2013全国初中数学联赛初赛答案及评分标准（初三）

2013 全国初中数学联赛初赛答案及评分标准 初二 第 1 页 共 4 页 E G F Q BC AD P 2013 全国初中数学联赛初赛答案及评分标准 初三 全国初中数学联赛初赛答案及评分标准 初三 一 选择题 本大题满分 42 分 每小题 7 分 1 已知 则 的大小关系是 10 x 2 x x 1 x A B 2 1 xx x 2 1 xx x C D 2 1 xx x 2 1 xx x 解 由 得 从而 所以 10 x 2 1 0 xxx x 2 xx 又 所以 2 11 1 1 0 xxx x xxx 1 x x 11 xy 32 7y 4y D C A B N M D C A B Q BC AD P 2013 全国初中数学联赛初赛答案及评分标准 初二 第 2 页 共 4 页 又显然 即 经验证 均不符合条件 3y 34y 3 4yy 所以 符合条件的解的组数为 0 组 故答案选 A 6 已知实数满足 则的值是 x y z1 xyz yzzxxy 222 xyz yzzxxy A B 0 C 1 D 21 解 显然 否则0 xyz 3 xyz yzzxxy 由已知得 xyz xyzxyz yzzxxy 即 222 xyz xyzxyz yzzxxy 所以 222 xyz yzzxxy 0 故选 B 二 填空题 本大题满分 28 分 每小题 7 分 1 是正整数 x表示的正约数个数 则 等于 xx 解 所以 故填 2 3 4 3 2 3 2 2 草原上的一片青草 到处长得一样密一样快 70 头牛在 24 天内可以吃完这片青草 30 头牛在 60 天内可以吃完这片青草 则 20 头牛吃完这片青草需要的天数是 解 设草原上原有草量为 a 每天长出量为 b 并设 20 头牛在 x 天内可以吃完这片青 草 因为一头牛一天的吃草量相等 根据题意可得方程组 2460 7024306020 abababx x 由得 2460 70243060 abab 480ab 代入中 得 60 306020 ababx x 3480 1020 x bb x 解得 96x 故填 96 3 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别是 BC DC 的中点 AM 4 AN 3 且 60MAN 则 AB 的长是 解 延长 AM 交 DC 的延长线于 F 则 AMB FMC 则 CF AB 则 NF 过 N 作 NH 垂直 AF 于 3 2 AB H 则 AH 故 13 22 AN 3 3 2 NH 313 24 22 HF M N D A C B 2013 全国初中数学联赛初赛答案及评分标准 初二 第 3 页 共 4 页 E D B AC 所以 2 3 313 7 22 NF 214 33 ABNF 故填 14 3 4 小明将 1 2 3 n 这 n 个数输入电脑求其平均值 当他认为输完时 电脑上只显 示输入个数 且平均值为 假设这个数输入无误 则漏输入的一个 1 n 30 75 1 n 数是 解 依题意得 1230 75 1 23nnn 所以 即 所以 n 60 或 61 2 30 75 22 nn 59 561 5n 因为是整数 所以 n 61 30 75 1 n 所以漏输入的数为 6162 30 756046 2 故填 46 三 本大题满分 20 分 解方程 2 21 20 xx 解 当时 原方程可化为 1 2 x 2 21 20 xx 解得 1 12x 2 12x 又因为 故应舍去 10 分 2 1 12 2 x 当时 原方程可化为 1 2 x 所以原方程的解为和 20 分12x 3x 四 本大题满分 25 分 如图 圆内接四边形 ABCD 中 CBCD 求证 22 CACBAB AD 证明 连结 BD AC 交于点 E 则 BAECAD ABEACD 所以 5 分ABEACD 所以 ABAC AEAD 所以 10 分AB ADAC AE 又 CBECAB BCEACB 所以 15 分CBECAB 所以 CBCA CECB 2013 全国初中数学联赛初赛答案及评分标准 初二 第 4 页 共 4 页 所以 20 分 2 CBCA CE 所以 22 CBAB ADCA CECA AECA 所以 25 分 22 CACBAB AD 五 本大题满分 25 分 已知二次函数和一次函数 其中 a b c 满足 2 yaxbxc ybx abc R 0abc a b c 1 求证 两函数的图象有两个不同的交点 A B 2 过 1 中的两点 A B 分别作 x 轴的垂线 垂足为 A1 B1 求线段 A1B1的长的 取值范围 1 证明 由消去 y 得 2 yaxbxc ybx 2 20axbxc 5 分 222222 3 444 44 4 24 c bacacacaaccacD 0abc abc 0a 0c 即两函数的图象有两个不同的交点 10 分0D 2 解 设方程的两根为和 2 20axbxc 1 x 2 x 则 x1 x2 x1x2 15 分 2b a c a 222 11121212 4ABxxxxx x