江苏省南京市四区县2013届高三数学上学期12月联考试题苏教版

用心 爱心 专心1 江苏省南京市四区县江苏省南京市四区县 20132013 届高三上学期联考届高三上学期联考 数学试题数学试题 2012 122012 12 注意事项 注意事项 1 1 本试卷共 本试卷共 4 4 页 包括填空题 第页 包括填空题 第 1 1 题题 第第 1414 题 题 解答题 第 解答题 第 1515 题题 第第 2020 题 两题 两 部分 本试卷满分为部分 本试卷满分为 160160 分 考试时间为分 考试时间为 120120 分钟 分钟 2 2 答题前 请务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答题纸的密封线内 试题 答题前 请务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答题纸的密封线内 试题 的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答卷纸 的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答卷纸 参考公式 参考公式 1 1 样本数据 样本数据x x1 1 x x2 2 x xn n的方差的方差s s2 2 x xi i 2 2 其中 其中是这组数据的平均数 是这组数据的平均数 1 1 n n x x x x 2 2 柱体 锥体的体积公式 柱体 锥体的体积公式 V V柱体 柱体 ShSh V V锥体 锥体 ShSh 其中 其中S S是柱 锥 体的底面面积 是柱 锥 体的底面面积 h h 1 1 3 3 是高 是高 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 请把答案填写在答题纸相应位置分 请把答案填写在答题纸相应位置 上 1 已知集合M 1 2 3 4 5 N 2 4 6 8 10 则M N 2 若 为虚数单位 则 1 2 i iabi a b Riab 3 函数的定义域为 2lg xxf 4 程序框图 即算法流程图 如图 右 所示 其输出结果 是 5 若将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后抛掷两次 则出现 向上的点数之和为的概率是 6 6 在 ABC 中 则 sin sin sin2 3 4ABC cosC 开始 3 a 13 aa 100 a 输出a 结束 是 否 用心 爱心 专心2 7 在等比数列中 为其前项和 已知 则此数列的 n a n Sn 54 23aS 65 23aS 公比为 q 8 已知向量 是第二象限角 则 cos6 9 3 5 ba 2 baa tan 9 设m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列命题 若m 则m 若m m 则 若 则 若m n m n 则 上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 10 函数 的最大值为 xxxxycossin2sincos 22 2 0 x 11 设椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别为 12 F F 上顶点为A 过点 A与 2 AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q 且02 221 QFFF 则椭圆C的离心率 为 12 过圆x2 y2 1 上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A B两点 O是坐标原点 则的最小值是 2 OBOA 13 已知的三边长a b c成等差数列 且 则实数b的取值ABC 222 84abc 范围是 14 设函数的定义域为 若存在非零实数 使得对于任意 有 f xDl xM MD 且 则称为上的 高调函数 如果定义域为的函xlD f xlf x f xMlR 用心 爱心 专心3 数是奇函数 当时 且为上的 4 高调函数 那 f x0 x 22 f xxaa f xR 么实数的取值范围是 a 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在三角形ABC中 已知 设 CAB 2AB ACABAC 1 求角 的值 2 若 其中 求的值 4 3 cos 7 5 36 cos 16 本小题满分 14 分 如图的几何体中 AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 F为CD的中点 ABDEAD2 1 求证 AF 平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 17 本小题满分 14 分 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面 如图所示 上进行 开发建设 阴影部分为一公共设施建设不能开发 且要求用 栏栅隔开 栏栅要求在一直线上 公共设施边界为曲线 的一部分 栏栅与矩形区域的边界交 2 1 0 f xaxa 于点M N 交曲线于点P 设 P t f t B A E D C F O x y M N P 用心 爱心 专心4 1 将 O 为坐标原点 的面积表示成 的函数 OMN St S t 2 若在处 取得最小值 求此时的值及的最小值 1 2 t S ta S t 18 本小题满分 16 分 如图 已知是圆与轴的交点 为直线上的动点 与 A B 22 4xy xP 4l x PA PB 圆的另一个交点分别为 22 4xy M N 1 若点坐标为 求直线的方P 4 6 MN 程 2 求证 直线过定点 MN 19 本题满分 16 分 已知函数f x ax x2 xlna a 0 a 1 1 当a 1 时 求证 函数f x 在 0 上单调递增 2 若函数y f x t 1 有三个零点 求t的值 