2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习+详细答案）大纲人教版

提能拔高限时训练提能拔高限时训练 6161 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题 一 选择题 1 等比数列 an 的公比为 q 则 q 1 是 对于任意自然数 n 都有 an 1 an 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析解析 当 a1 0 时 条件与结论均不能由一方推出另一方 答案答案 D 2 若 a b c 是互不相等的实数 且 a b c 成等差数列 c a b 成等比数列 则 a b c 等于 A 2 1 4 B 1 2 3 C 2 3 4 D 1 1 3 解析解析 由已知得 2 2 bca cab 由 消 b 得 2a2 ac c2 0 a b c c 2a 代入 得ab 2 1 a b c 2 1 4 答案答案 A 3 互不相等的三个正数 x1 x2 x3成等比数列 且点 P1 logax1 logby1 P2 logax2 logby2 P3 logax3 logby3 三点共线 a 0 且 a 1 b 0 且 b 1 则 y1 y2 y3 A 成等差数列 但不成等比数列 B 成等比数列而不成等差数列 C 成等比数列也可能成等差数列 D 既不成等比数列又不成等差数列 解析解析 P1 P2 P3三点共线 3121 PPPP与共线 logax2 logax1 logby3 logby1 logax3 logax1 logby2 logby1 0 即0loglogloglog 1 2 1 3 1 3 1 2 y y x x y y x x baba x1 x2 x3成等比数列 2 1 3 1 2 q x x q x x 0 q 1 q 为公比 0loglog2loglog 1 2 1 3 y y q y y q baba logaq 0 2 1 2 1 3 loglog y y y y bb 即 2 1 2 1 3 y y y y y22 y1 y3 y1 y2 y3成等比数列 当 y1 y2 y3 0 时也有 y22 y1y3 答案答案 C 4 已知 9 a1 a2 1 四个实数成等差数列 9 b1 b2 b3 1 五个实数成等比数列 则 b2 a2 a1 等 于 A 8 B 8 C 8 D 8 9 解析解析 公差 d 3 1 1 9 3 8 a2 a1 d 3 8 b22 1 9 9 又有 b2 9 q2 0 b2 3 从而 b2 a2 a1 3 3 8 8 答案答案 B 5 设等差数列 an 的公差 d 不为 0 a1 9d 若 ak是 a1与 a2k的等比中项 则 k 等于 A 2 B 4 C 6 D 8 解析解析 由题意得 ak2 a1 a2k 即 9d k 1 d 2 9d 9d 2k 1 d 得 k 4 或 k 1 舍去 答案答案 B 6 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 已知 S6 36 Sn 324 Sn 6 144 则 n 等于 A 15 B 16 C 17 D 18 解析解析 Sn 324 Sn 6 144 Sn Sn 6 an 5 an 4 an 180 又 S6 a1 a2 a6 36 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 36 180 216 a1 an 36 由32418 2 1 n naa S n n 有 n 18 答案答案 D 7 已知集合 An x 2n x 2n 1 且 x 7m 1 m n N 则 A6中各元素之和为 A 792 B 890 C 891 D 990 解析解析 由 A6得 64 x 128 则有 64 7m 1 128 得 9 m 18 易知 A6中有 9 个元素且构成等 差数列 首项为 71 第 9 项为 127 从而所求元素之和为8919 2 12771 答案答案 C 8 数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 的第 1 000 项等于 A 42 B 45 C 48 D 51 解析解析 将数列分段 第 1 段 1 个数 第 2 段 2 个数 第 n 段 n 个数 设 a1 000 k 则 a1 000在第 k 个数段 由于第 k 个数段共有 k 个数 则由题意 k 应满足 1 2 k 1 1 000 1 2 k 解得 k 45 答案答案 B 9 下列命题中正确的是 A 若数列 an 的前 n 项和是 Sn n2 2n 1 则 an 为等差数列 B 若数列 an 的前 n 项和是 Sn 3n c 则 c 1 是 an 为等比数列的充要条件 C 常数列既是等差数列又是等比数列 D 等比数列 an 为递增数列的充要条件是公比 q 1 解析解析 A 项不正确 因为 2 12 1 2 nn n an 从第二项起成等差数列 而第一项不适合 C 项不正确 因为零数列是等差数列而不是等比数列 D 项不正确 因为当 a1 0 q 1 时 数列 an 是递减的 答案答案 B 10 一套共 7 册的书计划每两年出一册 若出完全部各册书公元年代之和为 13 958 则出齐这 套书的年份是 A 1994 B 1996 C 1998 D 2000 解析解析 设出齐这套书的年份是 n 则从出第一套书到出齐这套书的年份成一等差数列 an a1 n 12 d 2 S7 13 958 139582 2 67 12 7 n n 2 000 答案答案 D 二 填空题 11 数列 an 是等比数列 下列四个命题 an2 a2n 是等比数列 lnan 是等差数列 n a 1 an 是等比数列 kan an k k 0 是等比数列 正确的命题是 解析解析 an必须是正数才有意义 an k 在公比 q 为 1 时才成立 答案答案 12 已知 a b c 成等比数列 如果 a x b 和 b y c 