江苏省2012年高考数学的命题研究与预测

用心 爱心 专心 1 江苏省江苏省 20122012 年高考数学的命题研究与预测年高考数学的命题研究与预测 一 填空题一 填空题 1 1 题组 一 题组 一 1 已知集合 则 2 40Ax xxx Z 2 log 1 By yxxA AB 2 若 其中 是虚数单位 则 3 ai ibi ab R iab 3 双曲线C 1 m 0 的离心率等于 2 则该双曲线渐近线的斜率是 x2 4 y2 m 4 设等比数列的前n项之和为 若 则的值为 n a n S 25 80aa 5 3 S S 5 已知直线 平面 直线平面 给出下列命题 lm l m l m l m l m 其中正确命题的序号是 写出所有你认为正确命题的序号 2 2 题组 二 题组 二 1 右面茎叶图表示的是甲 乙两人在 5 次综合测评中的成绩 其中一个数 字被污损 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 2 已知a b c为集合A 1 2 3 4 5 中三个不同的数 通过如图所示算 法框图给出的一个算法输出一个整数a 则输出的数a 5 的概率是 3 已知f x sin x x R g x 的图象与f x 的图象关于点对称 则在 4 0 区间 0 2 上满足f x g x 的x的范围是 4 已知函数 对任意的 恒成立 则的xxxf2 3 1 3 33 t0 2 xftxfx 取值范围是 5 设是定义在上 以 1 为周期的函数 若在上的值域为 g xR 2 f xxg x 0 1 甲 8 9 98 012 337 9 乙 用心 爱心 专心 2 则在 1 3 f x 区间上的值域为 0 3 6 在 ABC中 E F分别是AC AB的中点 且 若恒成立 则t的最小32ABAC BE t CF 值为 提示提示 不妨设 在 中 4 6ABAC ABE 2 2524cosBEA 在 中 ACF 2 4024cosCFA 2 2 2524cos15 1 4024cos4024cos BEA CFAA 0A 1cos1A 即 恒成立时 t 的最小值为 2 2 149 1664 BE CF 17 48 BE CF BE t CF 7 8 7 点是曲线上的一个动点 曲线在点处的切线与轴 00 P xy 1 0 C yx x CPx 轴分别交于y A B 两点 点是坐标原点 给出三个命题 的面积为定值 曲线OPAPB OAB 上存在两点C 使得为等腰直角三角形 其中真命题的个数是 M NOMN 提示提示 对于 曲线在点处的切线方程为 CP 0 2 00 11 yxx xx 易得 0 0 2 2 0 0 AxB x PAPB 对于 的面积等于 为定值 OAB 1 2 2 OA OB 对于 设 要使为等腰直角三角形 12 12 11 M xN x xx OMN 不妨设 OMNM OMMN 当时 可得 即可算得 故真命题的个数个数为 3OMNM 3 12 1x x 2222 2211 2 xyxy 个 3 3 题组 三 题组 三 1 对于函数 若存在区间 当时的值域为 则称 yf x a b xa b ka kb 0 k 为倍值函 yf x k 数 若是倍值函数 则实数的取值范围是 lnf xxx kk 提示提示 在上是增函数 1 10fx x f x 0 ln ln aaka bbkb E F C B A 用心 爱心 专心 3 即是方程的两个不等的正实数根 问题等价于方程有两个不 a bln xxkx ln 1 x k x 等的正根 设 易得 ln x g x x 1 01k e 1 1 1 e 2 如图所示 A B C是圆O上的三点 CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O 外的点 D 若 则m n的取值范围是 OCmOAnOB 提示提示 由题意 又 0 OCkOD k 1 OC k OD 10k 又 B A D 三点共线 1 ODOAOB 1 mOAnOBk OAkOB 1 mknk 从而 mnk 1 0 mn 3 定义在上的函数满足 当时 有 1 1 f x 1 xy f xf yf xy 1 0 x 0f x 且 1 1 2 f 设 则实数 m 与 1 的大小关系为 2 111 2 5111 mfffnn nn N 提示提示 函数f x 满足 令得f 0 0 令x 0 得 1 xy f xf yf xy 0 xy f yfy 在为奇函数 单调减函数且在时 则在 0 1 时 f x 1 1 1 0 0f x 又 0f x 1 1 2 f 2 11 1111 1 11 1 1 11 1 1 nn fffff nnn nnn n n 2 111111111 511123341 111 1 1 211 mfffffffff nnnn fff nn 二 三角函数二 三角函数 1 在 ABC中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知函数满足 