3 若存在x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 试求a的取值范围 20 本题满分 16 分 设等差数列的公差 数列为等比数列 若 n a0 d n baba 1133 ba 57 ba 1 求数列的公比 n bq B N M P AO 用心 爱心 专心5 2 若 求与之间的关系 Nmnba mn nm 3 将数列 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 是否 n a n b n c 存在正整数使得和均成等差数列 说rqp rqp rqp rcqcpc rqp 明理由 数学附加题数学附加题 2121 选做题 在 选做题 在 A A B B C C D D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题 每小题题 每小题 1010 分 共计分 共计 2020 分 请在答分 请在答 题纸指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 题纸指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 从圆外一点作圆的两条切线 切点分别为 OPOA B 与交于点 设为过点且不过圆心的一条弦 ABOPMCDMO 求证 四点共圆 O CP D B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 已知二阶矩阵M有特征值 3 及对应的一个特征向量 并且矩阵M对应的变 1 1 1 e 换将点 1 2 变换成 9 15 求矩阵M C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线的极坐标方程为 以极点为原点 极轴为轴C2 2sin 4 x M P A B O C D 第 21 A 题 用心 爱心 专心6 的正半轴建立平面直角坐标系 直线 的参数方程为 为参数 求直l 4 1 5 3 1 5 xt yt t 线 被曲线所截得的弦长 lC D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 已知实数满足 求的最小值 x y z2xyz 222 23xyz 必做题 第 必做题 第 2222 题 第题 第 2323 题 每小题题 每小题 1010 分 共计分 共计 2020 分 请在答题纸指定区域内作答 分 请在答题纸指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 袋中装着标有数字 1 2 3 4 的卡片各 1 张 甲从袋中任取 2 张卡片 每张卡片被取 出的可能性都相等 并记下卡面数字和为X 然后把卡片放回 叫做一次操作 1 求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E X 2 甲进行四次操作 求至少有两次X不大于E X 的概率 23 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 对一个边长互不相等的凸边形的边染色 每条边可以染红 黄 蓝三种颜色 3 n n 中的一种 但是不允许相邻的边有相同的颜色 所有不同的 染色方法记为 P n 1 求 2 求 3 4 5 PPP P n a3 an 1an a2 a1 用心 爱心 专心7 数学试题数学试题 参考答案 一 填空题 1 2 4 2 2 3 4 283 5 6 7 3 1 5 36 1 4 8 9 10 11 2 1 e 12 3 13 3 4 2 2 6 2 7 14 1 1 由为奇函数及时的解析式知的图象如下图右所示 f x0 x f x 由 故 222 3 faafa 2222 4 3 fafaafa 从而 又时 恒有 故即可 22 43aa 2 1a 2 1a 4 f xf x 2 1a 二 解答题 15 解 1 由 得2AB ACABAC 2cosABACABAC 所以 又因为为三角形的内角 所以 1 cos 2 0 ABC 3 6 分 a2 a2 a2 a2 O y x 1O 1 y x 用心 爱心 专心8 2 由 1 知 且 所以 3 sin 2 0 2 1 sin 7 8 分 故coscos cos cossin sin 14 分 4 31133 3 727214 16 1 证明 取CE的中点G 连结FG BG F为CD的中点 GFDE且 1 2 GFDE AB 平面ACD DE 平面ACD ABDE GFAB 又 1 2 ABDE GFAB 四边形GFAB为平行四边形 则 AFBG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 7 分 2 证明 ACD 为等边三角形 F为CD的中点 AF CD DE 平面ACD AFACD 平面 DE AF BGAF BGDE BGCD 又CD DED BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 14 分 17 解 1 切线的斜率为 1 分2yax 2at 切线 的方程为 l 2 1 2 yatat xt 令得 3 分0 y 2222 1121 222 atatatat xt atatat 2 1 0 2 at M at B A E D C F G 用心 爱心 专心9 令 得 5 分0t 2222 121 0 1 yatatatNat 的面积 6 分MON 222 2 1 1 1 1 224 atat S tat atat 2 2 4222 22 321 1 31 44 a tatatat S t atat 由 得 8 分0 0at 0S t 2 1 310 3 att a 得 当时 2 1 310 3 att a 即 0S t 当时 2 1 310 0 3 att a 即 0S t 1 3 tS t a 当时有最小值 已知在处 故有 12 分 1 2 t S t 