都成等差数列 则 y c x a 解析解析 b aq c aq2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 qaqcbyqabax 2 1 4 1 1 2 1 1 2 1 22 222 qqa qqaqqa xy cxay y c x a 答案答案 2 13 已知 an 是等差数列 a4 a6 6 其前 5 项和 S5 10 则其公差 d 解析解析 由 a4 a6 6 得 a5 3 又10 2 5 51 5 aa S a1 1 4d a5 a1 2 2 1 d 答案答案 2 1 14 对于大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如图方式的 分裂 仿此 52的 分裂 中最大的数是 若 m3的 分裂 中最小的数是 211 则 m 的值为 解析解析 52 1 3 5 7 9 52的 分裂 中最大的数是 9 m3 211 211 2 211 2 m 1 211m m m 1 m2 m 210 0 m 15 或 14 舍去 m 15 答案答案 9 15 三 解答题 15 数列 an 中 a1 2 an 1 an cn c 是常数 n 1 2 3 且 a1 a2 a3成公比不为 1 的等比 数列 1 求 c 的值 2 求 an 的通项公式 解解 1 a1 2 a2 2 c a3 2 3c 因为 a1 a2 a3成等比数列 所以 2 c 2 2 2 3c 解得 c 0 或 c 2 当 c 0 时 a1 a2 a3 不符合题意舍去 故 c 2 2 当 n 2 时 由于 a2 a1 c a3 a2 2c an an 1 n 1 c 所以 an a1 1 2 3 n 1 c c nn 2 1 又 a1 2 c 2 故 an 2 n n 1 n2 n 2 n 2 3 当 n 1 时 上式也成立 所以 an n2 n 2 n 1 2 16 2009 河南南阳高三第一学期期末测试 理 22 数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn n2 2n 数 列 bn 中 bn N b1 1 bn是 an 中的第 bn 1项 n 2 1 求 an的通项公式 2 证明存在 t 使 bn t 为等比数列 3 证明 bn 1 2bn 2 111 21 n bbb 解解 1 当 n 1 时 S1 a1 1 2 3 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 2n n 1 2 2 n 1 2n 1 综上 知 an 2n 1 n N 2 证明 bn abn 1 2bn 1 1 bn 1 2 bn 1 1 存在常数 t 1 使得 bn 1 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 3 证法一证法一 由 2 知 bn 2 2n 1 bn 2n 1 bn 1 2bn 2n 1 1 2 2n 2 1 0 bn 1 2bn 记 n n bbb T 111 21 则 n n bbb T 2 1 2 1 2 1 2 1 21 nnn nn bbbbbbbb TT 2 1 2 11 2 11 2 11 1 2 1 123121 又 bn 0 由 bn 1 2bn 知 nn bb2 11 1 故2 2 22 2 11 2 1 11 n n n n bb T bb T 证法二证法二 将 bn 2n 1 代入 Tn并利用 2n 1 2n 1 n 2 即 1 2 1 12 1 nn n 2 当 n 2 时 12 1 12 1 12 1 12 1111 321 21 n n n bbb T 2 2 1 11 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 11 12 nn n 当 n 1 时 Tn 1 2 综上 Tn 2 教学参考例题教学参考例题 志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书 例 1 已知 an 是等比数列 a1 2 a3 18 bn 是等差数列 b1 2 b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 20 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前 n 项和 Sn的公式 3 设 Pn b1 b4 b7 b3n 2 Qn b10 b12 b14 b2n 8 其中 n 1 2 试比较 Pn与 Qn的大 小 并证明你的结论 解解 1 设 an 的公比为 q 由 a3 a1q2 得9 1 32 a a q q 3 当 q 3 时 a1 a2 a3 2 6 18 14 20 这与 a1 a2 a3 20 矛盾 故舍去 当 q 3 时 a1 a2 a3 2 6 18 26 20 故符合题意 设数列 bn 的公差为 d 由 b1 b2 b3 b4 26 得26 2 34 4 1 db 又 b1 2 解得 d 3 所以 bn 3n 1 2 nn bbn S n n 2 1 2 3 2 21 3 当 n 20 时 Pn Qn 当 n 19 时 Pn Qn 当 n 18 时 Pn Qn 证明如下 b1 b4 b7 b3n 2组成以 3d 为公差的等差数列 所以nnd nn nbPn 2 5 2 9 3 2 1 2 1 b10 b12 b14 b2n 8组成以 2d 为公差的等差数列 b10 29 所以nnd nn nbQn2632 2 1 2 10 所以 19 2 3 263 2 5 2 9 22 nnnnnnQP nn 所以对于正整数 n 当 n 20 时 Pn Qn 当 n 19 时 Pn Qn 当 n 18 时 Pn Qn 例 2 在公差为 d d 0 的等差数列 an 和公比为 q 的等比数列 bn 中 已知 a1 b1 1 a2 b2 a8 b3 1 求 d q 的值 2 是否存在常数 a b 使