江苏省2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷16

1 卷卷 1616 一一 填填空空题题 本本大大题题共共1 14 4小小题题 每每小小题题5 5分分 合合计计7 70 0分分 请请把把答答案案直直接接填填写写在在答答题题纸纸相相应应位位置置 上上 1 已知复数 12 1 2zi zi 那么 12 zz 的值是 3i 2 集合 22 Ax xxR 2 12By yxx 则 R CAB 0 0 3 一个算法的流程图如图所示 则输出的S值为 45 4 如图 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为2 O为底面正方形ABCD的中心 则三 棱锥 1 BBCO的体积为 2 3 5 已知 2 3 1 2 ababab 则 5 3 6 已知实数x y 满足 22 052yxyx 那么的最小值为 5 7 由命题 存在x R 使 2 20 xxm 是假命题 求得m的取值范围是 a 则实数a的值是 1 8 已知函数 0 cossinf xfxx 则函数 xf在 2 0 x处的切线方程是 x y 1 2 0 9 在数列 n a中 已知 12 2 3aa 当2n 时 1n a 是 1nn aa 的个位数 则 2010 a 4 10 已知函数xxxf2 2 x a b 的值域为 1 3 则ba 的取值范围 1 B 1 C 1 A A 1 D D C B O 第 4 题 2 是 2 4 11 若 m n l 是互不重合的直线 是互不重合的平面 给出下列命题 若 nnnmm或则 若nmnm 则 若 m 不垂直于 不可能垂直于则m 内的无数条直线 若 nnnnnmm且则且 若lnlmnmlnm 则且 其中正确命题的序号是 12 如图 在平面四边形ABCD中 若 3 2ACBD 则 ABDCACBD 5 13 对正整数n 设曲线 1 xxy n 在2x 处的切线与y轴交点的纵坐标为 n a 则数列 1 n an 的前n项和的公式是 1 22 n 14 若 22 1 5Oxy 与 22 2 20 OxmymR 相交于 A B 两点 且两圆在点 A 处的切线互相垂直 则线段 AB 的长度是 4 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 设 ABC 的三个内角 A B C 对边分别是a b c 已知 sin3cos ab AB 1 求角 B 2 若 A 是 ABC 的最大内角 求ACBsin3 cos 的取值范围 15 解 1 在 ABC中 由正弦定理 得 sinsin ab AB 2 分 3 又因为 sin3cos ab AB 所以sin3cosBB 4 分 所以tan3B 又因为0 B 所以 3 B 6 分 2 在 ABC中 BCA 所以cos 3sin3sincosBCAAA 2sin 6 A 10 分 由题意 得 3 A 2 3 6 6 A 2 所以 sin 6 A 1 1 2 即 2sin 6 A 1 2 所以ACBsin3 cos 的取值范围 1 2 14 分 16 本小题满分 14 分 如图 在棱长为的正方体 1111 ABCDABC D 中 P为线段 1 AD上的点 且满足 1 0 D PPA 当1 时 求证 平面 11 ABC D 平面PDB 试证无论 为何值 三棱锥 1 DPBC 的体积恒为定值 16 证明一 正方体 1111 ABCDABC D 中 AB 面 11 AAD D 又 11 ABABC D 平面 11 ABC D 平面 11 AAD D 4 分 1 时 P为 1 AD的中点 1 DPAD 又 平面 11 ABC D 平面 11 AAD D 1 AD DP 平面 11 ABC D 又DP 平面PDB 平面 11 ABC D 平 面PDB 7 分 证明二 如图 以点D为坐标原点 建立如图所示的坐标系 当1 时 即点P为线段 1 AD的中点 则 11 0 22 P 又 0 0 0 D 1 1 0 B 11 0 22 PD 11 1 22 PB 设平面PDB的法向量为 nx y z 2 分 则 0 0 PD n PB n 即 11 00 22 11 0 22 xz xyz 令1y 解得 1 1 1 n 4 分 又 点P为线段 1 AD的中点 1 DPAD DP 平面 11 ABC D 平面 11 ABC D的法向量为 11 0 22 PD 5 分 4 11 00 22 PD n 平面 11 ABC D 平面PDB 7 分 11 ADBC P为线段 1 AD上的点 三角形 1 PBC的面积为定值 即 1 12 2 1 22 PBC S 10 分 又 CD平面 11 ABC D 点D到平面 1 PBC的距离为定值 即 2 2 h 12 分 三棱锥 1 DBPC 的体积为定值 即 11 11221 33226 D PBCPBC VSh 17 本小题满分 15 分 