1 1 a12 11 ab n b 3 分 1 1 ndnbbn n n na 2 1 2 由 得 5 分 11 1 2 n nn n can n 23 1111 23 4 1 2222 n n Tn 6 分 n T 2 1 2341 1111 2 3 4 1 2222 n n 两式错位相减得到 231 1 1111133 1 1 2222222 nn n n n Tn n n n T 2 3 3 8 分 3 9 分 122 1223 12 5 2 3 3 12 5 n nn n nn n n T n n n n 于是 确定与的大小关系等价于比较与的大小 由 n T 12 5 n n n 212 n 可猜想当时 23 22 2 1 22 2 1 2 1422 1322 43 3 n221 n n 证明如下 10 分 证法 1 1 当时 由上验算显示成立 3 n 2 假设当时不等式成立 即 12 分kn 221 k k 则当时 1 kn 1 22 22 214221121211 kk kkkkk 所以 当时猜想也成立 综合 1 2 可知 对一切的正整数 都有1 kn3 n 221 n n 综上所述 当时 当时 14 分2 1 n 5 21 n n T n 3 n 5 21 n n T n 证法 2 n n n nnnn n n CCCCC 1210 112 011 2221 nn nnnn CCCCnn 综上所述 当时 当时 2 1 n 5 21 n n T n 3 n 5 21 n n T n 21 本小题满分 14 分 已知函数 a fxxa x R lng xx 1 求函数 F xf xg x