江苏省某重点中学2012届高三数学最后冲刺热身卷

用心 爱心 专心 1 高三数学质量检测高三数学质量检测 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 已知A 1 2 3 4 5 B 2 4 6 8 则A B 1 设命题p 命题q sin cos 则p是q的 条件 4 2 已知 i 为虚数单位 则复数的模等于 3 函数y 2sin x cos x 的最大值为 2 2 4 设函数f x 若f a a 则实数a的值是 5 阅读下列程序 输出的结果是 6 有 4 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参 加其中一个小组 每位同学参加各个小组 的可能性相同 则这两位同学参加同一个 兴趣小组的概率为 7 设a R R 函数f x ex 是偶函数 若曲线y f x 的一条切线的斜率是 则 3 2 切点的横坐标为 8 已知a a m n 1 b b 1 1 m n为正数 若a a b b 则 的最小值是 1 m 2 n 9 设 ABC的三边长分别为a b c ABC的面积为S 内切圆半径为r 则r 类比这个结论可知 四面体S ABC的四个面的面积分别为S1 S2 S3 S4 2S a b c 内切球的半径为R 四面体P ABC的体积为V 则R 10 设i i j j分别表示平面直角坐标系x y轴上的单位向量 且 a a i i a a 2j j 则 5 a a 2i i 的取值范围是 11 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 b1 3 a2 b2 7 a3 b3 15 a4 b4 35 则a5 b5 12 已知函数f x ax2 bx 与直线y x相切于点A 1 1 若对任意x 1 9 不等 1 4 式f x t x恒成立 则所有满足条件的实数t组成的集合为 13 点M是椭圆 a b 0 上的点 以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F x2 a2 y2 b2 1 圆M与y轴相交于P Q 若 PQM是锐角三角形 则椭圆离心率的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明或演算步骤字说明 证明或演算步骤 14 本题 14 分 已知向量a a sin 1 b b cos 且a a b b 其中 3 Read S 1 For i from 1 to 5 step 2 S S i End For Print S End 用心 爱心 专心 2 0 2 1 求 的值 2 若 sin x 0 x 求 cosx的值 3 5 2 15 本题 14 分 如图 空间几何体ABCDEF中 四边形ABCD是菱形 直角梯形ADFE所在 平面与面ABCD垂直 且AE AD EF AD 其中P Q分别为棱BE DF的中点 1 求证 BD CE 2 求证 PQ 平面ABCD A BC D EF P Q 用心 爱心 专心 3 16 本题 14 分 某商店经销一种纪念品 每件产品的成本为 30 元 并且每卖出一件产 品需向税务部门上交a元 a为常数 2 a 5 的税收 设每件产品的售价为x元 35 x 41 根据市场调查 日销售量与ex e为自然对数的底数 成反比例 已知 当每件产品的售价为 40 元时 日销售量为 10 件 1 求该商店的日利润L x 元与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的日售价为多少元时 该商店的日利润L x 最大 并求出L x 的最 大值 17 本题 16 分 若椭圆C 的离心率e为 且椭圆C的一个焦点与 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 4 5 抛物线y2 12x的焦点重合 1 求椭圆C的方程 2 设点M 2 0 点Q是椭圆上一点 当 MQ 最小时 试求点Q的坐标 3 设P m 0 为椭圆C长轴 含端点 上的一个动点 过P点斜率为k的直线l交椭 圆与A B两点 若 PA 2 PB 2的值仅依赖于k而与m无关 求k的值 x y O 用心 爱心 专心 4 18 本题 16 分 已知函数 2 0 f xxax a lng xx f x图象与x轴异于 原点的交点M处的切线为 1 l 1 g x 与x轴的交点N处的切线为 2 l 并且 1 l与 2 l平行 1 求 2 f的值 2 已知实数t R 求函数 1 yf xg xtxe 的最小值 3 令 F xg xg x 给定 1212 1 xxxx 对于两个大于 1 的正数 存在实数m满足 21 1 xmmx 21 1 mxxm 并且使得不 等式 12 FFF xF x 恒成立 求实数m的取值范围 19 本题 16 分 有n个首项都是 1 的等差数列 设第m个数列的第k项为a m k 其中 m k 1 2 3 n n 3 公差为dm 并且a 1 n a 2 n a 3 n a n n 成等差数列 1 证明 dm p1d1 p2d2 3 m n p1 p2是m的多项式 并求p1 p2的值 2 当d1 1 d2 3 时 将数列 dm 分组如下 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 每组数的个数构成等差数列 设前m组中所有数之和为 cm 4 cm 0 求数列 2cm dm 的前n项和Sn 3 设N是不超过 20 的正整数 当n N时 对于 1 中的Sn 求使得不等式 Sn 6 dn成立的所有N的值 用心 爱心 专心 5 高三数学质量检测答题纸 一 一 填空题 本大题共填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二 二 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 分 15 