函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析

函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析 考情分析考情分析 1 函数是高考数学的重点内容之一 函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要 的主线 选择 填空 解答三种题型每年都有函数题的身影频现 而且常考常 新 以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势 函数的 图象也是高考命题的热点之一 近几年来 考查用导数工具研究函数性质的综合 题基本已经定位到压轴题的位置了 2 对于函数部分考查的重点为 函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性对称性 和函数的图象 指数函数 对数函数的概念 图象和性质 应用函数知识解决一些 实际问题 导数的基本公式 复合函数的求导法则 可导函数的单调性与其导数的 关系 求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 常见题型及解法常见题型及解法 1 常见题型常见题型 一 一 小题 小题 1 函数的图象 2 函数的性质 单调性 奇偶性 周期 性 对称性 3 分段函数求函数值 4 函数的定义域 值域 最值 5 函数的零点 6 抽象函数 7 定积分运算 求面积 二 大题 二 大题 1 求曲线在某点处的切线的方程 yf x 2 求函数的解析式 3 讨论函数的单调性 求单调区间 4 求函数的极值点和极值 5 求函数的最值或值域 6 求参数的取值范围 7 证明不等式 8 函数应用问题 2 在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论 需要熟记需要熟记 2012 高考数学高考数学专题专题复复习习 第 第 2 轮轮 难点突破 难点突破 1 曲线在处的切线的斜率等于 且切线方程为 yf x 0 xx 0 fx 000 yfxxxf x 2 若可导函数在 处取得极值 则 反之 不成立 yf x 0 xx 0 0fx 3 对于可导函数 不等式的解集决定函数的递增 减 区间 f x fx 0 0 f x 4 函数在区间 I 上递增 减 的充要条件是 恒成立 不恒 f xxI fx 0 0 fx 为 0 5 函数 非常量函数 在区间 I 上不单调等价于在区间 I 上有极值 则可等 f x f x 价转化为方程在区间 I 上有实根且为非二重根 若为二次函数且 0fx fx I R 则有 0 6 在区间 I 上无极值等价于在区间在上是单调函数 进而得到或 f x f x fx 0 在 I 上恒成立 fx 0 7 若 恒成立 则 若 恒成立 则xI f x0 min f x0 xI f x0 max f x0 8 若 使得 则 若 使得 则 0 xI 0 f x0 max f x0 0 xI 0 f x0 min f x0 9 设与的定义域的交集为 D 若D 恒成立 则有 f x g xx f xg x min 0f xg x 10 若对 恒成立 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmax f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmin f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x maxmax f xg x 11 已知在区间 上的值域为 A 在区间上值域为 B f x 1 I g x 2 I 若对 使得 成立 则 11 xI 22 xI 1 f x 2 g xAB 12 若三次函数 f x 有三个零点 则方程有两个不等实根 且极大值大 0fx 12 xx 于 0 极小值小于 0 13 证题中常用的不等式 ln1 0 xxx ln 1 1 xxx 1 x ex 1 x ex ln1 1 12 xx x x 22 ln11 0 22 x x xx 3 解题方法规律总结解题方法规律总结 1 关于函数单调性的讨论 大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数 因此 讨论函数单调性的问题 又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题 要结 合函数图象 考虑判别式 对称轴 区间端点函数值的符号等因素 2 已知函数 含参数 在某区间上单调 求参数的取值范围 有三种方法 子区间法 分离参数法 构造函数法 3 注意分离参数法的运用 含参数的不等式恒成立问题 含参数的不等式在某区间 上有解 含参数的方程在某区间上有实根 包括根的个数 等问题 都可以考虑用 分离参数法 前者是求函数的最值 后者是求函数的值域 4 关于不等式的证明 通常是构造函数 考察函数的单调性和最值 有时要借助上一 问的有关单调性或所求的最值的结论 对其中的参数或变量适当赋值就可得到所 