江苏省张家港市2012-2013学年高二数学周日测试11

1 A B C D E A1 B1 C1 第 15 题图 张家港外国语学校高二理科周日测试张家港外国语学校高二理科周日测试 1111 1 命题 的否定 0sin xRx 2 已知复数 i 为虚数单位 则复数的虚部为 iz43 iz5 3 已知椭圆的左右焦点分别为 F1 F2 离心率为 e 若椭圆上存在点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x P 使得 则该离心率 e 的取值范围是 e PF PF 2 1 4 已知 a i 2 2i 其中 i 是虚数单位 那么实数 a 5 底面边长为 2m 高为 1m 的正三棱锥的全面积为 m2 6 若双曲线的焦点到渐近线的距离为 则实数k的值是 2 2 1 y x k 2 2 7 若 则直线与轴 轴围成的三角形的面积小于 0 3m 2 3 30mxm y xy 9 8 的概率为 8 若中心在原点 焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 则此双曲线的30 xy 离心率为 9 已知点是球表面上的四个点 且两两成角 P A B CO PA PB PC60 cm 则球的表面积为 1PAPBPC 2 cm 10 过点作直线l与圆交于两点 若 则直线 的方程 5 4 P 22 25O xy A B2PA l 为 11 若关于的方程有实数根 则实数的取值范围为 x 432 10 xaxaxax a 12 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 0 0 Fcc 作圆 2 22 4 a xy 的切 线 切点为E 直线FE交双曲线右支于点P 若 1 2 OEOFOP 则双曲线的离心率 为 13 若函数 2 ln2f xmxxx 在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 14 如果圆 22 4xaya 上总存在两个点到原点的距离为 1 则实数a的取值范围 15 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 1 若BB1 BC B1C A1B 证明 平面AB1C平面 A1BC1 2 设D是BC的中点 E是A1C1上的一点 且A1B 平面B1DE 求的值 1 1 AE EC 2 16 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 a b 0 的离心率为 其焦点在圆 22 22 1 xy ab 2 2 x2 y2 1 上 1 求椭圆的方程 2 设A B M是椭圆上的三点 异于椭圆顶点 且存在锐角 使 i 求证 直线OA与OB的斜率之积为定值 ii 求cossinOMOAOB OA2 OB2 17 设函数f x ax3 a b x2 bx c 其中a 0 b c R R 1 若 0 求函数f x 的单 1 3 f 调增区间 2 求证 当 0 x 1 时 注注 max a b 表示 fx max 0 1 ff a b中的最大值 18 在平面直角坐标系中 已知圆 与点 为圆上的动xOyB 22 1 16xy 1 0 A PB 点 线段的垂直平分线交直线于点 点的轨迹记为曲线C 1 求曲线C的方程 PAPBRR 2 曲线C与轴正半轴交点记为 过原点且不与轴重合的直线与曲线C的交点记xQOx 为 连接 分别交直线 为常数 且 于点 设的纵坐 M N QM QNxt t2t E F E F 标分别为 求的值 用 表示 12 y y 12 yy t 第 18 题 x y O AB R P l 3 19 如图 某新建小区有一片边长为 1 单位 百米 的正方形剩余地块 中间部分ABCD MNK 是一片池塘 池塘的边缘曲线段为函数的图象 另外的边缘是平行MN 2 9 y x 12 33 x 于正方形两边的直线段 为了美化该地块 计划修一条穿越该地块的直路 宽度不计 直 路 与曲线段相切 切点记为 并把该地块分为两部分 记点到边距离为 lMNPPADt 表示该地块在直路 左下部分的面积 1 求的解析式 2 求面积的 f t f t Sf t 最大值 20 设函数与的图象分别交直线于点 且曲线 2 lnf xxax 1 g xxx a 1x A B 在点处的切线与曲线在点处的切线平行 斜率相等 1 求函数 yf x A yg x B 的表达式 2 当时 求函数的最小值 3 当 f x g x1a h xf xg x 时 1a 不等式在上恒成立 求实数的取值范围 f xm g x 1 1 4 2 x m 第 19 题 M N K O y B C D A x 4 1 已知矩阵M 2 21 a 其中Ra 若点 1 2 P 在矩阵M的变换下得到点 4 0 P 1 求实数a的值 2 求矩阵M的特征值及其对应的特征向量 2 在平面直角坐标系xOy中 动圆 的 222 8 cos6 sin7cos80 