2012届高三数学一轮复习 第八章《平面解析几何》8-4精品练习

第第 8 8 章章 第第 4 4 节节 一 选择题 1 设 0 0 故选 C 1 cos 1 sin 2 文 2010 瑞安中学 已知双曲线C的焦点 顶点分别恰好是椭圆 1 的长轴 x2 25 y2 16 端点 焦点 则双曲线C的渐近线方程为 A 4x 3y 0 B 3x 4y 0 C 4x 5y 0 D 5x 4y 0 答案 A 解析 由题意知双曲线C的焦点 5 0 顶点 3 0 a 3 c 5 b 4 c2 a2 渐近线方程为y x 即 4x 3y 0 4 3 理 2010 广东中山 若椭圆 1 过抛物线y2 8x的焦点 且与双曲线 x2 a2 y2 b2 x2 y2 1 有相同的焦点 则该椭圆的方程是 A 1 B y2 1 x2 4 y2 2 x2 3 C 1 D x2 1 x2 2 y2 4 y2 3 答案 A 解析 抛物线y2 8x的焦点坐标为 2 0 则依题意知椭圆的右顶点的坐标为 2 0 又椭圆与双曲线x2 y2 1 有相同的焦点 a 2 c 2 c2 a2 b2 b2 2 椭圆的方程为 1 x2 4 y2 2 3 分别过椭圆 1 a b 0 的左 右焦点F1 F2作两条互相垂直的直线l1 l2 x2 a2 y2 b2 它们的交点在椭圆的内部 则椭圆的离心率的取值范围是 A 0 1 B 0 2 2 C D 2 2 1 0 2 2 答案 B 解析 依题意 结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部 c b 从而 c22c2 即e2 0 0 eb 0 的离心率为 则双曲线 1 的 x2 a2 y2 b2 3 2 x2 a2 y2 b2 渐近线方程为 A y x B y 2x 1 2 C y 4x D y x 1 4 答案 A 解析 由椭圆的离心率e c a 3 2 故双曲线的渐近线方程为y x 选 A c2 a2 a2 b2 a2 3 4 b a 1 2 1 2 6 文 2010 南昌市模考 已知椭圆E的短轴长为 6 焦点F到长轴的一个端点的距离 等于 9 则椭圆E的离心率等于 A B 5 13 12 13 C D 3 5 4 5 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长 短半轴长 半焦距分别为a b c 则由条件知 b 6 a c 9 或a c 9 又b2 a2 c2 a c a c 36 故Error Error e c a 5 13 理 2010 北京崇文区 已知点F A分别是椭圆 1 a b 0 的左焦点 右顶点 x2 a2 y2 b2 B 0 b 满足 0 则椭圆的离心率等于 FB AB A B 3 1 2 5 1 2 C D 3 1 2 5 1 2 答案 B 解析 c b a b 0 FB AB FB AB ac b2 0 b2 a2 c2 a2 ac c2 0 e2 e 1 0 e 0 e 5 1 2 7 2010 浙江金华 若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点 F1 F2分别是 它们的左 右焦点 设椭圆离心率为e1 双曲线离心率为e2 若 0 则 PF1 PF2 1 e12 1 e22 A 2 B 2 C D 3 3 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长为a 双曲线的实半轴长为a 焦距为 2c 则由条件知 PF1 PF2 2a PF1 PF2 2a 将两式两边平方相加得 PF1 2 PF2 2 2 a2 a 2 又 PF1 2 PF2 2 4c2 a2 a 2 2c2 2 1 e12 1 e22 1 c a 2 1 c a 2 a2 a 2 c2 8 2010 重庆南开中学 已知椭圆 1 的左右焦点分别为F1 F2 过F2且倾角为 x2 4 y2 2 45 的直线l交椭圆于A B两点 以下结论中 ABF1的周长为 8 原点到l的距离为 1 AB 正确结论的个数为 8 3 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 a 2 ABF1的周长为 AB AF1 BF1 AF1 AF2 BF1 BF2 4a 8 故 正确 F2 0 l y x 原点到l的距离d 1 故 正确 22 0 2 2 将y x 代入 1 中得 3x2 4x 0 x1 0 x2 2 x2 4 y2 22 4 2 3 AB 故 正确 1 12 4 2 3 0 8 3 9 文 2010 北京西城区 已知圆 x 2 2 y2 36 的圆心为M 设A为圆上任一点 N 2 0 线段AN的垂直平分线交MA于点P 则动点P的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 