2012届高三数学一轮复习基础导航 5.5数列的综合应用

用心 爱心 专心1 5 55 5 数列的综合应用数列的综合应用 考纲要求 1 探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法 2 能在具体的问题情境中 发现数列的数列的通项和递推关系 并能用有关等差 等 比数列知识解决相应的实际问题 基础知识 一 数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差 等比的数列问题解答 如果不 是等差等比数列的 要转化成等差等比数列的问题来解决 二 方法总结 1 求解应用性问题时 不仅要考虑函数本身的定义域 还要结合实际问题理解自变量 的取值范围 2 求解应用性问题时 首先要弄清题意 分清条件和结论 抓住关键词和量 理顺数 量关系 然后将文字语言转化成数学语言 建立相应的数学模型 3 单利问题 设本金为 期利率为 则期后本利和 prn 1 nrpSn 复利问题 设本金为 期利率为 则期后本利和 prn n n rpS 1 例题精讲 例 1 某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款 10 万元 第一年便可 获利 1 万元 以后每年比前一年增加 30 的利润 乙方案 每年贷款 1 万元 第一年可获 利 1 万元 以后每年比前一年增加 5 千元 两种方案的使用期都是 10 年 到期一次性归还 本息 若银行两种形式的贷款都按年息 5 的复利计算 试比较两种方案中 哪种获利更多 取665 575 1 786 133 1 629 1 05 1 101010 解析 甲方案是等比数列 乙方案是等差数列 甲方案获利 63 42 3 0 13 1 301 301 301 1 10 92 万 元 银行贷款本息 29 16 51 10 10 万元 故甲方案纯利 34 2629 1663 42 万元 乙方案获利 5 0 2 910 110 5 091 5 021 5 01 1 50 32 万元 银行本息和 51 51 51 1 05 1 92 21 13 05 0 105 1 05 1 10 万元 故乙方案纯利 29 1921 1350 32 万元 综上可知 甲方案更好 用心 爱心 专心2 例 2 某地区荒山 2200 亩 从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林 第一年植树 100 亩 以后每一年比上一年多植树 50 亩 1 若所植树全部都成活 则到哪一年可将荒山全部绿化 2 若每亩所植树苗 木材量为 2 立方米 每年树木木材量的自然增长率为 20 那 么全部绿化后的那一年年底 该山木材总量为S 求S的表达式 3 若 1 28 4 3 计算S 精确到 1 立方米 分析 由题意可知 各年植树亩数为 100 150 200 成等差数列 解 1 设植树n年可将荒山全部绿化 则 100n 50 2200 n n 1 2 解之得n 8 或n 11 舍去 2 1995 年所植树 春季木材量为 200 m3 到 2002 年底木材量则增为 200 1 28 m3 1996 年所植树到 2002 年底木材量为 300 1 27 m3 2002 年所植树到年底木材量为 900 1 2 m3 则 到 2002 年底木材总量为 S 200 1 28 300 1 27 400 1 26 900 1 2 m3 3 S 900 1 2 800 1 22 700 1 23 200 1 28 1 2S 900 1 22 800 1 23 300 1 28 200 1 29 两式相减得 0 2S 200 1 29 100 1 22 1 23 1 28 900 1 2 200 1 29 100 900 1 2 1812 1 22 1 27 1 1 2 1 S 9060 m3 5 5 数列的综合应用强化训练 基础精练 1 某产品成本不断下降 若每隔三年价格要降低 25 现在价格是 640 元 则 12 年后 的价格是 270 元 210 元 202 5 元 125 元ABCD 2 某工厂去年的产值是 计划在今后五年内每年比上一年产值增长 10 从今年起到a 第五年末 这个工厂的总产值是 1 14 1 15 10 1 15 1 11 1 15 1 AaBaCaDa 3 计算机是将信息转换成二进制进行处理的 二进制即 逢二进一 如表示二 2 1101 进制数 将它转换成十进制形式是 13 那么将二进制数 3210 1 21 2021 2 转换成十进制形式是 2 116 11111 个 A B C D 17 22 16 22 16 21 15 21 4 在数列中 已知 则等于 n a 1221 1 5 nnn aaaaa nN 2007 a A 1 B C 4 D 55 5 某工厂生产总值月平均增长率为 则年平均增长率为 p A B 12 C D pp 12 1 p 12 1 1p 6 某厂在 1997 年底制定生产计划 要使 2007 年底的总产量在原有基础上翻两番 则年 平均增长率为 用心 爱心 专心3 7 楼梯共级 每步只能上 1 级或 2 级 走完这级楼梯共有种不同的走法 则n f n 的关系式为 1 1 f