广东外语外贸大学附设外语学校2012年高三数学寒假作业3 理

用心 爱心 专心 1 数学寒假作业 数学理 数学寒假作业 数学理 3 3 一 选择题 一 选择题 1 若条件 条件则 是 的 2 log2px 1 0 4 x q x pq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 条件 2 2 i ii 1 21 1 A A B B C C D D i 2i 2i 2i 2 3 在各项都为正数的等比数列中 首项是 前三项和为 21 则 n a 1 3a 345 aaa 33 72 84 189 4 已知函数上为减函数 则实数的取值范围是 1 lnalnx f x x 在a A B C D 1 0a e 0ae ae ae 5 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成 现从中选出 2 人担任班长 其中至少有 1 名女生 当选的概率是 A B C D 7 3 7 4 7 5 7 6 6 设是方程的解 则属于区间 0 xln4xx 0 x A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 7 若 则 7 7 2 210 7 1 xaxaxaax 2 7531 2 6420 aaaaaaaa A 1 B 0 C 1 D 2 8 一水池有 2 个进水口 1 个出水口 进出水速度如图甲 乙所示 某天 0 点到 6 点 该 水池的蓄水量如图丙所示 至少打开一个水口 给出以下 3 个论断 0 点到 3 点只进水不出水 3 点到 4 点不进水只出水 4 点到 6 点不进水不出水 则一定能确定正确的论断是 用心 爱心 专心 2 A B C D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 9 9 个小题个小题 分必做题和选做题 每小题分必做题和选做题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 必做题 考生必须作答第必做题 考生必须作答第 9 9 至第至第 1313 题 题 9 已知i j为互相垂直的单位向量 a i 2j b i j 且a与b的夹角为锐 角 则实数的取值范围是 10 在直角坐标平面内 由直线和抛物线所围成的平面区域1 0 0 xxy 2 2yx 的面积是 11 在如下程序框图中 输入 则输出的是 0 fxcosx 12 F1 F2是椭圆的左 右两焦点 P 为椭圆的一个顶点 若 PF1F2是等边1 9 2 2 2 y a x 三角形 则a2 13 不等式 的解集为 6 4 x 2 x 22 选做题 从第选做题 从第 1414 1515 两道题中选做一题 两题都答的只计算第一题的得分 两道题中选做一题 两题都答的只计算第一题的得分 14 极坐标方程分别为的两个圆的圆心距为 sincos2 和 15 如图 是半圆的直径 在半圆上 于 ABOCCDAB D 且 设 则 DBAD3 COD 2 tan 2 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 小题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 12 分 已知函数f x sin x sin x cosx a的最大值 6 6 为 1 1 求常数a的值 2 求使f x 0 成立的x的取值集合 3 若 x 0 求函数的值域 否 是 开始 输入f 0 x 0i 1 ii f xfx 结束 1ii 2007 i 输出 f i x A O DB C 用心 爱心 专心 3 17 本题满分 12 分 如图所示 有两个独立的转盘 两个图中三个扇形区域的圆 A B 心角分别为 用这两个转盘进行玩游戏 规则是 依次随机转动两个转60 120 180 盘再随机停下 指针固定不会动 当指针恰好落在分界线时 则这次结果无效 重新开始 记转盘指针对的数为 转盘指针对的数为 设的值为 每转动一次则 Ax Byyx 得到奖励分分 求1 的概率 xy 某人玩 12 次 求他平均可以得到多少奖励分 18 本题满分 14 分 如图 已知正三棱柱 的底面边长是 是侧棱的中点 直线ABC 111 CBA2D 1 CC 与侧面所成的角为 AD 11 BBC C45 求此正三棱柱的侧棱长 求二面角的大小 CBDA 求点到平面的距离 CABD A B C D 1 A 1 B 1 C 1 3 2 A 3 2 1 B B 用心 爱心 专心 4 19 已知数列满足 且 n a 2 1 1 21 aa 2 0 1 1 22 1 3 Nnaa n nn n 求 的值及数列的通项公式 3 a 4 a 5 a 6 a n a 设 求数列的前项和 nnn aab 212 n bn