要证的不等式 对于含有正整数 n 的带省略号的不定式的证明 先观察通项 联 想基本不定式 上述结论中的 13 确定要证明的函数不定式 往往与所给的 函数及上一问所得到的结论有关 再对自变量 x 赋值 令 x 分别等于 1 2 n 把这些不定式累加 可得要证的不定式 5 关于方程的根的个数问题 一般是构造函数 有两种形式 一是参数含在函数式中 二是参数被分离 无论哪种形式 都需要研究函数在所给区间上的单调性 极值 最值以及区间端点的函数值 结合函数图象 确立所满足的条件 再求参数或其 取值范围 基本练习题讲练基本练习题讲练 例例 1 1 龟兔赛跑 讲述了这样的故事 领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟 骄傲起来 睡了一觉 当它醒来时 发现乌龟快到终点了 于是急忙追赶 但为时已晚 乌龟还是先到达了终点 用 S1 S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程 t 为时 间 则下图与故事情节相吻合的是 A B C D 答案 B 解析 在选项 B 中 乌龟到达终点时 兔子在同一时间的路程比乌龟短 点评 函数图象是近年高考的热点的试题 考查函数图象的实际应用 考查学生解决 问题 分析问题的能力 在复习时应引起重视 例例 2 山东高考题 山东高考题 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区 间 0 2 上是增函数 若方程在区间上有四个不同的 0 f xm m 8 8 根 1234 x x x x 则 1234 xxxx 答案答案 8 解析解析 因为定义在 R 上的奇函数 满 足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所以 由 8 6 4 2 0 2 4 6 8 y x f x m m 0 xf为奇函数 所以函数图象关于直线2x 对称且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为 xf在区间 0 2 上 是增函数 所以 xf在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x xx x 不妨 设 1234 xxxx 由对称性知 12 12xx 34 4xx 所以 1234 1248xxxx 点点评评 本题综合考查了函数的奇偶性 单调性 对称性 周期性 以及由函数图象解答 方程问题 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 例 3 若是方程的解 是 的解 则的值为 1 xlg3xx 2 x310 x x 21 xx A B C 3 D 2 3 f 3 3 2 3 1 解析 作出的图象 交点横坐标为 而 123 lg 3 10 xyx yx y 2 3 yx yx 3 2 答案 C 12 3 23 2 xx 点评 该题考查了指数函数 对数函数的图象及性质 综合了函数的图象 方程的解 及曲线的交点等问题 指数函数 对数函数是两类重要的基本初等函数 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基 又考查对蕴含其中的函数 思想 等价转化 分类讨论等思想方法的理解与运用 例 4 若函数有两个零点 则实数的取值范围是 01 x f xaxa aa 且a 解析 设函数和函数 则函数 01 x yaaa 且yxa x f xaxa 有两个零点 就是函数与函数 01 aa 且 01 x yaaa 且 有两个交点 由图象可知 当时两函数只有一个交点 不符yxa 10 a 合 当时 因为函数的图象过点 0 1 而直线所过的1 a 1 x yaa yxa 点一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数 a 的取值范围是 答案 1 a1 a 点评 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的 考查 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答 体现了对分 类讨论思想的考查 分类讨论时 要注意该分类时才分类 务必要全面 例 5 已知偶函数 f x在区间 0 单调递增 则满足 21 fx 1 3 f的 x 取值范围 是 A 1 3 2 3 B 1 3 2 3 C 1 2 2 3 D 1 2 2 3 解析 由于 f x 是偶函数 故 f x f x 得 f 2x 1 f 1 3 再根据 f x 的单调性 得 2x 1 1 3 解得 1 3 x 2 3 答案 B 点评 该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式 体现的对转化 思想的考查 同时还综合考查了函数的性质 而该题的转化的依据就是函数 的奇偶性和单调性 考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程 不等式 等的综合不但是一个热点 