sin 2 6 f xx 对于任意 D C B A O 用心 爱心 专心 4 恒成立 1 求角A的大小 xf xf A R 2 若 求BC边上的中线AM长的取值范围 3a 解 1 由题意 对于任意恒成立 的最大值为 xf xf A R sin 2 6 f xx f A 当取得最大值时 即 f x22 62 xkk Z 3 xkk Z 又 A是三角形的内角 即 3 Akk Z0A 3 A 2 AM 是 BC 边上的中线 在 ABM 中 22 33 2cos 42 AMAMAMBc 在 ACM 中 22 33 2cos 42 AMAMAMCb 又 AMBAMC coscosAMBAMC 得 由余弦定理 22 2 3 24 bc AM 22222 2cos3 3 abcbcbcbc 即 22 22 03 2 bc bcbc 22 36bc 2 39 44 AM 33 22 AM 2 已知函数 2 2cos3sin 2 x f xx 1 求函数的最小正周期和值域 f x 2 若为第二象限角 且 求的值 1 33 f cos2 1 cos2sin2 3 已知a a sinx 1 b b 1 cosx 且函数f x a a b b f x 是f x 的导函数 1 求函数F x f x f x f 2 x 的最大值和最小正周期 2 若f x 2f x 求的值 1 sin2x cos2x sinxcosx 用心 爱心 专心 5 4 ABC中 角A B C对边分别是a b c 满足 22 2 AB ACabc 1 求角A的大小 2 求的最大值 并求取得最大值时角B C的大小 2 4 2 3cossin 23 C B 三 应用题三 应用题 1 如图 有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东 45 相距 20海里的B处有2 一货船正以匀速直线行驶 20 分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45 其中 且与观测站A相距海里的C处 1 tan 045 5 5 13 1 求该船的行驶速度v 海里 小时 2 在离观测站A的正南方 20 海里的E处有一暗礁 不考虑暗礁的面积 如货 船不改变航向继续前行 该货船是否有触礁的危险 试说明理由 解 解 1 由题意 20 2 5 13 ABACBAC 1 tan 045 5 5 cos 26 由余弦定理 222 5 2cos800325220 25 13125 26 BCABACAB AC 即 5 5BC 该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为海里 5 5 北 C B A E 用心 爱心 专心 6 该船的行驶速度 海里 小时 5 5 15 5 1 3 v 2 由 1 知 在 ABC中 222 8001253253 cos 2220 25 510 ABBCAC B AB BC 1 sin 10 B 设BC延长交AE于F 则 45 AFBBACFB 在 中 由正弦定理 即 AFC sinsin ACAF AFBACF 5 13 sin 45 sin AF BB 又 1315 sin cos sin cos 10102626 BB 海里 5 13sin 5 13 sincoscos sin 20 sin 45 2 cossin 2 BBB AF B BB F 与 E 重合 即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险 2 某个公园有个池塘 其形状为直角 ABC 90C AB 2 百米 BC 1 百米 1 现在准备养一批供游客观赏的鱼 分别在AB BC CA 上取点D E F 使得EF AB 在 DEF喂食 EFED 求 DEF 面积S DEF的最大值 2 现在准备新建造一个荷塘 分别在AB BC CA上取点 D E F 建造 DEF连廊 不考虑宽度 供游客休憩 且使 DEF为正三角形 求 DEF边长的最小值 3 某企业有两个生产车间分别在A B两个位置 根据生产流程 A车间有a名员工 B车间有 4a名员工 AC 是厂区的一条直道 已知A B C中任意两点间的距离均 有 1 km 现要在直道AC上找一点D 修一条直道BD 并在D处建一个食堂 使得 所有员工均在此食堂用餐 设 BDC 所有员工从车间到食堂步行的总路程为S 1 写出S关于的函数表达式 并指出的取值范围 2 问食堂D建在距离A多远时 可使总路程S最少 A BC D E F 北 北 2北北 北 1北 F E D CB A D C B A 用心 爱心 专心 7 4 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元 每生产 1 千件需另投入 2 7 万 元 设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为R x 万元 且R