取得最小值 114 233 a a 故当时 14 分 41 32 at 2 min 4 1 1 12 3 4 4 1 23 4 3 2 S tS 18 解 1 直线PA方程为 由解得 2 分2yx 22 2 4 yx xy 0 2 M 直线PB的方程 由解得 4 分36yx 22 36 4 yx xy 86 55 N 所以的方程 6 分MN22yx 2 法一 设 则直线PA的方程为 直线 PB 的方程为 4 pt 2 6 t yx 2 2 t yx 得 同理 10 分 22 4 2 6 xy t yx 2 22 72224 3636 tt M tt 2 22 288 44 tt N tt 用心 爱心 专心10 直线MN的斜率 12 分 22 222 22 248 8 364 7222812 364 tt t tt k ttt tt 直线MN的方程为 2 222 8288 1244 ttt yx ttt 化简得 14 分 22 88 1212 tt yx tt 所以直线过定点 16 分MN 1 0 注 其他解法酌情对应给出相应的分数注 其他解法酌情对应给出相应的分数 法二 设 即 01122 4 PyM x yN xy 00 33 26 BPAP yy kk 12 12 3 22 yy xx 两边平方得 整理得 22 12 22 12 9 4 4 2 2 xx xx 12 12 9 2 2 22 xx xx 即 1 设的方程为 代入 1212 25 80 x xxx MN yk xm 中得 22 40 xy 得代入 1 式得 22222 1 240kxk mxk m 222 1212 22 24 11 k mk m xxx x kk 即 当 或 舍 22 22 2810 80 11 k mk m kk 22 54 0kmm 0k 1m 4m 当时 直线即为直线 AB 所以直线过定点 0k MNMN 1 0 19 解 1 ln2ln2 1 ln xx fxaaxaxaa 3 分 由于1a 故当 0 x 时 ln0 10 x aa 所以 0fx 故函数 f x在 0 上单调递增 5 分 2 当0 1aa 时 因为 0 0 f 且 fx 在 R 上单调递增 用心 爱心 专心11 故 0fx 有唯一解0 x 7 分 所以 x fxf x 的变化情况如下表所示 x 0 0 0 fx 0 f x递减极小值递增 又函数 1yf xt 有三个零点 所以方程 1f xt 有三个根 而11tt 所以 min 1 0 1tf xf 解得2t 10 分 3 因为存在 12 1 1 x x 使得 12 1f xf xe 所以当 1 1 x 时 maxminmaxmin 1f xf xf xf xe 11 分 由 2 知 f x在 1 0 上递减 在 0 1 上递增 所以当 1 1 x 时 minmax 0 1 max 1 1 f xff xff 12 分 而 11 1 1 1 ln 1 ln 2lnffaaaaa aa 记 1 2ln 0 g ttt t t 因为 2 2 121 1 1 0g t ttt 当1t 时取等号 所以 1 2lng ttt t 在 0 t 上单调递增 而 1 0g 故当1t 时 0g t 当01t 时 0g t 即当1a 时 1 1 ff 当01a 时 1 1 ff 14 分 当1a 时 由 1 0 1ln1ffeaaeae 用心 爱心 专心12 当01a 时 由 11 1 0 1ln10ffeaea ae 综上可知 所求a的取值范围为 1 0 ae e 16 分 20 解 1 设的公比为 由题意 n bq 即 2 daaq daaq 6 2 4 2 daaq daaq 6 2 4 2 分 不合题意 故 3 1 1 1 4 2 q q 解得 4 分1 q2 2 q2 q 2 由得 mn ba 又 6 分 1 1 m aqdnaaaaqd 2 2 2 a d 即 8 分 1 2 2 1 1 m n 2 1 12 1 1 m m n 10 分 1Nn 0 1 m 12 2 1 m nm为奇数 且 3 若与有公共项 不妨设 n a n b mn ba 由 2 知 12 2 1 m nm为奇数 且 令 则 12 Nkkm 1112 2 2 kk m aab ac n n 1 2 12 分 若存在正整数满足题意 则 rqprqp 2 2 2 2 2 111 rapaqa rpq rpq 用心 爱心 专心13 又 11 222 rpq 22222 2 211 时取当且仅当rp rp rPrp 又 14 分rp 2 11 222 rp rp 又在 R 上增 与题设矛盾 x y2 2 rp q 2 rp q 若不存在满足题意 rqp 16 分 用心 爱心 专心14 数学附加题数学附加题 2121 A A 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 证明 因为 为圆的两条切线 所以垂直平分弦 PAPBOOPAB 在中 Rt OAP 2 OM MPAM 4 分 在圆中 OAM BMCM DM 所以 8 分OM MPCM DM 又弦不过圆心 所以四点共圆 10 分CDOO C P D B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 设 则 故 4 分 ab cd M 113 3 113 ab cd 3 3 ab cd 故 7 分 19 215 ab cd 29 215 ab cd 联立以上两方程组解得 故 10 分1 4 3 6abcd M 14 36 C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 将方程 分别化为普通方程 2 2sin 4 4 1 5 3 1 5 xt yt 6 分 22 220 xyxy 3410 xy 由曲线的圆心为 半径为 所以圆心到直线 的距离为 C 1 1 C 2Cl 2 5 故所求弦长为 10 分 2 22 46 2 2 55 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 解 由