2011高考数学萃取精华30套（5）

20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 5 5 1 1 北京丰台区二模 北京丰台区二模 19 本小题满分 14 分 设双曲线的两个焦点分别为 离心率为 2 I 求此双曲线的渐近线的方程 II 若 A B 分别为上的点 且 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 并说明轨迹是什 么曲线 III 过点能否作出直线 使与双曲线交于 P Q 两点 且 若存在 求出直线的方 程 若不存在 说明理由 解 I 渐近线方程为4 分 II 设 AB 的中点 则 M 的轨迹是中心在原点 焦点在 x 轴上 长轴长为 短轴长为的椭圆 9 分 III 假设存在满足条件的直线 设 由 i ii 得 k 不存在 即不存在满足条件的直线 14 分 20 本小题满分 13 分 已知数列的前 n 项和为 且对任意自然数都成立 其中 m 为常数 且 I 求证数列是等比数列 II 设数列的公比 数列满足 试问当 m 为何值时 成立 解 I 由已知 2 由得 即对任意都成立 II 当时 由题意知 13 分 2 2 石家庄模拟 石家庄模拟 21 本小题满分 12 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为F 上顶点为A 过点A与AF垂直的直 线分别交椭圆和x轴正半轴于P Q两点 且P分向量AQ所成的比为 8 5 1 求椭圆的离心率 2 若过FQA 三点的圆恰好与直线l 033 yx相切 求椭圆方程 解 1 设点 0 0 0 cFxQ 其中 0 22 bAbac 由P分AQ所成的比为 8 5 得 13 5 13 8 0 bxP 2 分 ax a x 2 3 1 13 5 13 8 0 2 2 2 02 4 分 而AQFAbxAQbcFA 0 0 AQFA c b xbcx 2 0 2 0 0 5 分 由 知0232 32 222 aaccacb 2 1 0 232 2 eee 6 分 2 满足条件的圆心为 0 2 22 c cb O 0 22 22222 cOc c cca c cb 8 分 圆半径a c a c b r 22 2 2 2 10 分 由圆与直线l 033 yx相切得 a c 2 3 又3 2 1 2 bacca 椭圆方程为1 34 22 yx 12 分 22 本小题满分 14 分 理 给定正整数n和正数b 对于满足条件baa n 2 11 的所有无穷等差数列 n a 试求 1221 nnn aaay 的最大值 并求出y取最大值时 n a的首项和公差 文 给定正整数n和正数b 对于满足条件baa n 2 11 的所有无穷等差数列 n a 试求 1221 nnn aaay 的最大值 并求出y取最大值时 n a的首项和公差 理 解 设 n a公差为d 则 1111 aandndaa nn 3 分 dnan ndadaa aaay n nnn nnn 21 1 1 111 1221 d nn an n 2 1 1 1 4 分 2 1 2 1 11 11 aa an nd an n nn 3 2 1 11 aa n n 7 分 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当 2 3 1 n a时 等号成立 11 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba 公差 n b d 4 34 时 8 49 1 bn y y的最大值为 8 49 1 bn 14 分 文 解 设 n a公差为d 则 1111 aandndaa nn 3 分 2 1 2 1 1 21 1 11 1 111 1221 nd and nn an dnan ndadaa aaay nn n nnn nnn 3 2 1 2 1 11 11 1 aa naa an n n n 6 分 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当 2 3 1 n a时 等号成立 11 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba 公差 n b d 4 34 时 8 49 1 bn y y的最大值为 8 49 1 bn 14 分 3 3 唐山二模 唐山二模 21 本小题满分 12 分 垂直于 x 轴的直线交双曲线22 22 yx于 M N 不同两点 A1 A2分别为双曲线的左 顶点和右顶点 设直线 A1M 与 A2N 交于点 P x0 y0 证明 2 2 0 2 0 为定值yx 过 P 作斜率为 0 0 2y x 的直线l 原点到直线l的距离为d 求d的最小值 解 证明 0 2 0 2 211111 AAyxNyxM 则设 2 2 1 1 1 x x y yMA的方程为直线 直线 A2N 的方程为 2 2 1 1 x x y y 4 分 得 2 2 2 2 1 2 12 x x y y 分为定值 的交点与是直线 即 822 22 2 2 1 22 2 0 2 0 2100 22222 1 2 1 yx NAMAyxP yxxyyx 02222 2 00 2 0 2 00 0 0 0 yyxxyxxx y x yyl整理得结合的方程为 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 22 2 4 2 y yyx d 于是 10 分 1 1 2 21122 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 y dyyyx 当1 1 1 2 00 取最小值时dyy 12 分 22 本小题满分 14 分 已知函数xxxfsin 若 0 的值域试求函数xfx 若 3 2 3 2 0 0 x f xff x 求证 若 3 2 3 2 1 1 x f xff Zkkkkkx 与猜想的大小 关系 不必写出比较过程 解 为增函数时当 0cos1 0 xfxxfx 分的值域为即 求得所以 上连续在区间又 4 0 0 0 0 xf xffxff xf 设 3 2 3 2 x f xff xg 3 2 sin 3 sin 2 xxf xg 即 3 2 coscos 3 1 x xxg 6 分 xxg x x 得由 0 0 3 2 0 0 0 0 为减函数