x Error 1 写出年利润W 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 四 解析几何四 解析几何 1 已知椭圆和圆 左顶点和下顶点 2 2 1 1 2 x Cy 22 2 1Cxy 分别为A B F是椭圆C1的右焦点 1 点P是曲线C1上位于第二象限的一点 若 APF的面积为 求证 AP OP 12 24 2 点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点 O N M F B P A y x 用心 爱心 专心 8 且直线BN的斜率是直线BM斜率的 2 倍 证明直线MN恒过 定点 解 1 设曲线上的点 且 1 C 00 P xy 00 0 0 xy 由题意 APF的面积为 2 0 1 0 AF 12 24 解得 即 0 1112 12 2224 APF SAF yy 00 22 22 yx 22 22 P AP OP 2222 0 2222 AP OP 2 设直线BM的斜率为k 则直线BN的斜率为 2k 又两直线都过点 0 1 B 直线BM的方程为 直线BN的方程为 1ykx 21ykx 由得 22 1 22 ykx xy 22 12 40kxkx 解得 即 2 222 4421 1 212121 MM kkk xyk kkk 2 22 421 21 21 kk M kk 得 22 21 22 ykx xy 22 14 40kxkx 解得 即 2 222 4441 21 414141 NM kkk xyk kkk 2 22 441 41 41 kk N kk 直线MN的斜率 22 2222 22 22 22 4121 41 21 41 21 1 4121 44 4 21 4 41 2 4121 MN kk kkkk kk k kk kkkkk kk 直线MN的方程为 2 22 2114 21221 kk yx kkk 整理得 直线MN恒过定点 1 1 2 yx k 0 1 变题 变题 如图 已知椭圆和圆 2 2 1 1 4 x Cy 左顶点和下顶点分别为 22 2 1Cxy A D 圆C2与x轴交于点B 1 过A的直线与圆C2相切于点C 求线 段BC的长 2 点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于 y轴右侧的动点 且直线DN的斜率是直线 DM斜率的 4 倍 求证 直线MN恒过定点 变题 变题 1 若F是椭圆C1的右焦点 则AC DF 2 DMN是直角三角形 D C BA N M O y x 用心 爱心 专心 9 3 求当 MDN最大时 直线MN的方程 4 求证 AC BC 5 一般化 当椭圆的离心率e 时 上述结论都可以证明 3 2 2 如图 已知椭圆的左 右焦点为 点P为椭圆上 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 动点 弦PA PB分别过点 12 F F 1 若 当时 点O到PF2的距离为 求椭圆的方程 1 3 0 F 112 PFFF 24 17 2 设 求证 为定值 111 PFF A 222 PFF B 12 3 如图所示 已知以点A 1 2 为圆心的圆与直线l1 x 2y 7 0 相切 过点 B 2 0 的动直线l与圆A相交于M N两点 Q是MN的中点 直线l与l1相 交于点P 1 求圆A的方程 2 当MN 2时 求直线l的方程 19 3 若 是否为定值 如果是 求出其定值 如果不是 请说明理由 BQ BP 4 已知椭圆C 的离心率为 右焦点F关于 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 直线x 2y 0 对称的点在圆上 22 4xy 1 求此椭圆的方程 2 设M是椭圆C上异于长轴端点的任意一点 试问在x轴上是否存 在两个定点A B 使得直线MA MB的斜率之积为定值 若存在 则求出这两个定点及定值 若不存在 请说明理由 y x M x 2y 0 F O 用心 爱心 专心 10 5 设是椭圆的左 右焦点 分别 12 F F 22 22 1 0 xy Cab ab A B 为 其左顶点和上顶点 是面积为的正三角形 12 BFF 3 1 求椭圆的方程 C 2 过右焦点的直线 交椭圆于两点 直线 分别 2 FlCNM AMAN 与 已知直线交于点P和Q 试探究以线段PQ为直径的圆与直线4x 的l 位置关系 五 函数综合题五 函数综合题 1 己知函数 是自然对数的底 x f xmxn e m n Re 1 若函数在点处的切线方程为 试确定函数单调区间 f x 1 1 f30 xey f x 2 当 时 若对于任意 都有恒成立 求实数m的最1n m R 1 2 2 x f xx 小值 当时 设函数 是否存在实数 1mn x g xxf xtfxet R 0 1 a b c 使得若存在 求出t的取值范围 若不存在 说明理由 g ag bg c 解 解 1 