苏科版八年级下册第九章《中心对称—平行四边形》尖子生拓展训练（有答案）

八下第九章中心对称平行四边形尖子生拓展训练 姓名：_班级：_考号：_一、选择题1. 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()A. B. C. D. 2. 若顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是()A. 平行四边形B. 矩形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形3. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为()A. 95B. 125C. 165D. 1854. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足SPAB=13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为()A. 29；B. 41；C. 34；D. 525. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是() A. 4B. 5C. 6D. 76. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A. AF=AEB. ABEAGFC. EF=25D. AF=EF7. 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB=5.下列结论中正确结论的序号是( ) APDAEB； 点B到直线AE的距离为62； EBED； SAPD+SAPB=1+62.A. B. C. D. 二、填空题8. 如图，在RtABC中，C=90，BC=5，AC=12，M为斜边AB上一动点，过M作MDAC，过M作MECB于点E，则线段DE的最小为_9. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想，此时EC的长为_.10. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= _ ，菱形ABCD的面积S= _ 11. 已知矩形纸片ABCD中，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当EFC是直角三角形时，那么BE的长是_12. 如图(1)是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图(2)，图(2)中共有5个三角形；再分别连接图(2)的中间小三角形三边的中点，得到图(3).按上面的方法继续下去，第20个图形中共有_个三角形13. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，先折出折痕(对角线)BD，再折叠，使边DA与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，则AG的长是_14. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形ABCD.若边AB交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是_15. 如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：AE=CF；APE=CPF；EPF是等腰直角三角形；EF=AP；S四边形AEPF=12SABC当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论始终正确的为_(填序号)三、解答题16. 如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EFBD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F.且AE=EO=12DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？17. 如图，平行四边形ABCD中，ABAC，AB=1，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E、F (1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(2)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数18. (1)猜想与证明：如图(1)，摆放着两个矩形纸片ABCD和矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论(2)拓展与延伸：如图(2)，若将”猜想与证明“中的矩形纸片换成正方形纸片ABCD和正方形纸片ECGF，并使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论 (1) (2)19. 如图1所示，在等腰RtABC中，BAC=90，点E是AC上一点(且不与点A、C重合)，在ABC的外部作等腰RtCED，使CED=90，连接AD，再分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF(1)求证：AEF是等腰直角三角形；(2)如图2所示，将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，EF.求证：AEF是等腰直角三角形；(3)如图3所示，将CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且CED在ABC的下方时，若AB=25，CE=2，试求线段AE的长20. 如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且BMN=90，MN=2MB.点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF=PM，连接DF(1)依题意补全图形；(2)求证：DF=BM；(3)连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明21. 如图，矩形ABCD中，点E为AB中点，连接CE，将顶点B沿CE折叠至点P处，连接AP并延长交边CD于点F，(1)判断四边形AECF为的形状并说明理由；(2)若点P同时可看作是B点绕C点顺时针旋转60得到，求证：APBECP；(3)若AB=6，BC=4，求PFAP的值22. 如图1，将ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰BED和等腰DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形(1)将ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_，_；S矩形AEFG：SABCD=_。(2)ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个四边形EFGH求证：折出的四边形EFGH为矩形；若EF=5，EH=12，求AD的长.