2011年高考数学原创预测题 专题四 立体几何 文 新人教版

新课标文科专题四 立体几何新课标文科专题四 立体几何 一 选择题 1 正三棱锥的底面周长为 6 侧面都是直角三角形 则此棱锥的体积为 3 24 2 3 22 3 2 2 一个圆柱的轴截面为正方形 其体积与一个球的体积比是 3 2 则这个圆柱的侧面积与 这个球的表面积之比为 1 1 1 2 2 3 3 2 3 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 A 若 m n 则mn 若 m n 则mn 若m n 则m n 若m n 则m n 4 圆锥的母线长为 6 轴截面的顶角为 120 度 过两条母线作截面 则截面面积的最大值 为 39 18 318 9 5 某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆 DC 的高度 在旗杆的正西方向的点测 得旗杆顶端 D 的仰角为 30 度 沿点向北偏东 60 度前进 18 米到达 B 点 测得旗 杆顶端 D 的仰角为 45 度 经目测 AB 小于 AC 则旗杆的高度为 9 米 16 米 18 米 9 米或 18 米 6 如图是一个六棱柱的三视图 俯视图是一个周长为 3 的正六边形 该六棱柱的顶点都在 同一个球面上 那么这个球的体积为 2 3 4 3 5 3 7 等边三角形ABC的边长为 4 M N分别为AB AC的中点 沿MN将 AMN折起 使得面 AMN与面MNCB所成的二面角为 30 则四棱锥A MNCB的体积为 A 2 3 2 3 3 3 8 由棱长为 2 的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为 A 2 4 3 2 3 4 9 设 为两两不重合的平面 nml 为两两不重合的直线 给出下列四个命题 若 则 若 nmnm 则 若 l 则 l 若 lnml 则nm 其中真命题的个数 是 1 2 3 4 10 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 2 E F 分别为 AB CD 的中点 沿 EF 把 BCFE 折起后与 ADFE 垂直 P 为矩形 ADFE 内一动点 P 到面 BCFE 的距离与它到点 A 的距离相等 设动点 P 的轨 迹是曲线 L 则曲线 L 是 A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 抛物线的一部分 D 双曲线的一部分 二 填空题 11 如图是一个几何体的三视图 俯视图是顶角为 120 度的等腰三角形 则这个几何体的表面积为 12 用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 放在水平桌面上 被一阵风吹倒 如图 则它的最高点到桌面的距离为 13 在一个棱长为 6 厘米的密封正方体盒子中 放一个半径为 1 厘米的小球 任意摇动盒子 小球在盒子中不能达到的空间为 G 则这个正方体盒子中的一点属于 G 的概率为 14 直角三角形 ABC 中 AD 是斜边 BC 上的高 则 AB 是 BD 与 BC 的等比中项 请利用类比推理给出 三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA PB PC 两两垂直 点 P 在底面上的射影 为 O 则 三 解答题 15 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD PC AD 底面 ABCD 为梯形 AB DC AB BC PA AB BC 点 E 在棱 PB 上 且 PE 2EB 1 求证 平面 PAB 平面 PCB 2 求证 PD 平面 EAC 16 在 ABC 中 AB CA 6 BC 8 点 D E F 分别是 BC AB CA 的中点 以三条中位线为 折痕 折成一个三棱锥 P DEF 点 M N 分别是 PD EF 的中点 1 求证 MN PD MN EF 2 求这个三棱锥 P DEF 的体积 17 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 AD 1 点 E F G 分别是棱 AA1 C1D1 BC 的中点 1 在直线 