而且成了一个固定的必考题型 例例 6 6 某单位用 2160 万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少 10 层 每 层 2000 平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为 x x 10 层 则每平方 米的 平均建筑费用为 560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综 合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 建筑总面积 购地总费用 解析解析 设楼房每平方米的平均综合费为 元 依题意得 y 2160 1000010800 56048 56048 10 2000 yxxxxN xx 则 令 即 解得 2 10800 48y x 0y 2 10800 480 x 15x 当时 当时 15x 0y 015x 0y 因此 当时 取得最小值 元 15x y min 2000y 答 为了使楼房每平方米的平均综合费最少 该楼房应建为 15 层 点点评评 这是一题应用题 利用函数与导数的知识来解决问题 利用导数 求函数的单 调性 求函数值域或最值是一种常用的方法 典型题剖析及训练典型题剖析及训练 例 1 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 lnf xaxbaxx 2f e 求实数 b 的值 求函数 f x 的单调区间 当 a 1 时 是否同时存在实数 m 和 M m M 使得对每一个 t m M 直线 y t 与曲线 都有公共点 若存 1 yf xxe e 在 求出最小的实数 m 和最大的实数 M 若不存在 说明理由 解析 b 2 a 0 时单调递增区间是 1 单调递减区间是 0 1 a 0 时单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 存在 m M m 的最小值为 1 M 的最大值为 2 例 2 已知函数图象上一点 处的切线方程为 2 lnf xaxbx 2 2Pf 32ln22yx 1 求的值 ab 2 设 求证 对于任意的 有 2 2g xxx 0 x f xg x 3 若方程在 上有两个不等实根 求 m 的取值范围 0f xm 1 e e 其中 e 为自然对数的底数 解 1 由已知 所以 易知 2 a fxbx x 2 4 2 a fb 2 ln24fab 所以函数的图象在点 处的切线方程为 2 lnf xaxbx 2 2Pf 即 ln244 2 2 a yabbx 44ln2 2 a yb xaba 由题意得 243 2 1 4ln22ln22 a ab b aba 2 由 1 知 令 2 2lnf xxx 0 F xf xg xx 则 所以 2 2ln220 F xxxx x 2 42F xx x 令 得 0F x 1x 当时 递增 0 1x 0F x F x 当时 递减 1 x 0F x F x 所以当时 函数取得最大值 且 1x F x max 1 0F xF 故对 都有 即 0 x 0F x f xg x 3 记 2 1 2ln h xf xmxxm xe e 则 令 得 22 1 1 2 xx h xx xx 0h x 1x 当时 递增 当时 递减 1 1x e 0h x h x 1 xe 0h x h x 为使方程在 上有两个不等实根 0f xm 1 e e 则有 2 2 2 11 20 1 1 1012 20 hm ee hmm e h eem 所以实数 m 的取值范围是 2 1 1 2 e 另解 方程在 上有两个不等实根等价于 0f xm 1 e e 方程在 上有两个不等实根 mf x 1 e e 记 则 2 1 2ln h xf xxx xe e 2 1 1 xx h x x 令 得 当时 递减 0h x 1x 1 1x e 0h x h x 当时 递增 所以 1 xe 0h x h x min 1h xh x 又 显然 根据的图象 2 11 2h ee 2 2h ee 2 2 1 22e e h x 为使方程在 上有两个不等实根 则有 mf x 1 e e 2 1 12m e 例 3 设函数 lnf xx a g x x F xf xg x 1 求函数的单调区间 F x 2 若函数 图象上任意一点处的切线的斜率 03 yF xx 00 P xy 恒成立 求实数的取值范围 1 2 k a 3 若方程在区间上有唯一实数解 求实数的取值范围 f xmx 2 1 em 4 是否存在实数 t 使得函数的图象与函数 2 1 yf x 的图象恰好有 4 个不同的交点 若存在 求实数 t 2 2 1 1 a ygt x 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 当时 的的递增区间为 0a F x 0 当时 的递减区间为 递增区间为0a F x 0 a a 2 由已知 对 恒成立 2 1 a F x xx 0 0 3 x 2 00 11 2 a xx 即对恒成立 2 00 1 2 axx 0 0 3 x 