为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻关 采用 了新工艺 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨 最多为 600 吨 月处理成本y 元 与月处理量x 吨 之间的函数关系可近似的表示 为 2 1 20080000 2 yxx 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元 1 该单位每月处理量为多少吨时 才能使每吨的平均处理成本最低 2 该单位每月能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不获利 则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损 17 解 1 由题意可知 二氧化碳的每吨平均处理成本为 180000 200 2 y x xx 4 分 180000 2200200 2 x x 当且仅当 180000 2 x x 即400 x 时 才能使每吨的平均处理成本最低 最低成本为200元 8 分 2 设该单位每月获利为S 则100Sxy 10 分 22 11 100 20080000 30080000 22 xxxxx 2 1 300 35000 2 x 因为400600 x 所以当400 x 时 S有最大值40000 故该单位不获利 需要国家每月至少补贴40000元 才能不亏损 15 分 18 本小题满分 15 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 a 1 且 1 22 nn aS n N 1 求 2 a 3 a的值 并求数列 n a的通项公式 5 2 解不等式 1 3 n n i i S a n N 18 1 211 2223aSa 2 3 2 a 1 分 3212 9 222 2 aSaa 3 9 4 a 2 分 1 22 nn aS 1 22 nn aS n 2 两式相减 得 11 22 nnnn aaSS 1 22 nnn aaa 则 1 3 2 nn aa n 2 4 分 21 3 2 aa 1 3 2 nn aa n N 5 分 1 10a n a为等比数列 1 3 2 n n a 7 分 2 1 32 3 3 n n a 数列 3 n a 是首项为 3 公比为 2 3 等比数列 8 分 数列 3 n a 的前 5 项为 3 2 4 3 8 9 16 27 n a的前 5 项为 1 3 2 9 4 27 8 81 16 n 1 2 3 时 1 3 n n i i S a 成立 11 分 而n 4 时 1 3 n n i i S a 12 分 n 5 时 3 n a 1 an 1 1 3 n n i i S a 14 分 不等式 1 3 n n i i S a n N的解集为 1 2 3 15 分 19 本题满分 16 分 已知直线0543 1 yxl 圆4 22 yxo 1 求直线 1 l被圆O所截得的弦长 2 如果过点 1 2 的直线 2 l与 1 l垂直 2 l与圆心在直线02 yx上的圆M相切 圆M被直线 1 l分成两段圆弧 其弧长比为 2 1 求圆M的方程 6 19 1 解法一 圆心O到直线l1的距离d 1 1 分 圆O的半径r 2 2 分 所以半弦长为 4 分 22 123 故直线l1被圆O所截得的弦长为 2 5 分 3 解法二 解方程组得或 2 分 3x 4y 5 0 x2 y2 4 直线l1与圆O的交点是 故直线l1被圆O所截得的弦长 2 5 分 3 2 因为过点 1 2 的直线l2与l1垂直 直线l1的方程为 3x 4y 5 0 所以直线l2的方程为 4x 3y 10 0 7 分 设圆心M的坐标为 a b 圆M的半径为R 则a 2b 0 因为圆M与直线l2相切 并且圆M被直线l1分成两段圆弧 其弧长比为 2 1 所以 R R 4a 3b 10 5 3a 4b 5 5 1 2 所以 2 9 分 4a 3b 10 5 3a 4b 5 5 可得 4a 3b 10 2 3a 4b 5 或 4a 3b 10 2 3a 4b 5 即 2a 11b 20 0 或 2a b 0 由 联立 可解得a b 8 3 4 3 所以R 故所求圆M的方程为 x 2 y 2 12 分 10 3 8 3 4 3 100 9 由 联立 可解得a 0 b 0 所以R 2 故所求圆M的方程为x2 y2 4 14 分 综上 所求圆M的方程为 x 2 y 2 或x2 y2 4 15 分 8 3 4 3 100 9 20 本小题满分 16 分 已知函数 32 f xaxbxba x a b不同时为零的常数 导函数为 fx 1 当 1 3 a时 若存在 3 1 x使得 0fx 成立 求 的取值范围 2 求证 函数 yfx 在 1 0 内至少有一个零点 3 若函数 f x为奇函数 且在1 