nf nf n 8 北京市为成功举办 2008 年奥运会 决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有的 全部出租车 若每年更新的车辆比前一年递增 10 则 2003 年底更新的车辆数约为现有总 车辆数的 参考数据 45 1 11 46 1 11 61 A 10 B 16 4 C 16 8 D 20 9 根据市场调查结果 预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量 万n n S 件 近似地满足 按此预测 在本年度内 需求量 2 215 1 2 12 90 n n Snnn A A A 超过 1 5 万件的月份是 A 5 月 6 月 B 6 月 7 月 C 7 月 8 月 D 8 月 9 月 10 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律 第 n 行 n 3 从左向右的第 3 个数为 11 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数 例如 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形 数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数成为正方形数 下列数中既是三角形数又 是正方形数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 12 已知某林场的树木的体积每年比上一年增加一倍 同时年底又要砍伐掉 500 方 该林 场 1997 年底树木有 1000 方 问哪一年底 该林场的树木开始超过 1024500 方 用心 爱心 专心4 13 广州市某通讯设备厂为适应市场需求 提高效益 特投入 98 万元引进世界先进设 备奔腾 6 号 并马上投入生产 第一年需要的各种费用是 12 万元 从第二年开始 所需费 用会比上一年增加 4 万元 而每年因引进该设备可获得的年利润为 50 万元 1 引进该设备多少年后 开始盈利 2 引进该设备若干年后 有两种处理方案 第一种 年平均盈利达到最大值时 以 26 万元的价格卖出 第二种 盈利总额达到最大值时 以 8 万元的价格卖出 问哪种方案较为合算 并说明 理由 拓展提高 1 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米 其中有 250 万平方米是中低价房 预计 在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以 2004 年为累计的第一年 将首次不少于 4750 平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 456 1 081 36 1 081 47 1 081 59 2 某人年初向银行贷款 10 万元用于购房 如果他向建设银行贷款 年利率为 5 且这笔款分 10 次等额归还 不计复利 每年一次 并从借后次年年初开始归还 问每年应付多少元 用心 爱心 专心5 如果他向工商银行贷款 年利率为 4 要按复利计算 即本年的利息计入次年 的本金生息 仍分 10 次等额归还 每年一次 每年应还多少元 3 用分期付款的方式购买家电一件 价为 1150 元 购买当天先付 150 元 以后每月 这一天都交付 50 元 并加付欠款利息 月利率为 1 若交付 150 元后的每一个月开始算 分期付款的第一个月 问分期付款的第 10 个月该交付多少钱 全部贷款付清后 买这件家 用电器实际花费多少钱 基础精练参考答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 5 21 7 1 1 f nf nf n 8 B 9 C 10 2 6 2 nn 11 C 12 设第 n 年底的树木体积为 则由题得构造数列可得 n a 1 2500 nn aa 2009 年底 1 1000 2 500102450012 n n an 13 1 所以 2 5098 12 16 020490105110513nnnnn 3 年后 2 方案一 当且仅当 n 7 5098 12 16 49 402 12 n n nn 时取等 所以方案一最后的利润为 方案二 7 1226110 时利润最大 所以方案二的利润为 102 8 110 所以方案一 2 2409810ynnn 用心 爱心 专心6 合算 拓展提高参考答案 1 解析 1 所以 所以 2013 年底 250300 4750 2 91900 10nnn 2 所以 2009 年底 15 甲的利润 1 250 1 50 85 6 400 1 8 n n n 1 乙的利润 2910 1 1 3 1 31 310 1 1 16 8 所以甲方案好 109 1 1 52 1 11 11 1 15 2 解析 若向建设银行贷款 设每年还款x元 则 105 1 10 5 x 1 9 5 x 1 8 5 x 1 7 5 x 即 105 1 5 10 x 45 0 05 元 解得x 12245 元 105 1 5 12 25