当时 在时取得最大值 所以 0 0 3 x 2 00 1 2 xx 0 1x 1 2 1 2 a 3 方程在区间上有唯一实数解等价于 f xmx 2 1 e 方程在区间上有唯一实数解 ln x m x 2 1 e 记 则 令 得 2 ln 1 x h xxe x 2 1 ln x h x x 0h x xe 当时 递增 1 xe 0h x h x 当时 递减 所以 2 xee 0h x h x max 1 h xh e e 易求得 1 0h 2 2 2 h e e 为使方程在区间上有唯一实数解 ln x m x 2 1 e 则直线与函数的图象有唯一交点 ym ln x yh x x 根据的图象可知 或 h x 1 m e 2 2 0m e 故的取值范围是 m 2 21 0 ee 4 设 则 2 2 2 1 1 1 a G xf xgt x 22 11 ln 1 22 G xxxt 令 得 22 2 1 1 11 xx xx G xx xx 0G x 列表如下 1 1x 2 0 x 3 1x x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 G x 0 0 0 G x A 极大值 A 极小值 A 极大值 A 由上表可知 当时 函数取得极大值 当时 函数1x G xln2t 0 x 取得极小值 当时 函数取得极大值 且当 G x 1 2 t 1x G xln2t 时 x G x 为使函数的图象与函数的图象恰好有 4 个 2 1 yf x 2 2 1 1 a ygt x 不同的交点 则函数有 4 个零点 所以函数的极大值大于 0 极小值小 G x 于 0 即 ln20 1 ln2 1 20 2 t t t 故存在实数 t 满足题设条件 且 t 的取值范围是 1 ln2 2 例例 4 2009 全国全国 I 设函数 32 33f xxbxcx 在两个极值点 12 xx 且 12 10 1 2 xx I 求bc 满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的 点 b c的区域 II 证明 2 1 10 2 f x 解析 I 2 363fxxbxc 由题意知 方程 0fx 有两个根 12 xx 且 12 1 0 1 2 xx 则有 10f 00 f 1020ff 故有 210 0 210 440 bc c bc bc 右图中阴影部分即是满足这些条件的 点 b c的区域 II 由题意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33fxxbxcx 消去b可得 3 222 13 22 c fxxx 易知 关于递减 2 f x 2 x 因为 2 1 2 x 2 13 43 22 c cf x 而 2 0 c 2 1 10 2 f x 例 5 已知函数 ln a f xx x g xx 1 x F xfeg x xR 1 若函数的图象上任意一点处的切线的斜率都不大于 求 f x 00 P xy 1 2 实数 的取值范围 a 2 当时 若且 证明 0a 12 xxR 12 xx 1212 22 xxF xF x F 求的值 m 解析 1 的定义域为 f x 0 2 1 a fx xx 依题意 对恒成立 0 2 00 11 2 a fx xx 0 0 x 即恒成立 所以 2 00 1 2 axx 2 00 max 1 2 axx 而 其最大值为 所以 2 2 000 111 1 222 xxx 1 2 1 2 a 2 当 a 0 时 于是 ln 1 x F xexxR 12 12 1 22 xx FF xF x 12 122 1 ln 1ln 1 1 2 xx xx eee 12 12 2 2 1 1 1 xx xx eee 因为 由基本不等式可得 12 122 2 xx xx eee 12 xx 故题设不等式得证 12 12122 22 xx xxxx eee ee 3 法一 当 a 0 时 关于 x 的方程有唯一解等价于方程 2 1 2 m f xg xx 有唯一解 2 2ln20 xmxmx 设 则 2 2ln2h xxmxmx 0m 2 222 xmxm h x x 令 即 求得 0h x 2 0 xmxm 2 0 4 2 mmm x 当时 递减 当时 递 0 0 xx 0h x h x 0 xx 0h x h x 增 所以 当时 取得最小值 0 xx h x 0 h x 若是方程的唯一解 则有 0 x 2 2ln20 xmxmx 0 0 0 0 h x h x 即 显然 2 000 2 00 2ln20 0 xmxmx xmxm 00 ln10 xx 0 1x 而函数单调递增 所以是方程的唯一解 ln1 0 p xxxx 0 1x 又 所以 求得 2 0 4 2 mmm x 2 4 1 2 mmm 1 2 m 法一 当 a 0 时 关于 x 的方程有唯一解等价于方程 2 1 2 m f xg xx 在上有唯一解 设 2 11ln 2 x mxx 0 2 1ln 0 x h xx xx 则 令 求得 233 112ln 1 2ln xxx h x xxx 0h x 1x 当时 函数递增 当时 函 0 1 