x处的切线垂直于直线230 xy 关于x的方程 1 4 f xt 在 1 1 tt上有且只有一个实数根 求实数的取值范围 20 解 1 当 1 3 a时 fx 3 1 2 2 bbxx 3 1 22 bbbx 其对称轴为直线xb 当 2 3 0 b f 解得 26 15 b 当 2 1 0 b f b无解 所以b的的取值范围为 26 15 4 分 7 2 因为 2 32 fxaxbxba 法一 当0 a时 2 1 x适合题意 6 分 当0 a时 0 1 23 2 a b x a b x 令 a b t 则0 1 23 2 ttxx 令 2 32 1 h xxtxt 因为 11 0 24 h 当1 t时 0 10ht 所以 yh x 在 1 0 2 内有零点 当1 t时 1 210ht 所以 yh x 在 2 1 1 内有零点 因此 当0 a时 yh x 在 1 0 内至少有一个零点 综上可知 函数 yfx 在 1 0 内至少有一个零点 10 分 法二 0 fba 1 2fab 12 33 ba f 由于 a b不同时为零 所以 1 1 0 3 ff 故结论成立 3 因为 f x 32 axbxba x 为奇函数 所以0b 所以 f x axax 3 又 f x在1 x处的切线垂直于直线230 xy 所以1 a 即 3 f xxx 因为 33 3 33 fxxx 所以 f x在 33 33 上是増函数 在 33 33 上是减函数 由 0f x 解得1 0 xx 如图 所示 所以所求的取值范围是0 2 3 t或 3 0 2 t 当 3 1 3 t时 1 0 4 f tt 即 4 3 t tt 解得 3 3 2 3 t 当 3 0 3 t时 1 0 4 f tt 解得0 3 3 t 当0 t时 显然不成立 8 当 3 3 0 t时 1 0 4 f tt 即 4 3 t tt 解得 3 3 0 t 当 3 3 t时 1 0 4 f tt 故 33 32 t 附加题 附加题 2121 选做题 本题包括 A B C D 共 4 小题 请从这 4 题中选做 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 请在答题卡上准确填涂题目标记 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O 上一点 AE AC 求证 PDE POC 证明证明 因AE AC AB为直径 故 OAC OAE 3 分 所以 POC OAC OCA OAC OAC EAC 又 EAC PDE 所以 PDE POC 10 分 B 选修 4 2 矩阵与变换 试求曲线xysin 在矩阵MNMN变换下的函数解析式 其中M M 20 01 N N 10 0 2 1 解解 MNMN 20 01 10 0 2 1 20 0 2 1 4 分 即在矩阵MNMN变换下 y x y x y x 2 2 1 6 分 即曲线xysin 在矩阵MNMN变换下的函数解析式为xy2sin2 10 分 9 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线的参数方程 1 2 xt yt 为参数 和圆C的极坐标方程 4 sin 22 1 将直线的参数方程化为普通方程 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程 2 判断直线和圆C的位置关系 解解 消去参数 得直线的普通方程为12 xy 2 分 4 sin22 即 cos sin2 两边同乘以 得 cossin 2 2 2 1 1 22 xx 6 分 2 圆心C到直线的距离2 5 52 12 112 22 d 所以直线和 C相交 10 分 D 选修 4 5 不等式选讲 已知x y z均为正数 求证 111 y xz yzzxxyxyz 证明证明 因为x y z都是为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 3 分 同理可得 22yzzx zxxyx xyyzy 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 111xyz yzzxxyxyz 10 分 10 2222 必做题 本题满分 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 甲 乙 丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试 考试分笔试和面试两部分 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生 可在高考中加分录取 两次考试过程相互 独立 根据甲 乙 丙三个同学的平时成绩分析 甲 乙 丙三个同学能通过笔试的概率分 别是 0 6 0 5 0 4 能通过面试的概率分别是 0 5 0 6 0 75