2011高考数学二轮复习教案(15)圆锥曲线方程 新人教A版

用心 爱心 专心1 1515 圆锥曲线与方程 圆锥曲线与方程 专题要点专题要点 1 考查圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等知识及基本技能 基本方法 常以选择题与填空题 的形式出现 2 直线与二次曲线的位置关系 圆锥曲线的综合问题 常以压轴题的形式出现 这类问题视角新颖 常见 的性质 基本概念 基础知识等被附以新的背景 以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度 3 在考查基础知识的基础上 注意对数学思想与方法的考查 注重对数学能力的考查 强调探究性 综 合性 应用性 注重试题的层次性 坚持多角度 多层次的考查 合理调控综合程度 4 对称问题 轨迹问题 多变量的范围问题 位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题 但从最近 几年的高考试题本看 难度有所降低 有逐步趋向稳定的趋势 考纲要求考纲要求 1 圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 了解圆锥曲线的简单应用 理解数形结合的思想 2 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 知识纵横知识纵横 用心 爱心 专心2 教法指教法指 引引 高 考试题 中 解 析几何 试题的 分值一 般占 20 左 右 而 圆锥曲 线的内 容在试 卷中所 占比例 又一直 稳定在 14 左 右 选 择 填 空 解 答三种题型均有 选择 填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识 基本技能和基本方 法的运用 以圆锥曲线为载体的解答题设计中 重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论 它们是热中之热 解答题的题型设计主要有三类 1 圆锥曲线的有关元素计算 关系证明或范围的确定 2 涉及与圆锥曲线平移与对称变换 最值或位置关系的问题 3 求平面曲线 整体或部分 的方程或轨迹 近年来 高考中解析几何综合题的难度有所下降 随着高考的逐步完善 结合上述考题特点分析 预 测今后高考的命题趋势是 将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查 加强对于分析和解决问题能力 的考查 因此 教学中要注重对圆锥曲线定义 性质 以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用 高考第二阶段的复习 应在继续作好知识结构调整的同时 抓好数学基本思想 数学基本方法的提炼 进行专题复习 做好 五个转化 即从单一到综合 从分割到整体 从记忆到应用 从慢速摸仿到快速 抛物线 直线与圆锥曲线 曲线与方程 定义 定义 定义 位置关系 曲线的方程 标准方程 标准方程 标准方程 几何性质 几何性质 几何性质 应用 应用 应用 相交 相切 相离 圆锥曲线的弦 求曲线 轨迹 的方 程 画方程的曲线 求两曲线的公共点 圆锥曲线与方程 椭圆 双曲线 用心 爱心 专心3 灵活 从纵向知识到横向方法 这一复习过程 要充分体现分类指导 分类要求的原则 内容的选取一定 要有明确的目的性和针对性 要充分发挥教师的创造性 更要充分考虑学生的实际 要密切注意学生的信 息反馈 防止过分拔高 加重负担 因此 在圆锥曲线这一章的复习中 设计了分类复习 分层复习 层 层递进的复习步骤 典例精析典例精析 1 1 圆锥曲线概念 性质类问题圆锥曲线概念 性质类问题 例 1 2009 广东 11 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且G上一点到 G的两个焦点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 例 2 2009 江苏13 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆 的交点M恰为线段OT的中点 则该椭圆的离心率为 解析 考查椭圆的基本性质 如顶点 焦点坐标 离 心率的计算等 以及直线的方程 直线 12 AB的方程为 1 xy ab 直线 1 B F的方程为 1 xy cb 二者联立解得 2 acb ac T acac 则 2 acb ac M acac 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 22 222 22 1 1030 1030 4 cac cacaee acac 解得 2 75e 例 3 2009 辽宁 16 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的动点 则 PFPA 的最小值为 答案 9 解析 注意到 P 点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为 F 4 0 用心 爱心 专心4 于是由双 曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当 A P F 三点共线时等号成立 点评 在运用双曲线的定义时 应特别注意定义 中的条件 差的绝对值 弄清是整条双曲线 还 是双曲线的一支 例例 4 4 2009 福建 13 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线 于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则p 解析解析 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 根据pxxAB 21 得284 pp 2 2 与圆锥曲线有关的轨迹类问题与圆锥曲线有关的轨迹类问题 解析几何主要研究两大类问题 一是根据题设条件 求出表示平面曲线的方程 二是通过方程 研究 平面曲线的性质 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程 其实质就是利用题设中的几何条件 用 坐标化 将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生 对圆锥曲线的定义 性质等基础知识的掌握 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能 力 因此这类问题成为高考命题的热点 也是同学们的一大难点 解答轨迹问题时 若能充分挖掘几何关 系 则往往可以简化解题过程 例 5 1 一动圆与圆 22 650 xyx 外切 同时与圆 22 6910 xyx 内切 求动圆圆心 M的轨迹方程 并说明它是什么样的曲线 2 双曲线 2 2 1 9 x y 有动点P 12 F F是曲线的两个焦点 求 12 PFF 的重心M的轨迹方程 解析 1 法一 设动圆圆心为 M x y 半径为R 设已 知圆的圆心分别为 1 O 2 O 将圆方程分别配方得 22 3 4xy 22 3 100 xy 当MA与 1 OA相切时 有 1 2O MR 当MA与 2 OA相切时 有 2 10O MR 将 两式的两边分别相加 得 21 12O MO M 即 2222 3 3 12xyxy 移项再两边分别平方得 x y 1 O 2 O P 用心 爱心 专心5 22 2 3 12xyx 两边再平方得 22 341080 xy 整理得 22 1 