x 0h x h x 1 x 0h x 数 递减 所以当时 取得最大值 为使方程 h x1x h x 1 1h 有唯一解 又 m 0 故有 所以 2 11ln 2 x mxx 1 1 2m 1 2 m 例 6 2011 湖南湖南 文文 22 设函数 1 ln f xxax aR x I 讨论 f x的单调性 II 若 f x有两个极值点 12 xx和 记过点 1122 A xf xB xf x的直线的斜率为 k 问 是否存在a 使得2 ka 若存在 求出a的值 若不存在 请 说明理由 解析 I 的定义域为 f x 0 2 22 11 1 axax fx xxx 令 其判别式 2 4 a A 2 1g xxax 当 2 0 0 afx A时 故 0 f x 在 上单调递增 当2a A时 0 g x 0的两根都小于 0 在 0 上 0fx 故 0 f x 在上单调递增 当2a A时 0 g x 0的两根为 22 12 44 22 aaaa xx 当 1 0 xx 时 0fx 当 12 xxx 时 0fx 当 2 xx 时 0fx 故 f x分别在 12 0 xx 上单调递增 在 12 x x 上单调递减 II 由 I 知 2a 因为 12 121212 1 2 lnln xx f xf xxxaxx x x 所以 1212 121 212 lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx A 又由 I 知 12 1x x 于是 12 12 lnln 2 xx ka xx A 若存在a 使得2 ka 则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx 亦即 222 2 1 2ln0 1 xxx x 再由 I 知 函数 1 2lnh ttt t 在 0 上单调递增 而 2 1x 所以 22 2 11 2ln12ln10 1 xx x 这与 式矛盾 故不存在a 使得2 ka 例例 7 2011 辽宁 辽宁 已知函数 xaaxxxf 2 ln 2 I 讨论的单调性 xf II 设 证明 当时 0 a 1 0 x a 11 fxfx aa III 若函数的图像与 x 轴交于 A B 两点 线段 AB 中点的横坐标为 xfy x0 证明 x0 0 f 解析 I 1 21 1 0 2 2 xax f xfxaxa xx 的定义域为 若单调增加 0 0 0 afxf x 则所以在 若且当 1 0 0 afxx a 则由得 11 0 0 0 xfxxfx aa 时当时 所以单调增加 在单调减少 1 0 f x a 在 1 a II 设函数则 11 g xfxfx aa ln 1 ln 1 2 g xaxaxax 32 22 2 2 111 aaa x g xa axaxa x 当时 即递增 而 所以 1 0 x a 0g x g x 0 0g 0 0g xg 故当时 1 0 x a 11 fxfx aa III 由 I 可得 当的图像与 x 轴至多有一个交点 0 ayf x 时函数 故 从而的最大值为 且0a f x 1 f a 1 0f a 不妨设 则 1212 0 0 0A xB xxx 12 1 0 xx a 由 II 得 111 211 0 fxfxf x aaa 从而 由 I 知 12 210 21 2 xx xxx aa 于是 0 0 fx 例 8 2011 江苏江苏 19 已知 a b 是实数 函数 32 f xxaxg xxbx 和 是的导函数 若在区间 I 上恒成立 x f x g f xg x 0 xgxf 则称和在区间 I 上单调性一致 xf xg 1 设 若函数和在区间上单调性一致 求实数 b 的取0 a xf xg 1 值范围 2 设且 若函数和在以 a b 为端点的开区间上单 0 aba xf xg 调性一致 求的最大值 ab 解析 322 3 2f xxaxg xxbxfxxag xxb 1 因为函数和在区间上单调性一致 f x g x 1 所以 对恒成立 1 0 xfxg x 即恒成立 1 3 2 0 xxaxb 2 2 0 30 1 20axaxx b 即 故 b 的取值范围是 1 2xb b2x 2 2 法一 由得 0fx 3 a x 若 则由 于是和在区间0b 0a 0 0 0 0abfgab f x g x 上不是单调性一致 所以 ab0b 因为当时 当时 0 x 0g x 3 a x 0fx 当时 所以要使 0 3 a x 0fx 0fx g x 只有 即 33 aa ab 11 0 0 33 ab 所以 取 则 1 3 ab 1 0 3 ab 2 1 6 9 fx g xx x 当时 因此 1 0 3 x 0fx g x max 1 3 ab 法二 当时 因为 函数和在区间上单调性一致 ba f x g x ba 所以 即 xba 0fx g x xba 2 3 2 0 xaxb 因为 所以 故有 即0ba 20 xb 2 3xbaax 2 3bab 设 考虑点的可行域 函数的斜率为 1 的切线的切设为zab ba 2 3yx 则 得 从而 00 xy 0 61x 0 1 6 x 0 1 12 y max 111 1266 z 