解析 点P在线段AN的垂直平分线上 故 PA PN 又AM是圆的半径 PM PN PM PA AM 6 MN 由椭圆定义知 P的轨迹是椭圆 理 F1 F2是椭圆 1 a b 0 的两焦点 P是椭圆上任一点 过一焦点引 F1PF2 x2 a2 y2 b2 的外角平分线的垂线 则垂足Q的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 A 解析 PQ平分 F1PA 且PQ AF1 Q为AF1的中点 且 PF1 PA OQ AF2 PA PF2 a 1 2 1 2 Q点轨迹是以O为圆心 a为半径的圆 10 文 2010 辽宁沈阳 过椭圆C 1 a b 0 的左顶点A的斜率为k的直线 x2 a2 y2 b2 交椭圆C于另一个点B 且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F 若 k 则椭圆离心率的 1 3 1 2 取值范围是 A B 1 4 4 9 2 3 1 C D 1 2 2 3 0 1 2 答案 C 解析 点B的横坐标是c 故B的坐标 已知k B c b2 a 1 3 1 2 c b2 a 斜率k b2 a c a b2 ac a2 a2 c2 ac a2 1 e2 e 1 由 k 解得 eb 0 的一个顶点作圆x2 y2 b2的两条切线 切点分 x2 a2 y2 b2 别为A B 若 AOB 90 O为坐标原点 则椭圆C的离心率为 答案 2 2 解析 因为 AOB 90 所以 AOF 45 所以 所以e2 1 b a 2 2 c2 a2 a2 b2 a2 即e b2 a2 1 2 2 2 理 2010 揭阳市模拟 若椭圆 1 a b 0 与曲线x2 y2 a2 b2无公共点 则 x2 a2 y2 b2 椭圆的离心率e的取值范围是 答案 0 2 2 解析 易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部 故b c b2 c2 即a2 2c2 b 0 上存在点P x y 使得 0 则 x2 a2 y2 b2 OP PA 椭圆离心率的范围是 答案 e 1 2 2 解析 在椭圆 1 上存在点P 使 0 即以OA为直径的圆与椭圆有异 x2 a2 y2 a2 OP PA 于A的公共点 以OA为直径的圆的方程为x2 ax y2 0 与椭圆方程b2x2 a2y2 a2b2联立消去y得 a2 b2 x2 a3x a2b2 0 将a2 b2 c2代入化为 x a c2x ab2 0 x a x 由题设 a 0 e 1 e 1 2 2 2 2 理 已知A 4 0 B 2 2 是椭圆 1 内的点 M是椭圆上的动点 则 MA MB x2 25 y2 9 的最大值是 答案 10 2 10 解析 如图 直线BF与椭圆交于M1 M2 任取椭圆上一点M 则 MB BF MA MF MA 2a M1A M1F M1A M1B BF MB MA M1B M1A 2a BF 同理可证 MB MA M2B M2A 2a BF 10 2 MB MA 10 2 1010 14 文 已知实数k使函数y coskx的周期不小于 2 则方程 1 表示椭圆的概 x2 3 y2 k 率为 答案 1 2 解析 由条件 2 k 2 k 当 00 b 0 的面积为 ab M包含于平 x2 a2 y2 b2 面区域 Error 内 向 内随机投一点Q 点Q落在椭圆M内的概率为 则椭圆M的方 4 程为 答案 1 x2 4 y2 3 解析 平面区域 Error 是一个矩形区域 如图所示 依题意及几何概型 可得 ab 8 3 4 即ab 2 3 因为 0 a 2 0b 0 的长轴长为 4 x2 a2 y2 b2 1 若以原点为圆心 椭圆短半轴为半径的圆与直线y x 2 相切 求椭圆C的焦点坐 标 2 若点P是椭圆C上的任意一点 过焦点的直线l与椭圆相交于M N两点 记直线 PM PN的斜率分别为kPM kPN 当kPM kPN 时 求椭圆的方程 1 4 解析 1 圆x2 y2 b2与直线y x 2 相切 b 得b 2 1 12 又 2a 4 a 2 a2 4 b2 2 c2 a2 b2 2 两个焦点坐标为 0 0 22 2 由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M N关于坐标原点对称 不妨设 M x0 y0 N x0 y0 P x y 由于M N P在椭圆上 则它们满足椭圆方程 即有 1 1 x02 a2 y02 b2 x2 a2 y2 b2 两式相减得 y2 y02 x2 x02 b2 a2 由题意可知直线PM PN的斜率存在 则 kPM kPN y y0 x x0 y y0 x x0 kPM kPN y y0 x x0 