n S 20 本题满分 14 分 已知焦点在x轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 且两条渐近 线与以点 为圆心 1 为半径为圆相切 又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y x对 2 0 A 称 1 求双曲线 C 的方程 用心 爱心 专心 5 2 若 Q 是双曲线 C 上的任一点 F1 F2为双曲线 C 的左 右两个焦点 从 F1引 F1QF2的 平分线的垂线 垂足为 N 试求点 N 的轨迹方程 3 设直线 y mx 1 与双曲线 C 的左支交于 A B 两点 另一直线 L 经过 M 2 0 及 AB 的中点 求直线 L 在 y 轴上的截距 b 的取值范围 21 本题满分分 已知函数和点 过点作曲线14 0 t x t xxf 0 1 PP 的两条切线 切点分别为 xfy PMPNMN 设 试求函数的表达式 tgMN tg 是否存在 使得 与三点共线 若存在 求出 的值 若不存在 请tMN 1 0 At 说明理由 在 的条件下 若对任意的正整数 在区间内总存在个实数n 64 2 n n 1 m 使得不等式成立 求 m aaa 21 1 m a 121 mm agagagag 的最大值 m 用心 爱心 专心 6 数学数学 理科 答案及评分标准 理科 答案及评分标准 一 选择题 本大题每小题一 选择题 本大题每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 分 12345678 ACCDCCBA 二 填空题 本大题每小题二 填空题 本大题每小题 5 5 分分 第第 1212 题前空题前空 2 2 分 后空分 后空 3 3 分分 满分 满分 3030 分 分 9 10 11 sinx 12 12 2 1 2 2 5 3 13 x x6 14 15 2 51 3 三 解答题三 解答题 16 本小题满分 12 分 解 1 f x 2sin x a 6 3 3 分分 由 2 a 1 得a 1 4 4 分分 2 由f x 0 得 sin x 5 6 2 1 分 则 7 分Zkkxk 2 6 5 6 2 6 x 2k x 2k k Z 8 8 分分 3 2 3 x 0 9 分 6 7 6 6 x 则 sin x 1 11 2 1 6 分 故值域 y 2 1 12 12 分分 17 本小题满分 12 分 解 由几何概率模型可知 P 1 P 2 P 3 x 6 1 x 3 1 x 2 1 P 1 P 2 P 3 2 分y 3 1 y 2 1 y 6 1 则 P 1 P 2 P 3 xx 6 1 yyy 2 1 6 1 3 2 所以 P 1 P 1 6 分 y 9 1 由条件可知的取值为 2 3 4 5 6 则的分布列为 23456 P 18 1 36 7 36 13 36 11 12 1 10 分 他平均一次得到的钱即为的期望值 6 25 12 1 6 36 11 5 36 13 4 36 7 3 18 1 2 E 所以给他玩 12 次 平均可以得到分 5012 E 12 分 18 本小题满分 14 分 解 设正三棱柱 的侧棱长为 取中点 连 ABC 111 CBAxBCEAE 是正三角形 ABC AEBC 又底面侧面 且交线为 ABC 11 BBC CBC 侧面 AE 11 BBC C 连 则直线与侧面所成的角为 2 分EDAD 11 BBC C45ADE 在中 解得 3 分AEDRt 2 3 tan45 1 4 AE ED x 2 2x 此正三棱柱的侧棱长为 4 分 2 2 注 也可用向量法求侧棱长 解法 1 过作于 连 EEFBD FAF 侧面 AE 11 CCBB AFBD 为二面角的平面角 6 分AFE CBDA 在中 又BEFRt sinEFBEEBF 22 23 1 sin 3 2 2 CD BEEBF BD 3 3 EF 又3 AE A B C D 1 A 1 B 1 C E F G H I 用心 爱心 专心 8 在中 8 分 AEFRt tan3 AE AFE EF 故二面角的大小为 9 分CBDA arctan3 解法 2 向量法 见后 解法 1 由 可知 平面 平面平面 且交线为 BDAEF AEF ABD 过作于 则平面 AF EEGAF GEG ABD 10 分 在中 12 分AEFRt 22 3 3 30 3 10 3 3 3 AEEF EG AF 为中点 点到平面的距离为 14 分 EBC CABD 2 30 2 10 EG 解法 2 思路 取中点 连和 由 易得平面ABHCHDH CACB DADB 平面 且交线为 过点作于 则的长为点到平面ABD CHDDHCCIDH ICIC 的距离 ABD 解法 3 思路 等体积变换 由可求 C ABDA BCD VV 解法 4 向量法 