当时 因为 函数和在区间 a b 上单调性一致 所以 0ab f x g x 即 0 xabfxg x 3 2 0 xabxaxb 0 20bxabxb 2 3 xabax 2 3 aa 从而得 1 0 3 a max 1 3 ba 当时 因为 函数和在区间 a b 上单调性一致 所以 0ab f x g x 即 0 xabfxg x 3 2 0 xabxaxb 而 x 0 时 不符合题意 0 b 3 2 0 xaxbab 当时 由题意 易知 0ab 3 2 0 xabxaxb 所以 20 xabxb 30 xabxa 2 30 aa 11 0 33 aba 1 证明对任意的 c 都有 M 2 若 M K 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最大值 解析 I 2 2fxxbxc 由 f x在1x 处有极值 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若1 1bc 则 22 21 1 0fxxxx 此时 f x没有极值 若1 3bc 则 2 23 1 1 fxxxxx 列表如下 x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f x A极小值12 A 极大值 4 3 A 所以当1x 时 f x有极大值 4 3 故1b 3c 即为所求 法一 22 g xfxxbbc 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 2 1 1 12 1 2 4 4 Mggbcbcb 即2M 法二 反反证证法 法 因为 1b 所以函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 假设2M 则 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc 将上述两式相加得 4 1 2 12 4 4bcbcb 导致矛盾 2M 法一法一 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 由 1 1 4 ffb 有 2 1 1 0fbfb 若 10 b 则 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 若01b 则 1 1 fffb 1 max 1 ggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 综上 对任意的b c都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M 故 Mk 对任意的b c恒成立的k的最大值为 1 2 法二法二 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 1 2 12 2 Mggg hbcbcbc 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 即 1 2 M 下同解法 1 例 10 2010 湖北 湖北 已知函数的图象在点处的切 0 b f xaxc a x 1 1 f 线方程为1yx 1 用 表示出 b c a 2 若在上恒成立 求 的取值范围 lnf xx 1 a 3 证明 111 1ln 1 1 232 1 n nn nn 解析解析 1 2 b fxa x 则有 0 1 f labc flab 解得 1 2 ba cla 2 由 知 1 1 2 a f xaxa x 设 1 ln1 2ln a g xf xxaxax x 1 x 易知 1 1 0g 则 2 222 1 1 11 1 a a xx aaxxa a g xa xxxx 令 求得 1 或 0g x x x 1a a 若 1 1 a a 即 1 2 oa 当 1 1 a x a 时 0g x g x是减函数 所以 g xg lo 有 故 lnf xx 在 1 上不恒成立 lnf xx 若 1 a l a 即 1 2 a 当 1x 时 g x是增函数 所以 0g x 故 lnf xx 恒成立 1 0g xg 综上所述 所求a的取值范围为 1 2 3 解法一 由 2 知 当时 有 1 2 a ln1f xxx 令 有 当时 1 2 a 11 ln1 2 f xxxx x 1x 11 ln 2 xx x 令 有 1k x k 11 11 11 ln 2121 kkk kkkkk 即 1 11 ln 1 ln1 2 3 21 kkkn kk 将上述n个不等式累加得 11111 ln 1 2232 1 k nn 即 111 1ln 1 232 1 n n nn 解法二 用数学用数学归纳归纳法法证证明明 当1n 时 左边1 右边 1 ln21 4 不等式成立 假设nk 时不等式成立 即 111 1ln 1 232 1 k k kk 则 111112 1ln 1 ln 1 2312 1 12 1 kk kk kkkkk 由 2 知 当 1 2 a 时 有 ln 1 f xx x 令 1 2 a 有 11 ln 1 