2012届高三数学一轮复习 第二讲 空间点、直线、平面之间的关系

第二讲第二讲 空间点 直线 平面之间的关系空间点 直线 平面之间的关系 一 选择题 1 2010 山东 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 解析 A 项 平行直线的平行投影也可以是两条平行线 B 项 平行于同一直线的 两个平面可平行 可相交 C 项 垂直于同一平面的两个平面可平行 可相交 D 项 正确 答案 D 2 2010 浙江 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若l m m 则l B 若l l m 则m C 若l m 则l m D 若l m 则l m 解析 选项 A 由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这 个平面 选项 B 两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个 平面 选项 C 一条直线平行于一个平面 得不到这条直线平行于这个平面内任意 一条直线 选项 D 两条直线同时平行于同一平面 这两条直线可能平行 相交或 异面 故选 B 答案 B 3 2009 江西 如图 在四面体ABCD中 若截面PQMN是正方形 则在下列命题中 错误的为 A AC BD B AC 截面PQMN C AC BD D 异面直线PM与BD所成的角为 45 解析 截面PQMN为正方形 PQ MN PQ 平面DAC 又 面ABC 面ADC AC PQ 面ABC PQ AC 同理可证QM BD 故有选 项 A B D 正确 C 错误 答案 C 4 如图所示 直线PA垂直于 O所在的平面 ABC内接于 O 且AB为 O的直 径 点M为线段PB的中点 现有以下命题 BC PC OM 平面APC 点 B到平面PAC的距离等于线段BC的长 其中真命题的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 PA 平面ABC PA BC 又BC AC BC 平面PAC BC PC OM PA OM 平面PAC BC 平面PAC BC是点B到平面PAC的距离 故 都正确 答案 A 5 2010 辽宁 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为a的直铁条 使这六根 铁 条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则a的取值范围是 A 0 B 1 2 622 C D 0 2 62622 解析 构成如图所示的两种三棱锥 图 1 中有AC BD a 取AC中点E AB BC 2 则BE AC BE 易得DE BE 在 BDE中由三边关系可得 2 a 解得 0 a 2 4 a2 4 4 a2 4 2 图 2 取BD中点F AB AD a AF BD AF BC CD BD 2 a2 1 CF 3 在 AFC中由三边关系可得 2 2 解得 a 3a2 136262 综上a的取值范围为 0 故选 A 62 答案 A 二 填空题 6 2009 安徽 对于四面体ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的 编号 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线 由顶点A作四面体的高 其垂足是 BCD三条高线的交点 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 则这两条高 的垂足重合 任何三个面的面积之和都大于四个面的面积 分别作三组相对棱 中点的连线 所得的三条线段相交于一点 答案 7 2009 江西 体积为 8 的一个正方体 其全面积与球O的表面积相等 则球O的体 积 等于 解析 设正方体棱长为a 球半径为r a3 8 a 2 4 r2 6a2 r V球 3 6 4 3 6 8 6 答案 8 6 8 如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC1 P是BC1上一动点 则CP PA1的最小值是 2 解析 将 BCC1沿BC1线折到面A1C1B上 如图 连结A1C即为CP PA1的最小 值 过点C作CD C1D于D点 BCC1为等腰直角三角形 CD 1 C1D 1 A1D A1C1 C1D 7 A1C 5 A1D2 CD249 12 答案 5 2 9 2009 浙江理 如图 在长方形ABCD中 AB 2 BC 1 E为DC的中点 F为线 段EC 端点除外 上一动点 现将 AFD沿AF折起 使平面ABD 平面ABC 在平 面ABD内过点D作DK AB K为垂足 设AK t 则t的取值范围是 解析 如图 在平面ADF内过D作DH AF 垂足为H 连结HK 过F点作PF BC交 AB于点P 设 FAB 则 cos 2 2 2 5 5 设DF x 则 1 x 2 DK 平面ABC DH AF 则AH HK 在 Rt ADF中 AF DH 1 x2 x2 1 x2 ADF和 APF都是直角三角形 PF AD Rt ADF Rt APF AH AP DF x 1 1 x2 在 Rt AHK中 cos AH AK 在 Rt APF中 cos AP AF cos x 1 1 x2 t x 1 x2 1 t 1 x 2 1 2 t 1 1 t 1 2 即 2 2 1 1 x2 t 2 5 5 2 2 t2 1 t2 t 2 5 5 即 1 t2 2 t 1 1 2 1 1 t2 4 5 5 4 1 2 综上知 t 1 1 2 答案 1 2 1 三 解答题 10 2010 江苏镇江调研 如图 在四棱锥P ABCD中 PA PB 底面ABCD是菱形 且 ABC 60 点M是AB的中点 点E在棱PD上 满足DE 2PE 求证 1 平面PAB 平面PMC 2 直线PB 平面EMC 证明 1 PA PB M是AB的中点 PM AB 底面ABCD是菱形 BA BC ABC 60 ABC是等边三角形 则CM AB PM CM M AB 平面PMC AB 平面PAB 平面PAB 平面PMC 2 连BD交MC于F 连EF 由CD 2BM CD BM 易得 CDF MBF DF 2BF DE 2PE EF PB EF 平面EMC PB 平面EMC PB 平面EMC 11 2009 广东理 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点E是正方形BCC1B1 的中心 点F G分别是棱C1D1 AA1的中点 设点E1 G1分别是点E G在平面 DCC1D1内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的 体积 2 证明 直线FG1 平面FEE1 3 求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值 1 解 点A E G F在平面DCC1D1的投影分别为点D E1 G1 F 连结EF EE1 EG1 ED 则VE DE1FG1 VF EE1G1 VD EE1G1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 2 证明 点E在平面DCC1D1的正投影为点E1 则EE1 面DCC1D1 FG1 平面DCC1D1 EE1 FG1 在 E1FG1中 FG1 FD2 1 G1D2 12 E1F E1G1 2 FC2 1 E1C2 12 FE FG E1G 4 FG1 FE1 2 12 12 1 FE1 EE1 E1 FG1 平面FEE1 3 解 取正方形ADD1A1的中心为M 连结EM AM 则EM綊E1G1 且EM 面AA1D1D EM AM AM AG2 MG22 AE EM 2 AB2 BC 2 2 AG26 sin AEM AM AE 2 6 3 3 异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为 3 3 12 2009 海南 宁夏卷 如右图 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都 是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 2 1 求证 AC SD 2 若SD 平面PAC 求二面角P AC D的大小 3 在 2 的条件下 侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求 SE EC的值 若不存在 试说明理由 解 1 证明 连接BD 设AC交BD于点O 由题意知SO AC 在正方形ABCD中 AC BD 又SO BD O AC 平面SBD AC SD 2 设正方形ABCD的边长为a 则SD a 2 又OD a SDO 60 2 2 连接OP 由 1 知AC 平面SBD AC OP 且AC OD POD是二面角P AC D的平面角 由SD 平面PA