A1D1上是否存在点 Q 使得 EQ 平面 FB1G 2 求四面体 EFGB1的体积 18 如图是三棱柱 ABC A1B1C1的三视图 正 主 视图和俯视图都是矩形 侧 左 视图为 等边三角形 D 为 AC 的中点 1 求证 AB1 平面 BDC1 2 设 AB1垂直于 BC1 BC 2 求这个三棱柱的表面积 18 如图 平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 AB 1 AD 2 ADC 60 AF 3 1 求证 AC BF 2 求四面体 BDEF 的体积 20 如图 AB 为圆 O 的直径 点 E F 在圆上 已知 AB EF AB BC 4 AE EF BF 2 AD 2 直角梯形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直 1 求证 平面 CBE 平面 DAE 2 在 DB 上是否存在一点 G 使 GF 平面 DAE 若不存在 请说明理由 若存在 请找出 这一点 并证明之 答案解析 专题四 答案解析 专题四 1 解析 选 D 由正三棱锥的性质 它的侧棱长为2 且两两垂直 所以其体积为 3 2 22 2 1 3 1 2 V 故选 D 2 解析 选 设圆柱的底面半径为r 球的半径为R 由于圆柱的轴截面为正方形 因此 圆柱的母线长为r2 所以 2 3 3 4 2 3 2 R rr V V 球 圆柱 即Rr 侧 侧 侧侧侧 1 4 22 2 R rr S S 故选 8 解析 选 对 在中有 m 与 n 不垂直的情况 在中 还有 m 与 n 相交 异面的 情况 在 D 中 还有 m 与 n 相交 异面的情况 故选 9 解析 选 设截面等腰三角形的顶角为 则截面面积为 sin18sin6 2 1 2 S 因为 1200 所以18sin18 S 故选 5 解析 选 如图 设hDC 则hACDAC3 30 hBCDBC 45 所以在BAC 中 18 30 ABBAC 应用余弦定理得 30cos3182318 2 22 hhh 解这个方程得 9h18 或h 当9 h时 ABhAC 393 与已知矛盾 故舍去 当18 h时符合题意 所以 选 6 解析 选 这是一个正六棱柱 上下两个底面的中心连线的中点就是球心 因为六棱柱的高为 3 所以球心到底面的距离为 2 3 d 因为底面正六边形的周长为 3 所以底面正六边形的边长为 2 1 即底面外接圆的半径为 2 1 r 由球的截面性质得球半径1 22 drR 所以这个球的体积为 3 4 故选 7 解析 选 在平面图中 过A作AL BC 交MN于K 交BC于L 则AK MN KL MN AKL是面AMN与面MNCB所成的二面角的平面角 即有 AKL 30 则四棱锥A MNCB的高h 30sinAK 2 3 KL 2 42 S MNCB 四边形 33 2 3 33 3 1 V MNCBA 2 3 故选 A 8 解析 选 D 构成的几何体是两个有公共底面的正四棱锥 它的底面边长为2 高为 1 所以一个正四棱锥的体积为 3 2 12 3 1 2 新几何体的体积为 3 4 2 3 2 故选 D 9 解析 选 也有相交的情况 要保证nm 相交 才有 由面面平行 的性质定理可知正确 因mllml 同样nl 从而nm 故 对 故选 10 解析 选 C 如图 过点 P 作 PQ 垂直于 FE 则 PQ 垂直于平面 BCFE 所以 PQ PA 所以动点 P 的轨迹 即曲线 L 为以 A 为焦点 以 FE 为准线的抛物线在矩形内的部分 故 选 11 解析 根据三视图的知识 这个几何体是底面边长分别为32 2 2的等腰三角形 高为 2 的直三棱柱 它的侧面积是 34823222 其一个底面的面积为 3132 2 1 所以这个三棱柱的表面积为 36833348 答案 368 12 解析 要抓住两点 1 半圆纸片的半径成了圆锥的母线 2 半圆弧长成了圆锥的底面周 长 设圆锥的底面半径为r 母线为l 则102 10 rl 5 r 所以轴截面顶角的一半为 30 轴截面为正三角形 故圆锥的最高点离桌面的距离为3560sin l厘米 答案 35厘米 13 解析 在正方体盒子中 不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不 能到达的空间 其体积为 3 4 8 3 4 