2011高考数学萃取精华30套（2）

1 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 2 2 1 1 杭州二模 杭州二模 21 本小题满分 14 分 设双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 a 0 b 0 的右顶点 为 A P 是双曲线上异于顶点的一个动点 从 A 引双 曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 OP 2 OQ OR O 为坐标原点 2 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实 虚轴围成的矩形面积 求双曲线离心率的取值范围 解 1 设 OP y k x 又条件可设 AR y a b x a 解得 OR bak ab bak kab 同理可得 OQ bak ab bak kab OQ OR bak ab bak ab bak kab bak kab bka k1 ba 222 222 4 分 设 OP m n 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2 222 22 kab ba n2 222 222 kab bak OP 2 m2 n2 222 22 kab ba 222 222 kab bak 222 222 kab k1 ba 点 P 在双曲线上 b2 a2k2 0 无论 P 点在什么位置 总有 OP 2 OQ OR 4 分 2 由条件得 222 222 kab k1 ba 4ab 2 分 即 k2 2 2 a4ab abb4 0 4b a 得 e 4 17 2 分 22 本小题满分 12 分 已知常数 a 0 n 为正整数 f n x x n x a n x 0 是关于 x 的 函数 1 判定函数 f n x 的单调性 并证明你的结论 2 2 对任意 n a 证明 f n 1 n 1 0 x 0 fn x a 0 时 fn x xn x a n是关于 x 的减函数 当 n a 时 有 n 1 n n 1 a n n n n a n 2 分 又 f n 1 x n 1 xn x a n f n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 a n n f n 1 n 1 u v 所以 p x 不满足题设条件 2 分三种情况讨论 10 若 u v 1 0 则 g u g v 1 u 1 v u v 满足 题设条件 20 若 u v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v v u 满足 题设条件 30 若 u 1 0 v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v u v v u v u u v 满足题设条件 40 若 u 0 1 v 1 0 同理可证满足题设条件 综合上述得 g x 满足条件 22 本小题满分 14 分 3 已知点 P t y 在函数 f x 1x x x 1 的图象上 且有 t2 c2at 4c2 0 c 0 1 求证 ac 4 2 求证 在 1 上 f x 单调递增 3 仅理科做仅理科做 求证 f a f c 1 证 1 t R t 1 c2a 2 16c2 c4a2 16c2 0 c 0 c2a2 16 ac 4 2 由 f x 1 1x 1 法 1 设 1 x1 x2 则 f x2 f x1 1 1x 1 2 1 1x 1 1 1x 1x xx 12 21 1 x1 x2 x1 x2 0 x2 1 0 f x2 f x1 0 即 f x2 0 得 x 1 x 1 时 f x 单调递增 3 仅理科做仅理科做 f x 在 x 1 时单调递增 c a 4 0 f c f a 4 1 a 4 a 4 4 a 4 f a f c 1 a a 4 a 4 4 a a 4 a 4 1 即 f a f c 1 3 3 南通二模 南通二模 19 本小题满分 15 分 设定义在 R R 上的函数 432 01234 f xa xa xa xa xa 其中 i a R R i 0 1 2 3 4 当 x 1 时 f x 取得极大值 2 3 并且函数y f x 1 的图象关于点 1 0 对 称 1 求f x 的表达式 2 试在函数f x 的图象上求两点 使这两点为切点的切线互相垂直 且切点的 4 横坐标都在区间2 2 上 3 若 212 1 3 N 23 nn nn nn xyn 求证 4 3 nn f xf y 解 1 3 1 3 f xxx 5 分 2 2 0 0 2 3 或 2 0 0 2 3 10 分 3 用导数求最值 可证得 4 1 1 3 nn f xf yff 15 分 20 本小题满分 13 分 设M是椭圆 22 1 124 xy C 上的一点 P Q T分别为M关于y轴 原点 x轴的对称 点 N为椭圆C上异于M的另一点 且MN MQ QN与PT的交点为E 当M沿椭圆C运动时 求动点E的轨迹方程 解 设点的坐标 112211 0 M x yN xyx yE x y 则 111111 Px yQxyT xy 1 分 22 11 22 22 1 1 124 1 2 124 xy xy 3 分 由 1 2 可得 1 3 MNQN kk 6 分 又MN MQ 1 1 1 MNMQMN x kkk y 所以 1 1 3 QN y k x 直线QN的方程为 1 11 1