(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD/BC，AD0) 则BO=2x，菱形ABCD的周长为8，AB=2，ACBD，在RtAOB中，AO2+BO2=AB2，x2+(2x)2=4，x2=45，AC=2AO=2x，BD=2BO=4x，S菱形ABCD=12ACBD=122x4x=4x2=445=165，11.1.5或3解：分两种情况：当EFC=90时，如图1，AFE=B=90，EFC=90，点A、F、C共线，矩形ABCD的边AD=4，BC=AD=4，在RtABC中，AC=AB2+BC2=32+42=5，设BE=x，则CE=BCBE=4x，由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x，CF=ACAF=53=2，在RtCEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+22=(4x)2，解得x=1.5，即BE=1.5；当CEF=90时，如图2，由翻折的性质得，AEB=AEF=1290=45，四边形ABEF是正方形，BE=AB=3，综上所述，BE的长为1.5或312.77解：第是1个三角形，1=413，第是5个三角形，5=423，第是9个三角形，9=433，第n个图形中共有三角形的个数是4n3，第20个图形为4203=7713.3解：由勾股定理得，DB=AD2+AB2=10，由折叠的性质可知，ADG=BDG，AGBG=ADBD，即AG8AG=610，解得，AG=3，14.254解：设DH的值是x，AB=8，AD=6，且BH=DH，CH=8x，BH=x，在RtBCH中，DH=CH2+BC2，x2=(8x)2+36，x=254，即DH=25415.解：AB=AC，BAC=90，点P是BC的中点，EAP=12BAC=45，AP=12BC=CP在AEP与CFP中，EAP=C=45，AP=CP，APE=CPF=90APF，AEPCFP，AE=CF，故正确；由知，AEPCFP，APE=CPF，故正确；由知，AEPCFP，PE=PF.又EPF=90，EPF是等腰直角三角形，故正确；只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，故错误；AEPCFP，同理可证APFBPES四边形AEPF=SAEP+SAPF=SCPF+SBPE=12SABC，故正确故正确的序号有16.解：平行四边形ABCD是矩形如图所示，取DE的中点G，连接OG，EFBD，RtDOE中，OG=12DE=EG=DG，AE=EO=12DE，EO=OG=EG，OEG是等边三角形，AEO=DGO=120，又AE=DG，OE=OG，AOEDOG，AO=DO，又四边形ABCD是平行四边形，AC=2AO=2DO=BD，平行四边形ABCD是矩形17.解：(1)在ABCD中，AD/BC，OA=OC，OAF=OCE，在AOF和COE中，OAF=OCEOA=OCAOF=EOC，AOFCOE(ASA)，AF=CE；(2)解：四边形BEDF可以是菱形理由：如图，连接BF，DE，由(1)得AOFCOE，OE=OF，EF与BD互相平分，当EFBD时，四边形BEDF为菱形在RtABC中，AC=(5)21=2，OA=1=AB，又ABAC，AOB=45，AOF=45，AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF为菱形18.解：(1)猜想：DM=ME；证明：如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是矩形，AD/EF，EFM=HAM，又FME=AMH，FM=AM，在FME和AMH中，EFM=HAMFM=AMFME=AMH，FMEAMH(ASA)，HM=EM，在RTHDE中，HM=EM，DM=HM=ME，DM=ME(2)猜想：DM=ME；如图2，连接AC，四边形ABCD和ECGF是正方形，FCE=45，FCA=45，AE和EC在同一条直线上，在RTADF中，AM=MF，DM=AM=MF，在RTAEF中，AM=MF，AM=MF=ME，DM=ME19.解：(1)如图1，四边形ABFD是平行四边形，AB=DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，AE=EF，DEC=AEF=90，AEF是等腰直角三角形；(2)如图2，连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，AB/DF，DKE=ABC=45，EKF=180DKE=135，EK=ED，ADE=180EDC=18045=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD，在EKF和EDA中，EK=EDEKF=ADEKF=AD，EKFEDA(SAS)，EF=EA，KEF=AED，FEA=BED=90，AEF是等腰直角三角形(3)如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，EH=DH=CH=2，RtACH中，AH=(25)2+(2)2=32，AE=AH+EH=4220.解：(1)如右图所示；(2)点P为线段DE的中点，DP=EP在MPE和FPD中，MP=FPMPE=FPDEP=DP MPEFPD(SAS)，DF=EM，E为MN的中点，MN=2ME，MN=2MB，MB=ME=DF，DF=BM；(3)结论：AM=2PM，证明：连接AF，由(2)可知：MPEFPD，DFP=EMP，DF/ME，FDN=MND，在正方形ABCD中，AD=AB，BAD=90，又BMN=90，MBA+MNA=180，又MNA+MND=180，MBA=MND，FDN=MBA，在FAD和MAB中，FD=MBFDA=MBADA=BA，FADMAB(SAS)，FAD=MAB，FA=MA，FAM=DAB=90，FAM为等腰直角三角形，FM=2AM 又FM=2PM，AM=2PM 21. (1)四边形AECF为平行四边形证明：由折叠得到BE=PE，ECPB，E为AB的中点，AE=EB=PE，APBP，AF/EC，四边形ABCD是矩形，AE/FC，四边形AECF为平行四边形；(2)点P同时可看作是B点绕C点顺时针旋转60得到，CB=CP，BCP=60，PBC是等边三角形，PB=PC，PBC=PCB=60，由折叠的性质可得：EPC=EBC=90，BCE=ECP=12PCB=30， EPC=APB=90，ABP=90PBC=30，ABP=ECP，在ABP和ECP中，ABP=ECPPB=PCAPB=EPC，ABPECP(ASA)，(3)解：设BP与CE相较于点Q，在RtEBC中，EB=12AB=126=3，BC=4，EC=EB2+BC2=32+42=5，SEBC=12EBBC=12ECBQ，BQ=345=125，由折叠得：BP=2BQ=245，在RtABP中，AP=AB2BP2=185，四边形AECF为平行四边形，AF=EC=5，FC=AE=3，PF=5185=75，PFAP=75185=718 22. 解：(1)AE；GF；1：2；(2)证明：如图3由折叠的性质可得AEH=MEH=12AEM，BEF=MEF=12BEM，HEF=MEH+MEF=12(AEM+BEM)=90，同理可得EFG=FHG=EHG=90，四边形EFGH是矩形；四边形EFGH是叠合矩形，FEH=90，EF=5，EH=12，FH=EF2+EH2=52+122=13，由折叠的轴对称性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN，AEHCGF，CF=AH，