23 小球沿每条棱运动不能到达的空间 除去两 端的两个角 的体积 即为高为 4 的一个正四棱柱的体积与其内接圆柱体积差的四分之一 如图二 即 44142 4 1 22 正方体有 12 条棱 所以在盒子中小球不能到达的空间 G 的体积为 3 4 8 3 40 56412 又正方体盒子的体积为 63 216 所这以个正 方体盒子中的一点属于 G 的概率为 81 521 216 3 40 56 答案 81 521 14 解析 连接 CO 并延长交 AB 于 D 连接 PD 则 PD PC CD AB 所以 PD2 DO DC 所以 ABCAOBPAB SSS 2 即三角形 PAB 的面积是三 角形 AOB 的面积与三角形 ABC 的面积的等比中项 答案 三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积与三角形 ABC 的面积的等比中项 15 证明 1 PA 平面 ABCD PA BC 又 AB BC PA AB A BC 平面 PAB 又 BC 平面 PCB 所以平面 PAB 平面 PCB 2 PA 底面 ABCD PA AD 又 PC AD PA PC P AD 平面 PAC AC AD 在梯形 ABCD 中 由 AB BC AB BC 得 BAC 45 DCA BAC 45 又 AC AD 故 DAC 为等腰直角三角形 DC 2AC 2 2AB 2AB 连结 BD 交 AC 于点 M 则2 AB DC MB DM 连结 EM 在 BPD 中 2 MB DM EB PE PD EM 又 EM 在平面 EAC 内 PD 平面 EAC 16 解析 1 连接 DN NM PN 因为 DF DE PF PE 所以 PN EF DN EF PN DN 5 又 PN DN N 所以 EF 平面 PDN 所以 EF MN PD MN 2 由 1 知 EF 平面 PDN 在直角三角形 PMN 中 PM 2 PN 5 由勾股定理得 MN 1 所以 PDN 的面积为 214 2 1 2 1 MNPDS 所以这个三棱锥 P DEF 的体积 3 8 42 3 1 3 1 EFSV 17 解析 1 如图取 AD 的中点 M 连接 A1M 则 A1M B1G 所以 EQ 平面 FB1G 的充要条件是 A1M EQ 延长 QE 交 AD 于点 N 因为 E 为 AA1中点 所 以 N 为 AM 的中点 所以 4A1Q AD 所以在线段 D1A1延长线上存在点 Q 使得 EQ 平面 FB1G 2 由 1 知 1 1111 3 1 AASVVV QFBQFBGGFBQGFBE 如图 8 9 1111111 CFBFQDBCQDQFB SSSS 梯形 所以 8 3 1 8 9 3 1 1 GFBE V 18 解析 1 由三视图画出直观图 如图 这是一个正三棱柱 连接 BC1和 B1C 交点为 O 则 O 为 B1C 的中点 连接 OD 因为 D 为中点 所以 OD AB1 又 OD 在平面 BDC1内 AB1不在平面 BDC1内 所以 AB1 平面 BDC1 2 过 A 作 AF BC 垂足为 F 连接 B1F 因为侧面垂直于底面 所以 AF 侧面 BCC1B1 所以 AB1在侧面 BCC1B1内的射影为 B1F 因为 AB1垂直于 BC1 所以 BC1 B1F Rt B1BF Rt BCC1 B1B BC BF C1C 所以 B1B2 BC BF 2 所以侧棱2 1 BB 所以表面积为32262 4 3 2223 2 19 解析 1 如图 在 ABC 中 AB 1 BC 2 ABC 60 由余弦定理得 60cos2 22 BCABBCABAC 3 2 1 21241 222 BCACAB BAC 90 即 AC AB 又在矩形 ACEF 中 AC AF 且 AF AB A AC 平面 ABF 又 BF 平面 ABF AC BF 2 设 AC BD 交于点 O 连接 EO FO ED EB 平面 ACEF 平面 ABCD 平面 ACEF 平面 ABCD AC FA AC FA 平面 ABCD 又 BA AC 所以 BA 平面 ACEF 所以3 3 1 22 BASVV EOFEOFBBDEF四面体 20 解析 1 如图 连结 BE 因为四边形 ABCD 是直角梯形 所以 AD AB 又平面 ABCD 平面 ABFE 所以 AD 平面 AB