2011年高考数学二轮考点专题突破 直线与圆锥曲线的位置关系

第三讲第三讲 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 一 选择题 1 已知以 F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线 x y 4 0 有且仅有一个交点 3 则椭圆的长轴长为 A 3 B 2 C 2 D 4 2672 解析 设椭圆方程为 1 x2 a2 y2 a2 4 将 x y 4 代入整理得 3 4 a2 3 y2 8 a2 4 y 16 a2 a2 4 0 3 由 0 可求 a 则 2a 2 77 答案 C 2 2009 山东 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax a 0 的焦点 F 且和 y 轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4x B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 y2 ax 的焦点坐标为 过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y 2 a 4 0 x a 4 令 x 0 得 y 4 a2 64 a 8 a 2 1 2 a 4 a 2 答案 B 3 已知抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 准线与 x 轴的交点为 K 点 A 在 C 上且 AK AF 则 AFK 的面积为 2 A 4 B 8 C 16 D 32 解析 抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 2 0 准线为 x 2 K 2 0 设 A x0 y0 过 A 点向准线作垂线 AB 则 B 2 y0 AK AF 2 又 AF AB x0 2 x0 2 由 BK2 AK2 AB2 得 y x0 2 2 2 0 即 8x0 x0 2 2 解得 A 2 4 AFK 的面积为 KF y0 4 4 8 故选 B 1 2 1 2 答案 B A 1 B C D 2 23 解析 由 e 得 a 2b a c b c a 1 b2 a2 3 2 2 3 c 3 由Error Error 得 3 12k2 y2 6cky k2c2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 2ck 1 4k2 y1y2 k2c2 3 12k2 由 3得 y1 3y2 AF FB 联立 得 k 2 答案 B 5 2010 安徽蚌埠 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点 则 k 的取值范围是 A B 15 3 15 3 0 15 3 C D 15 3 0 15 3 1 解析 由Error Error 得 1 k2 x2 4kx 10 0 Error Error 直线与双曲线右支有两个不同交点 解得 k0 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则 p 解析 设直线 AB 的方程为 y x A x1 y1 B x2 y2 p 2 把 y x 代入 y2 2px 整理得 2 2px p 2 x p 2 x2 3px 0 p2 4 则 x1 x2 3p AB x1 x2 p 4p 由已知条件 4p 8 p 2 答案 2 解析 由Error Error 消去y 得 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 x1x2 2a2 a2 b2 a2 1 b2 a2 b2 y1 1 x1 y2 1 x2 x1x2 y1y2 0 x1x2 1 x1 1 x2 0 OP OQ 2x1x2 x1 x2 1 0 1 0 2a2 1 b2 a2 b2 2a2 a2 b2 a2 b2 2a2b2 又 a b 0 2 1 a2 1 b2 答案 2 答案 2 三 解答题 10 在平面直角坐标系 xOy 中 经过点 0 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 y2 1 有 2 x2 2 两个不同的交点 P 和 Q 1 求 k 的取值范围 2 设椭圆与 x 轴正半轴 y 轴正半轴的交点分别为 A B 是否存在常数 k 使得向 量 与共线 如果存在 求 k 值 如果不存在 请说明理由 OP OQ AB 解 1 由已知条件知直线 l 的方程为 y kx 2 代入椭圆方程得 kx 2 1 x2 22 整理得x2 2kx 1 0 1 2 k2 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k2 4 4k2 2 0 1 2 k2 解得 k 2 2 2 2 即 k 的取值范围为 2 2 2 2 2 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 OP OQ 由方程 得 x1 x2 4 2k 1 2k2 又 y1 y2 k x1 x2 2 2 而 A 0 B 0 1 1 2 AB 2 所以 与共线等价于 x1 x2 y1 y2 OP OQ AB 2 将 代入上式 解得 k 2 2 由 1 知 k 故没有符合题意的常数 k 2 2 2 2 当 k 0时 可设 l 的方程 y kx m k 0 联立方程组 Error Error 消去 y 整理得 1 3k2 x2 6kmx 3 m2 1 0 直线 l 和椭圆 C 有两个不同的交点 则 36k2m2 12 1 3k2 m2 1 0 即 1 3k2 m2 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2是方程 1 3k2 x2 6kmx 3 m2 1 0 的两根 x1 x2 x1x2 6km 1 3k2 3 m2 1 1 3k2 则 PQ 中点 N x0 y0 的坐标为 x0 y0 kx0 m x1 x2 2 3km 1 3k2 m 1 3k2 即 N 3km 1 3k2 m 1 3k2 又 k kAN 1 AP AQ AN PQ 即 k 1 m 1 3k2 1 3km 1 3k2 m 代入 1 3k2 m2 0 1 3k2 2 得 1 3k2 2 0 k 0 k2 1 1 3k2 2 k 1 0 0 1 综合 得 k 的取值范围是 1 1 1 若 k 2 求离心率 e 的取值范围 6 2 若 k 2 并且弦 AB 的中点到右准线的距离为 求椭圆的方程 6 200 33 解 1 直线 l 的方程为 y k x c 则点 M 0 ck 点B分的比 2 MF xB c yB 2 3 kc 3 1 4c2 9a2 c2k2 9b2 k2 9b2 c2 1 4c2 9a2 9 a2 c2 c2 4 a2 c2 a2 4e2 13 9 e2 k2 24 4e4 37e2 9 0 解之 e2 1 也即 e 1 1 4 1 2 2 k 2 e 6 1 2 a 2c b c 3 椭圆方程为 1 将直线 y 2 x c 代入椭圆方程得 x2 4c2