xyxy R 圆心为 求的取值范围 00 P xy 00 2xy 3 如图 在直三棱柱中 111 ABCABC 3AC 4BC 5 AB 1 4AA 1 设 异面直线与所成角的余弦值为 求的值 ADAB 1 ACCD 9 25 2 若点是的中点 求二面角的余弦值 DAB 1 DCBB 第 3 题 B A C A1 D B1 C1 5 4 已知 n n xxf 1 1 若 求的值 3 分 2011 2011012011 fxaa xax 2011200931 aaaa 2 若 求中含项的系数 3 分 3 2 876 xfxfxfxg xg 6 x 3 证明 4 分 1 121 1 1 23 2 mmmmm mmmm nm n mn n m CCCCC 6 参考答案 1 2 8 3 4 1 5 6 8 7 8 0sin xRx 1 12 3 3 2 3 或 9 10 或 11 12 10 3 10 3 2 4y 4091640 xy 2 2 3 10 2 13 1 2 m 14 322 3 2 2 2222 15 解 解 1 因为BB1 BC 所以侧面BCC1B1是菱形 所以B1C BC1 3 分 又因为B1C A1B 且A1B BC1 B 所以BC1 平面A1BC1 5 分 又B1C平面AB1C 所以平面AB1C 平面A1BC1 7 分 2 设B1D交BC1于点F 连结EF 则平面A1BC1 平面B1DE EF 因为A1B 平面B1DE A1B平面A1BC1 所以A1B EF 11 分 所以 1 1 AE EC 1 BF FC 又因为 所以 14 分 1 BF FC 11 1 2 BD BC 1 1 AE EC 1 2 16 1 依题意 得 c 1 于是 a b 1 22 分 所以所求椭圆的方程为 4 分 2 2 1 2 x y 2 i 设A x1 y1 B x2 y2 则 2 21 1 1 2 x y 2 22 2 1 2 x y 又设M x y 因 故 7 分cossinOMOAOB 12 12 cossin cossin xxx yyy 因M在椭圆上 故 2 212 12 cossin cossin 1 2 xx yy 7 整理得 22 22221212 1212 cos sin2 cos sin1 222 xxx x yyy y 将 代入上式 并注意 得 cos sin0 12 12 0 2 x x y y 所以 为定值 10 分 12 12 1 2 OAOB y y kk x x ii 故 22 222222221212 12121212 1 1 1 222 x xxx y yyyyyy y 22 12 1yy 又 故 22 2212 12 2 22 xx yy 22 12 2xx 所以 OA2 OB2 3 16 分 2222 1122 xyxy 17 解解 1 由 0 得a b 1 1 3 f 分 故f x ax3 2ax2 ax c 由 a 3x2 4x 1 0 得x1 x2 1 2 分 fx 1 3 列表 x 1 3 1 3 1 1 3 1 1 fx 0 0 f x 增极大值减极小值增 由表可得 函数f x 的单调增区间是 及 1 4 1 3 分 2 3ax2 2 a b x b 3 fx 22 2 33 ababab a x aa 当时 则在上是单调函数 1 0 33 abab aa 或 fx 0 1 所以 或 且 a 0 1 f fx 0 f 0 f fx 1 f 0 f 1 f 所以 8 分 fx max 0 1 ff 当 即 a b 2a 则 01 3 ab a 22 3 abab a fx max 0 1 ff i 当 a b 时 则 0 a b 2 a3 2 a 所以 0 1 f 22 3 abab a 22 22 3 abab a 22 3 3 aab a 2 1 4 a 8 所以 12 分 fx max 0 1 ff ii 当 b 2a时 则 0 即a2 b2 0 2 a 2 2 a bba 5 2 ab 所以 0 即 22 3 abab b a 22 4 3 abab a 22 5 2 3 abab a 0 f 22 3 abab a 所以 fx max 0 1 ff 综上所述 当 0 x 1 时 16 分 fx max 0 1 ff 18 1 连接 由题意得 RARARP 4RPRB 所以 2 分42RARBAB 由椭圆定义得 点的轨迹方程是 4 分R 22 1 43 xy 2 设 则 的斜率分别为 M 00 xy 00 Nxy QM QN QMQN kk 则 6 分 0 0 2 QM y k x 0 0 2 NQ y k x 所以直线的方程为 直线的方程 8 分QM 0 0 2 2 y yx x QN 0 0 2 2 y yx x 令 则 10 分 2 xt t 00 12 00 2 2 22 yy ytyt xx 又因为在椭圆 所以 00 xy 22 00 1 43 xy 22 00 3 3 4 yx 所以 其中 为常数 14 分 22 2 0 220 12 22 00 3 3 2 