y y0 x x0 y2 y02 x2 x02 b2 a2 则 由a 2 得b 1 b2 a2 1 4 故所求椭圆的方程为 y2 1 x2 4 理 2010 北京东城区 已知椭圆C的中心在原点 一个焦点F 2 0 且长轴长与短 轴长的比是 2 3 1 求椭圆C的方程 2 设点M m 0 在椭圆C的长轴上 点P是椭圆上任意一点 当 最小时 点P恰好 MP 落在椭圆的右顶点 求实数m的取值范围 解析 1 设椭圆C的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由题意Error 解得a2 16 b2 12 所以椭圆C的方程为 1 x2 16 y2 12 2 设P x y 为椭圆上的动点 由于椭圆方程为 1 故 4 x 4 x2 16 y2 12 因为 x m y MP 所以 2 x m 2 y2 MP x m 2 12 1 x2 16 x2 2mx m2 12 x 4m 2 12 3m2 1 4 1 4 因为当 最小时 点P恰好落在椭圆的右顶点 MP 即当x 4 时 2取得最小值 而x 4 4 MP 故有 4m 4 解得m 1 又点M在椭圆的长轴上 即 4 m 4 故实数m的取值范围是m 1 4 16 2010 辽宁文 20 设F1 F2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 x2 a2 y2 b2 过F2的直线l与椭圆C相交于A B两点 直线l的倾斜角为 60 F1到直线l的距离为 2 3 1 求椭圆C的焦距 2 如果 2 求椭圆C的方程 AF2 F2B 解析 1 设焦距为 2c 则F1 c 0 F2 c 0 kl tan60 3 l的方程为y x c 3 即 x y c 0 33 F1到直线l的距离为 2 3 c 2 3c 3c 3 2 1 233 c 2 椭圆C的焦距为 4 2 设A x1 y1 B x2 y2 由题可知y1 0 y2 0 直线l的方程为y x 2 3 由Error 消去x得 3a2 b2 y2 4b2y 3b2 a2 4 0 3 由韦达定理可得Error 2 y1 2y2 代入 得 AF2 F2B Error 得 2 1 2 48b4 3a2 b2 2 3a2 b2 3b2 a2 4 16b2 3a2 b2 a2 4 又a2 b2 4 由 解得a2 9 b2 5 椭圆C的方程为 1 x2 9 y2 5 17 文 2010 安徽文 椭圆E经过点A 2 3 对称轴为坐标轴 焦点F1 F2在x轴上 离心率e 1 2 1 求椭圆E的方程 2 求 F1AF2的角平分线所在直线的方程 解析 1 由题意可设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 e 即 a 2c 1 2 c a 1 2 又b2 a2 c2 3c2 椭圆方程为 1 又 椭圆过点A 2 3 x2 4c2 y2 3c2 1 解得c2 4 椭圆方程为 1 4 4c2 9 3c2 x2 16 y2 12 2 法一 由 1 知F1 2 0 F2 2 0 直线AF1的方程y x 2 即 3x 4y 6 0 3 4 直线AF2的方程为x 2 设P x y 为角平分线上任意一点 则点P到两直线的距离相等 即 x 2 3x 4y 6 5 3x 4y 6 5 x 2 或 3x 4y 6 5 2 x 即x 2y 8 0 或 2x y 1 0 由图形知 角平分线的斜率为正数 故所求 F1AF2的平分线所在直线方程为 2x y 1 0 法二 设AM平分 F1AF2 则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称 由题意知直线AM的斜率存在且不为 0 设为k 则直线AM方程y 3 k x 2 由 1 知F1 2 0 F2 2 0 直线AF1方程为y x 2 即 3x 4y 6 0 3 4 设点F2 2 0 关于直线AM的对称点F2 x0 y0 则Error 解之得F2 6k 2k2 2 1 k2 6 1 k2 直线AF1与直线AF2关于直线AM对称 点F2 在直线AF1上 即 3 4 6 0 6k 2k2 2 1 k2 6 1 k2 解得k 或k 2 1 2 由图形知 角平分线所在直线方程斜率为正 k 舍去 1 2 故 F1AF2的角平分线所在直线方程为 2x y 1 0 法三 A 2 3 F1 2 0 F2 2 0 4 3 0 3 AF1 AF2 4 3 0 3 AF1 AF2 AF2 AF2 1 5 1 3 1 2 4 5 kl 2 l y 3 2 x 2 即 2x y 1 0 点评 因为l为 F1AF2的平分线 与的单位向量的和与l共线 从而可由 AF1 AF2 的单位向量求得直线l的一个方向向量 进而求出其斜率 AF1 AF2 理 2010 湖北黄冈 已