3627 xy 所以 动圆圆心的轨迹方程是 22 1 3627 xy 轨迹是椭圆 法二 由解法一可得方程 2222 3 3 12xyxy 由以上方程知 动圆圆心 M x y到点 1 3 0 O 和 2 3 0 O的距离和是常数12 所以点M的轨迹是 焦点为 1 3 0 O 2 3 0 O 长轴长等于12的椭圆 并且椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴上 26c 212a 3c 6a 2 36927b 圆心轨迹方程为 22 1 3627 xy 2 如图 设 P M点坐标各为 11 P x yM x y 在已知双曲线方程中3 1ab 9 110c 已知双曲线两焦点为 12 10 0 10 0 FF 12 PFF 存在 1 0y 由三角形重心坐标公式有 1 1 10 10 3 00 3 x x y y 即 1 1 3 3 xx yy 1 0y 0y 已知点P在双曲线上 将上面结果代入已知曲线方程 有 2 2 3 3 1 0 9 x yy 即所求重心M的轨迹方程为 22 91 0 xyy 点评 定义法求轨迹方程的一般方法 步骤 转移法 求轨迹方程的方法 例 6 2009 广东卷 理 已知曲线 2 C yx 与直线 20l xy 交于两点 AA A xy和 BB B xy 且 AB xx 记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域 含边界 为D 设点 P s t是L上的任一点 且点P与点A和点B均不重合 1 若点Q是线段AB的中点 试求线段PQ的中点M的轨迹方程 2 若曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与D有公共点 试求a的最小值 解 1 联立 2 xy 与2 xy得2 1 BA xx 则AB中点 2 5 2 1 Q 设线段PQ的中点M坐标 用心 爱心 专心6 为 yx 则 2 2 5 2 2 1 t y s x 即 2 5 2 2 1 2 ytxs 又点P在曲线C上 2 2 1 2 2 5 2 xy化简可得 8 11 2 xxy 又点P是L上的任一点 且不与点A和点B重合 则 2 2 1 21 x 即 4 5 4 1 x 中点M的轨迹方程为 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 2 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 即圆E 25 49 2 22 yax 其圆心坐标为 2 aE 半径 5 7 r 由图可知 当20 a时 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与点D有公共点 当0 a时 要使曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与点D有公共点 只需圆心E到直线 20l xy 的距离 5 7 2 2 22 aa d 得0 5 27 a 则a的最小值为 5 27 3 3 直线和圆锥曲线关系类问题直线和圆锥曲线关系类问题 直线与圆锥曲线的位置关系 是高考考查的重中之重 在高考中多以高档题 压轴题出现 主要涉及 弦长 弦中点 对称 参量的取值范围 求曲线方程等问题 解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用 解题的主要规律可以概括为 联立方程求交点 韦达定理求弦长 根的分布找范围 曲线定义不能忘 突出考查了数形结合 分类讨论 函数与方程 等价转化等数学思想方法 要求考生分析问题和解决问题 的能力 计算能力较高 起到了拉开考生 档次 有利于选拔的功能 例例 7 7 2009 全国卷 9 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两点 F为 C的焦点 若 2 FAFB 则k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析一解析一 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点 P 2 0 如图过 AB 分 别作 AMl 于 x y o xA xB D 用心 爱心 专心7 M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点 B 为 AP 的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点B的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选 D 解析二解析二 设 2211 yxByxA xy xky 8 2 2 04 84 2222 kxkxk 得4 21 xx 根据焦半径公式 21 2xFBxFA 2 2 FAFB 得22 21 xx 求得 22 1 B 将其代入 20yk xk 中得 3 22 k 故选 D 例 8 2009 天津卷理 以知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的两个焦点分别为 12 0 0 0 FcF cc 和 过 点 2 0 a E c 的直线与椭圆相交与 A B两点 且 1212 2F AF B F AF B 1 求椭圆的离心率 2 求直线 AB 的斜率 3 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称 直线 2 F B上有一点 0 H m n m 在 1 AFC的外接圆上 求 n m 的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 圆的方程等基础知识 考查用代数方法研究圆 锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算能力和推理能力 I 解 由 1 FA 2 F B且 12 FA2 F B 得 22 11 EFF B1 EFFA2 从而 2 2 a 1 a2 c c c c 整理 得 22 3ac 故离心率 3 3 c e a II 解 由 I 得 2222 2bacc 所以椭圆的方程可写为 222 236xyc 设直线 AB 的方程为 2 a yk x c 即 3 yk xc 由已知设 1122 A x yB xy 则它们的坐标满足方程组 222 3 236 yk xc xyc 用心 爱心 专心8 消去 y 整理 得 222222 23 182760kxk cxk cc 依题意 22 33 48 1 3 0 33 ckk 得 而 2 12 2 18 23 k c xx k 22 12 2 276 23 c k cc x x k 由题设知 点 B 为线段 AE 的中点 所以 12 32xcx 联立 解得 2 1 2 92 23 k cc x k 2 2 2 92 23 k cc x k 将 12 x x代入 中 解得 2 3 k III 解法一 由 II 可知 12 3 0 2 c xx 当 2 3 k 时 得 0 2 Ac 由已知得 0 2 Cc 线段 1 AF的垂直平分线 l 的方程为 22 222 c ycx 直线 l 与 x 轴 的交点 0 2 c 是 1 AFC 外接圆的圆心 因此外接圆的方程为 22 2 x 22 cc yc 直线 2 F B的方程为2 yxc 于是点 H m n 的坐标满足方程组 2 2 2 9 24 2 cc mn nmc 由0 m 解得 5 3 2 2 3 mc nc 故 2 2 5 n