3 4 2 2 444 xt y yytt xx t 19 1 因为 所以 2 9 y x 2 2 9 y x 所以过点的切线方程为 即 2 分 P 2 22 99 yxt tt 2 24 99 yx tt 令 得 令 得 0 x 4 9 y t 0y 2xt 所以切线与轴交点 切线与轴交点 4 分 x 2 0 Ety 4 0 9 F t 9 当即时 切线左下方的区域为一直角三角形 21 4 1 9 12 33 t t t 41 92 t 所以 6 分 144 2 299 f tt t 当 即时 切线左下方的区域为一直角梯形 21 4 1 9 12 33 t t t 12 23 t 8 分 22 1 44241 1 2 999 tt f t ttt 当即时 切线左下方的区域为一直角梯形 21 4 1 9 12 33 t t t 14 39 t 所以 2 2 1 499 2 12 224 tt f tttt 综上 10 分 2 2 914 2 439 4 41 9 92 41 12 923 ttt f tt t t t 2 当时 12 分 14 39 t 2 9 2 4 f ttt 2 9444 4999 t 当时 14 分 12 23 t 2 41 9 t f t t 2 1 144 2 999t 所以 16 分 max 4 9 S 20 1 由 得 2 分 2 lnf xxax 2 2 xa fx x 由 得 又由题意可得 1 g xxx a 2 2 xa g x a x 1 1 fg 即 故 或 4 分 2 2 2 a a a 2a 1 2 a 10 所以当时 2a 2 2lnf xxx 1 2 g xxx 当时 6 分 1 2 a 2 1 ln 2 f xxx 2g xxx 2 当时 得1a 2 1 2ln 2 h xf xg xxxxx 2112 1 1 1 2 222 xxx h xx xxxx 8 分 4 1 1 2 x xxxx x x 由0 x 得 4 1 0 2 x xxxx x 故当时 递减 0 1 x 0h x h x 当时 递增 1 x 0h x h x 所以函数的最小值为 10 分 h x 13 1 12ln11 22 h 3 1 2 a 2 1 ln 2 f xxx 2g xxx 当时 1 1 4 2 x 2 1 ln 2 f xxx 2 141 20 22 x fxx xx 在上为减函数 12 分当 f x 1 1 4 2 111 ln20 242 f xf 时 1 1 4 2 x 2g xxx 141 20 22 x g x xx 在上为增函数 且 14 分 g x 1 1 4 2 12 1 22 g xg 1 0 4 g xg 要使不等式在上恒成立 当时 为任意实数 f xm g x 1 1 4 2 x 1 4 x m 当时 而 1 1 4 2 x f x m g x min 1 22 2 ln 4e 1 4 2 f f x g x g 所以 16 分 22 ln 4e 4 m 加试题答案 11 1 解 1 由 2 21 a 1 2 4 0 2 2 分 分 2243aa 3 3 分 分 2 由 1 知M 23 21 则矩阵M的特征多项式为 2 23 2 1 634 21 f 5 5 分 分 令0 f 得矩阵M的特征值为1 与 4 6 6 分 分 当1 时 2 30 0 2 1 0 xy xy xy 矩阵M的属于特征值1 的一个特征向量为 1 1 8 8 分 分 当4 时 2 30 230 2 1 0 xy xy xy 矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为 3 2 1010 分 分 2 解 由题设得 为参数 R R 5 分 0 0 4cos 3sin x y q q q q 于是 00 28cos3sin73cos xy 所以 10 分 00 73273xy 3 1 以分别为轴建立如图所示空间直角坐标 1 CA CB CCx y z 因为 所以 3AC 4BC 1 4AA 3 0 0 A 0 4 0 B 0 0 0 C 1 0 0 4 C 所以 因为 1 3 0 4 AC ADAB 所以点 所以 33 4 0 D 33 4 0 CD 因为异面直线与所成角的余弦值为 1 ACCD 9 25 所以 解得 4 分 1 22 99 9 cos 25 5 33 16 AC CD 1 2 2 由 1 得 因为 是的中点 所以 1 0 4 4 B DAB 3 2 0 2 D 所以 平面的法向量 3 2 0 2 CD 1 0 4 4 CB 11 CBBC 1 n 1 0 0 设平面的一个法向量 1 DBC 2000 xyz n 则 的夹角 或其补角 的大小就是二面角的大小 1 n 2 n 1 DCBB 由得令 则 2 21 0 0 CD CB n n 00 00 3 20 2 440 xy yz 0 4x 0 3y 0 3z 所以 2 n 4 3 3 12 12 12 42 34 cos 1734 nn nn nn 所以二面角的余弦值为