广东省始兴县风度中学高三数学 晚修培优4 文

1 广东省始兴县风度中学高三数学 文 广东省始兴县风度中学高三数学 文 晚修培优晚修培优 1 在直角坐标平面内 已知三点A B C共线 函数 f x满足 2 1 ln10OAf xfOBxOC 1 求函数 f x的表达式 2 若0 x 求证 2 2 x f x x 3 若不等式 222 1 23 2 xf xmbm 对任意 1 1x 及任意 1 1b 都成立 求实数m的 取值范围 2 如图 三棱柱A1B1C1 ABC的三视图中 主视图和左视图是全等的矩形 俯视图是等腰直角三角形 已知点M是A1B1的中点 1 求证 B1C 平面AC1M 2 设AC与平面AC1M的夹角为 求 sin 2 3 3 如图 甲 在直角梯形 ABED 中 AB DE AB BE AB CD 且 BC CD AB 2 F H G 分 别为 AC AD DE 的中点 现将 ACD 沿 CD 折起 使平面 ACD 平面 CBED 如图 乙 1 求证 平面 FHG 平面 ABE 2 记 BCx V x表示三棱锥 B ACE 的 体积 求 V x的最大值 4 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 且 2 2 nnn aaS 1 求证 22 1 4 nn n aa S 2 求证 1 12 1 22 nn n SS SSS D E B C H 乙 G F A H F D G E B C A 乙 3 5 在数列 n a中 1 1a 11 302 nnnn a aaan 1 求证 数列 1 n a 为等差数列 并求 n a的通项 2 若 1 1 n n a a 对任意2n 的整数恒成立 求实数 的取值范围 3 设数列 nn ba n b的前n项和为 n T 求证 2 31 1 3 n Tn 4 6 对nN 不等式组 0 0 2 x y ynxn 所表示的平面区域为 n D n D内的整点 横坐标 与纵坐标均为 整数的点 按其到原点的距离从近到远排成点列 112233 nn x yxyxyxy 1 求 n x n y 2 数列 n a满足 11 ax 且2n 时 111 2 1 2 2 2 1 2 n nn yyy ya 证明 当2 n时 1 222 1 1 nn aa nnn 3 在 2 的条件下 试比较 1 1 1 1 1 1 1 1 321n aaaa 与 4 的大小关系 5 高三 高三 9 9 数学晚修培优 数学晚修培优 4 4 参考答案参考答案 1 解 1 三点ABC 共线且 2 ln 1 OAf xfx OBxOC 2 1 ln 1 1 1 2 1 ln 1 f xfxf xfx 由 1 1 fx x 得 1 1 2 f 故 ln 1 f xx 2 证明 记 2 2 x g xf x x 则 2 ln 1 2 x g xx x 0 x 时 2 22 14 0 1 2 1 2 x g x xxxx g x在 0 上是单调增函数 故 0 0g xg 即 2 2 x f x x 成立 3 记 22 1 2 xxf x 则 22 1 ln 1 2 xxx 由 22 2 1 1 11 xxx x xx xx 又 1 1 x 知0 x 时 x 取的最大值 且 0 0 故原命题可化为对任意 1 1 b 都有 2 230mbm 恒成立 记 2 23h bmbm 知11b 时 0h b 恒成立 2 2 1 0230 3 1 0 230 hmm m h mm 或3m 2 解 由三视图 可知三棱柱A1B1C1 ABC为直三棱柱 侧梭长为 2 底面是等腰直角三角形 AC BC 1 2 分 如图建立空间直角坐标系C xyz 则C 0 0 0 C1 0 0 2 A 1 0 0 B1 0 1 2 A1 1 0 2 M为A1B1中点 2 2 1 2 1 M 4 分 1 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 11 MCAMCB 11 MCAMCB 6 分 1 CB 面AC1M 又 B1C 面AC1M B1C 面AC1M 8 分 2 设平面AC1M的一个法向量为 zyxn 2 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 yxz zyxzyxAMn yxzyxMCn 则令 6 1 2 2 n 10 分 0 0 1 AC又则 3 2 cos sin ACn ACn ACn 12 分 3 3 解 解 1 证明 由图 甲 结合已知条件知四边形 CBED 为正方形 如图 乙 F H G 分别为 AC AD DE 的中点 FH CD HG AE 1 分 CD BE FH BE BE 面ABE FH 面ABE FH面ABE 3 分 同理可得 HG面ABE 又 FHHGH 平面 FHG 平面 ABE 4 分 2 平面 ACD 平面 CBED 且 AC CD AC 平面 CBED 5 分 V x A BCE V 1 3 BCE SAC BCx 2ACx 02x V x 22 111 2 2 326 xxxx 1 42 12 x xx 7 分 解法 1 3 4264 42 327 xxx x xx V x 16416 122781 当且仅当42xx 即 4 3 x 时取 V x的最大值为 16 81 9 分 解法2 2 1 43 6 Vxxx 令 0Vx 得0 x 不合舍去 或 4 3 x 当 4 3 x 时 0Vx 当 4 0 3 x 时 0Vx 当 4 3 x 时 V x有最大值 max 4 3 V xV 16 81 4 解解 1 在条件中 令1 n 得 111 2 1 22aSaa 0 1 a 1 1 a 又由条件 nnn Saa2 2 有 11 2 1 2 nnn Saa 上述两式相减 注意到 nnn SSa 11 得0 1 11 nnnn aaaa 0 n a 0 1 nn aa 1 1 nn aa 所以 nnan 1 11 1 2 n n n S 所以 42 1 2 1 2 1 2 1 2 22 nn n aannnn S 2 因为1 1 nnnn 所以 2 1 2 1 2 nnnn 7 所以 2 1 2 32 2 21 21 nn SSS n 2 1 2 3 2 2 n 2 1 22 3 1 2 n Snn 222 1 22 2 2 1 21 n n Snnn SSS 5 解解 2 1 由 11 302 nnnn a aaan 得 1 11 32 nn n aa 又 1 1 1 a 数列 1 n a 是首项为 1 公差为 3 的等差数列 1 1 3 1 32 n nn a 即 1 32 n a n 2 1 1 n n a a 对任意2n 的整数恒成立 即31 32 n n 恒成立 31 32 3 1 nn n 对任意2n 的整数恒成立 设 31 32 2 3 1 n nn cn n 则 22 1 22 34 31 3 1 343234 1 3 31 32 3232 n n cnnnnnnnn cnnnnnnn 当2n 时 n c为递增数列 2 28 3 n cc 所以 的取值范围为 28 3 3 由 nn ba 得 1222 3231 3232 323231 nn bann nnnn 所以 12nn Tbbb 23 nn 2 31 1 3 n 6 解解 1 作出平面区域 n D 略 2 分 由 1 2 x ynxn 解得 1 nn xyn 4 分 2 当2 n时 2 22 11 1 2 1 n an n 222 11 1 2 1 n a n n 5 分 1 222 11 1 1 2 n a nn 1 222 1 1 nn aa nnn 6 分 3 由 2 得 当2 n时 2 2 1 1 1 n n an an 且 1 1a 2 4a 7 分 8 当1n 时 1 1 124 a 8 分 当2 n时 123 331212 1 12312341 222