2 f xxx x x 令 2 1 k x k 得 1212 lnln 2 ln 1 2121 kkk kk kkk 21 ln 1 ln 2 2 1 2 2 kk kk kk 所以 11111 1ln 2 2312 2 k k kkk 就是说 当1nk 时 不等式也成立 根据 和 可知不等式对任何nN 都成立 例 11 2011 湖南湖南 理理 已知函数 g fx 3 xxxx 1 求函数的零点个数 并说明理由 h xf xg x 2 设数列 满足 证明 存在 n anN 1 0 aa a 1 nn f ag a 常数 M 使得对于任意的 都有 nN n aM 解 1 由 知 3 h xxxx 0 x 而 且 0 0h 1 10 2 620hh 则为的一个零点 且在内有零点 0 x h x h x12 因此至少有两个零点 易知 h x 1 2 2 1 31 2 h xxx 记 则 1 2 2 1 31 2 xxx 3 2 1 6 4 xxx 当时 因此在上单调递增 则 0 x 0 x x 0 x 在内至多只有一个零点 0 又因为 则在内有零点 3 1 0 0 3 x 3 1 3 所以在内有且只有一个零点 记此零点为 则当 x 0 1 x 时 当时 1 0 xx 1 0 xx 1 xx 1 0 xx 所以 当时 单调递减 而 1 0 xx h x 0 0h 则在内无零点 h x 1 0 x 当时 单调递增 则在内至多只有一个零 1 xx h x h x 1 x 点 从而 在内至多只有一个零点 h x 0 综上所述 有且只有两个零点 h x 2 记的正零点为 即 h x 0 x 3 000 xxx 当时 由 即 而 因此 0 ax 1 aa 10 ax 33 211000 aaaxxx 由此猜测 下面用数学归纳法证明 20 ax 0n ax 当时 显然成立 1n 10 ax 假设当时 有成立 则当时 由 1 nk k 0k ax 1nk 知 因此 当时 33 1000kkk aaaxxx 10k ax 1nk 成立 故对任意的 成立 10k ax nN 0n ax 当时 由 1 知 在上单调递增 则 0 ax h x 0 x 0 0h ah x 即 从而 即 由此猜测 3 aaa 33 211 aaaaaa 2 aa 下面用数学归纳法证明 n aa 当时 显然成立 1n 1 aa 假设当时 有成立 则当时 由 1 nk k k aa 1nk 知 因此 当时 33 1kkk aaaaaa 1k aa 1nk 成立 故对任意的 成立 1k aa nN n aa 综上所述 存在常数 使得对于任意的 都有 0 Mmax xa nN n aM 专题演练专题演练 1 函数 2 2 log 2 x y x 的图象 A 关于原点对称 B 关于主线yx 对称 C 关于y轴对称 D 关于直线yx 对称 2 定义在 R 上的偶函数的部分图象如右图所示 则 f x 在 上 下列函数中与的单调性不同的是 2 0 f x A B 2 1yx 1yx C D 3 21 0 1 0 xx y xx 0 x x exo y ex 3 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上是增函数 则 A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff 4 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 则 f 2009 的值为 5 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处 的切线方程是 6 已知函数且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f I 试用含 的代数式表示 ab 求的单调区间 f x 令 设函数在处取得极值 记点 1a f x 1212 x x xx 1122 M xf xN xf x 证明 线段与曲线存在异于 的公共点 MN f xMN 7 已知函数 32 22f xxbxcx 的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx I 求函数 f x的解析式 II 设函数 1 3 g xf xmx 若 g x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 g x取得极值时对应的自变量x的值 参考答案 1 答案 A 解析 由于定义域为 2 2 关于原点对称 又 f x f x 故函数为奇函数 图象 关于原点对称 选 A 2 答案 C 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 故可知求在上单 2 0 调递减 注意到要与的单调性不同 故所求的函数在上应单调递 f x 2 0 增 而函数在上递减 函数在时单调递减 函数 2 1yx 1 1yx 0 在 上单调递减 理由如下 y 3x2 0 x 0 故函数单 3 21 0 1 0 xx y xx 0 调递增 显然符合题意 而函数 有 y 0 x 0 0 0 x x ex