2011高考数学总复习 6.6 不等式的应用夯实基础 大纲人教版

1 6 6 不等式的应用不等式的应用 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 运用均值不等式求最值最常见的有两类 1 已知某些变量 正数 的积为定值 求和的最小值 公式 a b 2ab 公式中条件是 a b R 积 ab 为定值 a b 时取等号 2 已知某些变量 正数 的和为定值 求积的最大值 公式 ab 2 ba 2 2 22 ba 上述公式中等号成立的条件是 a b 2 某些函数单调性的判断往往渗透着不等式性质的应用 而单调性定义证明函数单调 性也就是证明不等式 3 求函数定义域 往往直接归结为解不等式或不等式组 求函数值域的常用方法是 1 用均值不等式 2 利用单调性 3 配方法 4 换元法 4 三角 数列 立体几何和解析几何中的最大最小值问题 都与不等式有密切关系 高考中的应用问题 多数可归结为不等式问题 这些问题大致分为两类 一类是建立不等 式 解不等式 另一类是建立函数式求最大值或最小值 函数求最值的常见途径有 1 利用 几何意义 2 利用判别式 3 利用变量的有界性 4 建立函数单调性 5 利用均值不等 式等 二 点击双基二 点击双基 1 理 函数 y 1 22 2 x xx x 1 的图象最低点坐标是 A 1 2 B 1 2 C 1 1 D 0 2 解析 y 1 1 1 2 x x x 1 1 1 x 2 此时 x 0 答案 D 文 已知 a b c 0 若 P a cb Q b ca 则 A P Q B P Q C P Q D P Q 解析 特殊值检验 a 3 b 2 c 1 P 3 1 Q 1 P d c 0 和 ad0 y 0 5 x y 2xy xy 2 5 2 当且仅当 x y 2 5 时等号成立 故 lgx lgy lgxy lg 2 5 2 2 4lg2 答案 2 4lg2 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 为了竖一块广告牌 要制造三角形支架 三角形支架如图 要求 ACB 60 BC 长度大于 1 米 且 AC 比 AB 长 0 5 米 为了广告牌稳固 要求 AC 的长度越短越好 求 AC 最短为多少米 且当 AC 最短时 BC 长度为多少米 解 设 BC a a 1 AB c AC b b c 2 1 c2 a2 b2 2abcos60 将 c b 2 1 代入得 b 2 1 2 a2 b2 ab 化简得 b a 1 a2 4 1 a 1 a 1 0 b 1 4 1 2 a a 1 4 3 22 1 2 a aa a 1 1 4 3 a 2 3 2 当且仅当 a 1 1 4 3 a 时 取 即 a 1 2 3 时 b 有最小值 2 3 3 例 2 函数 y 1 2 2 x bax 的最大值为 4 最小值为 1 求常数 a b 的值 剖析 由于函数是分式函数 且定义域为 R 故可用判别式法求最值 解 由 y 1 2 2 x bax 去分母整理得 yx2 2ax y b 0 对于 有实根的条件是 0 即 2a 2 4y y b 0 y2 by a2 0 又 1 y 4 y2 by a2 0 的两根为 1 和 4 41 41 2 a b 解得 3 2 b a 或 3 2 b a 讲评 这是关于函数最大值 最小值的逆向题 链接链接 拓展拓展 已知 x y R 且 x 2 y 8 1 求 x y 的最小值 本题不难求解 读者不妨求解 由本题的启发 你能解下列问题吗 已知 a b 是正常数 a b 10 又 x y R 且 x a y b 1 x y 的最小值为 18 求 a b 的值 略解 x y x y x 2 y 8 10 x y2 y x8 10 2 y x x y82 18 当且仅当 x y2 y x8 时取等号 由 22 4 1 82 xy yx解得 12 6 y x 当 x 6 y 12 时 x y 的最小值为 18 同上题 x y x y x a y b a b x ay y bx a b 2ab 由 10 182 ba abba 得 8 2 b a 或 2 8 b a 例 3 1 已知 a b 是正常数 a b x y 0 求证 x a 2 y b2 yx ba 2 并指出等 4 号成立的条件 2 利用 1 的结论求函数 f x x 2 x21 9 x 0 2 1 的最小值 并指出取最小值时 x 的 值 1 证明 x a 2 y b2 yx ba 2 222 yxxy baxyyxxbyxya 2 22222222 yxxy xybabxyxyaxybxbyaxya 2 yxxy bxay 0 x a 2 y