见后 题 的向量解法 解法 2 如图 建立空间直角坐标系 xyzo 则 0 0 3 0 1 0 0 1 0 2 1 0 ABCD 设为平面的法向量 1 nx y z ABD 由 得 0 0 2 1 ADn ABn 3 230 yz xyz 取 6 分 1 6 3 1 n 又平面的一个法向量 7 分BCD 2 0 0 1 n 8 分 10 10 1 3 6 1 1 0 0 1 3 6 cos 222 21 21 21 nn nn nn 结合图形可知 二面角的大小为 9 分CBDA 10 arccos 10 解法 4 由 解法 2 10 分 1 6 3 1 n 0 1 3 CA A B C D 1 A 1 B 1 Cx y z o 用心 爱心 专心 9 点到平面的距离 14 分 CABD 1 1 n nCA d 222 1 3 6 1 3 6 3 1 0 10 302 19 本小题满分 14 分 解 经计算 3 分3 3 a 4 1 4 a5 5 a 8 1 6 a 当为奇数时 即数列的奇数项成等差数列 n2 2 nn aa n a 5 分122 1 112 nnaa n 当为偶数 即数列的偶数项成等比数列 n nn aa 2 1 2 n a 7 分 nn n aa 2 1 2 1 1 22 因此 数列的通项公式为 8 分 n a 2 1 2 为偶数 为奇数 n nn a n n 9 分 n n nb 2 1 12 1 nn n nnS 2 1 12 2 1 32 2 1 5 2 1 3 2 1 1 132 2 10 分 1432 2 1 12 2 1 32 2 1 5 2 1 3 2 1 1 2 1 nn n nnS 1 2 两式相减 得 132 2 1 12 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 nn n nS 12 分 1 1 2 1 12 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n 1 2 1 32 2 3 n n 14 分 n n nS 2 1 32 3 20 本小题满分 14 分 解 1 设双曲线 C 的渐近线方程为 y kx 即 kx y 0 该直线与圆 相切 1 2 22 yx 双曲线 C 的两条渐近线方程为 2 分xy 用心 爱心 专心 10 故设双曲线 C 的方程为 又 双曲线 C 的一个焦点为1 2 2 2 2 a y a x 0 2 双曲线 C 的方程为 4 分1 22 22 aa1 22 yx 2 若 Q 在双曲线的右支上 则延长 QF2到 T 使 QT OF1 若 Q 在双曲线的左支上 则在 QF2上取一点 T 使 QT QF1 根据双曲线的定义 TF2 2 所以点 T 在以 F2为圆心 2 为半径的圆上 即点 T 的 0 2 轨迹 方程是 6 分 0 4 2 22 xyx 由于点 N 是线段 F1T 的中点 设 N x y T TT yx 则 yy xx y y x x T T T T 2 22 2 2 2 即 代入 并整理得点 N 的轨迹方程为 8 分 2 2 1 22 xyx 3 由 022 1 1 1 22 22 mxxm yx mxy 得 令22 1 22 mxxmxf 直线与双曲线左支交于两点 等价于方程 上有两个不等实根 0 0 在xf 因此 10 分21 0 1 2 0 1 2 0 2 2 m m m m 解得 又 AB 中点为 1 1 1 22 mm m 直线 L 的方程为 12 分 2 22 1 2 x mm y 令x 0 得 8 17 4 1 2 2 22 2 2 2 m mm b 2 1 m 1 22 8 17 4 1 2 2 m 故 b 的取值范围是 14 分 2 22 用心 爱心 专心 11 21 本小题满分 14 分 解 设 两点的横坐标分别为 MN 1 x 2 x 切线的方程为 2 1 x t xf PM 1 1 2 1 1 1 xx x t x t xy 又切线过点 有 PM 0 1 P 1 1 0 1 2 1 1 1 x x t x t x 即 1 2 分02 1 2 1 ttxx 同理 由切线也过点 得 2 PN 0 1 P02 2 2 2 ttxx 由 1 2 可得是方程的两根 21 x x02 2 ttxx 4 分 2 21 21 txx txx 2 2 2 1 1 2 21 x t x x t xxxMN 1 1 2 21 2 21 xx t xx 1 1 4 2 21 21 2 21 xx t xxxx 把 式代入 得 ttMN2020 2 因此 函数的表达式为 5 分 tg 0 2020 2 ttttg 当点 与共线时 MNA NAMA kk 0 1 1 1 1 x x t x 0 1 2 2 2 x x t x 即 化简 得 2 1 1 2 1 x xtx 2 2 2 2 2 x x