由题意 2 xx xx memxn emxmn fx ee 在点处的切线方程为 f x 1 1 f30 xey 即 解得 21 1 1 ff ee 21 mnn eeee 1 1mn 1 x x f x e x x fx e 当 在上单调递减 在单调递增 0 0 xfx 0 0 xfx f x 0 0 2 由 即 1 nm R 1 x mx x e 1 x me x 对于任意 都有恒成立 等价于对于任意恒成 1 2 2 x f xx 1 x me x 1 2 2 x 立 2 Fx y Q AO B N M P 用心 爱心 专心 11 记 1 x xe x 2 1 x xe x 设 对恒成立 在单调 2 1 x h xe x 3 2 0 x h xe x 1 2 2 x 2 1 x h xe x 1 2 2 递增 而 在上有唯一零点 2 11 40 2 0 24 hehe 2 1 x xe x 1 2 2 0 x 在单调递减 在 0 1 2 xx 0 x 0 2 xx 0 x x 0 1 2 x 上单调递增 0 2 x 的最大值是和中的较大的一个 x 1 2 2 即 m 的最小值为 1 2 2 m m 2 2 1 2 me me 2 1 2 me 2 1 2 e 假设存在 使得 则问题等价于 0 1 abc g ag bg c min 2 maxg xg x 2 1 1 x xt x g x e Q 1 x xtx g x e 当时 在上单调递减 1t 0g x g x 0 1 即 得 2 1 0 gg 3 21 t e 31 2 e t 当时 在上单调递增 0t 0g x g x 0 1 即 得 2 0 1 gg 3 2 t e 320te 当时 在上 在上单调递减 在上 01t 0 xt 0g x g x 0 t 1 xt 在上单调递增 即 0g x g x 1 t2 0 1 g tmax gg 13 2 1 t tt max ee 由 1 知在上单调递减 故 而 不等式 1 t t f t e 0 1 t 14 2 t t ee 33t ee 无解 综上所述 存在 使得命题成立 32 3 2 e te U 2 已知函数在区间上为增函数 且 2 4 1 xa f x x m n 4f m f n 1 若最小时 求的值 f nf m a 2 若是图象上的两点 112212 P x yQ xyaxxn f x 且存在实数使得 证明 0 x 21 0 21 f xf x fx xx 210 xxx 用心 爱心 专心 12 3 已知函数 并设 2 f xxbxc b cR x f x F x e 1 若图像在处的切线方程为 求 的值 F x0 x 0 xy bc 2 若函数是上单调递减 则 F x 当时 试判断与的大小关系 并证明之 0 x f x 2 xc 对满足题设条件的任意 不等式恒成立 求bc 22 f cMcf bMb 的取值范围 M 六 数列综合题六 数列综合题 1 已知数列中 数列的前n项和为 且满足 n a 1 1a 0 n nNa n a n S 1 1 2 1 n nn a SS 1 求数列的通项公式 n a 2 数列中存在若干项 按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项 3 为公比的等 n S 比数列 k b 求这个等比数列的项数与n的关系式 k kk n 记 求证 1 2 1 n cn k n 2 1 2 3 3 n i i c 解 1 由 11nnn aSS 111 2 nnnnnn SSSSSS 22 1 11 2 22 nn SS 数列成等差数列 公差为 2 首项为 2 1 2 n S 2 11 1 24 由 2 1187 2 1 244 n n Sn 1 1 0 n aa 1 n S 187 22 n n S 当时 2n 1 187181587815 22222 nnn nnnn aSS 用心 爱心 专心 13 当时 1n 1 1a 1 1 87815 2 2 n n a nn n 2 由题意 数列中存在若干项 按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项 3 n S 为公比的等比数 列 则 设是中的第 k 项 即 解得 k b 1 3k k b n b n S 1 187 3 2 n k 11 31 3 1 2 nn k n N 11 31 3 1 2 nn k n n N 当时 2n 1111 1211 2 13 31 313 n nnnn c k n 对于 2 ii N 11 112 3133 iii 111 1111 2 2 31333 nnnn 111 1111 2 2 31333 n nnnn c 2231 2 111111112 2 2 333333333 n i nnn i c 显然 综上所述 对 成立 2 2 1 3 n i i cc 2 1 2 3 3 n i i c 2n n N 2 已知数列满足 n a 1 4