16 高三 学号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题 A BC D EF P Q 用心 爱心 专心 6 17 18 x y O 用心 爱心 专心 7 19 高三 学号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题 用心 爱心 专心 8 20 高三数学质量检测附加题高三数学质量检测附加题 参考公式 2222 1 21 123 6 n nn n B 选修 4 2 矩阵与变换 用心 爱心 专心 9 求矩阵A 的逆矩阵 3 4 1 2 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为 为参数 求曲线C的普通方程 1 1 3 2 xt t yt t t0t 用心 爱心 专心 10 22 本题满分 10 分 在平面直角坐标系中 抛物线C的顶点在原点 经过点A 2 2 其焦点F在轴xoyx 上 1 求抛物线C的标准方程 2 求过点F 且与直线OA垂直的直线的方程 3 设过点的直线交抛物线C于D E两点 ME 2DM 记D和E两点 0 0 M mm 间的距离为 求关于的表达式 f m f mm 23 本题满分 10 分 对于正整数 2 用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数n n Tx 2 20 xaxb 组的组数 其中 和可以相等 对于随机选取的 a b 1 2 a bn ab 和可以相等 记为关于的一元二次方程 1 2 a bn ab n Px 有实数根的概率 2 20 xaxb 1 求和 2 n T 2 n P 2 求证 对任意正整数 2 有 n 1 1 n P n 用心 爱心 专心 11 高三数学质量检测附加题答题纸高三数学质量检测附加题答题纸 参考公式 2222 1 21 123 6 n nn n B 选修 4 2 矩阵与变换 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 高三 学号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题 用心 爱心 专心 12 22 23 用心 爱心 专心 13 高三数学质量检测答案 2012 5 23 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 学分 学 20 已知A 1 2 3 4 5 B 2 4 6 8 则A B 2 4 21 设命题p 命题q sin cos 则p是q的 条件 充分不必 4 要 22 已知 i 为虚数单位 则复数的模等于 1 23 函数y 2sin x cos x 的最大值为 2 25 24 设函数f x 若f a a 则实数a的值是 1 25 阅读下列程序 输出的结果是 10 26 有 4 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加 同一个兴趣小组的概率为 1 4 27 设a R R 函数f x ex 是偶函数 若曲线y f x 的一条切线的斜率是 则 3 2 切点的横坐标为 ln2 28 已知a a m n 1 b b 1 1 m n为正数 若a a b b 则 的最小值是 3 2 1 m 2 n 2 29 设 ABC的三边长分别为a b c ABC的面积为S 内切圆半径为r 则r 类比这个结论可知 四面体S ABC的四个面的面积分别为S1 S2 S3 S4 2S a b c 内切球的半径为R 四面体P ABC的体积为V 则R 3V S1 S2 S3 S4 30 设i i j j分别表示平面直角坐标系x y轴上的单位向量 且 a a i i a a 2j j 则 5 a a 2i i 的取值范围是 3 31 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 b1 3 a2 b2 7 a3 b3 15 a4 b4 35 则a5 b5 91 32 已知函数f x ax2 bx 与直线y x相切于点A 1 1 若对任意x 1 9 不等 1 4 式f x t x恒成立 则所有满足条件的实数t组成的集合为 4 33 点M是椭圆 a b 0 上的点 以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F x2 a2 y2 b2 1 圆M与y轴相交于P Q 若 PQM是锐角三角形 则椭圆离心率的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明或演算步骤字说明 证明或演算步骤 34 本题 14 分 已知向量a a sin 1 b b cos 且a a b b 其中 3 0 2 1 求 的值 2 若 sin 0 求 cos 的值 3 5 2 解 1 a a sin 1 b b cos 且a a b b sin cos 0 33 3 分 Read S 1 For i from 1 to 5 step 2 S S i End For Print S End 用心 爱心 专心 14 tan 0 2 6 6 分 2 0 sin cos 2 6 6 3 6 3 5 6 10 分 4 5 cos cos cos cos sin sin 6 6 6 6 6 6 4 5 1 2 3 5 14 分 35 本题 14 分 如图 空间几何体ABCDEF中 四边形ABCD是菱形 直角梯形ADFE所 在平面与面ABCD垂直 且AE AD EF AD 其中P Q分别为棱BE DF的中点 1 求证 BD CE 2 求证 PQ 平面ABCD 36 本题 14 分 某商店经销一种纪念品 每件产品的成本为 30 元 并且每卖出一件产 品需向税务部门上交a元 a为常数 2 a 5 的税收 设每件产品的售价为x元 35 x 41 根据市场调查 日销售量与ex e为自然对数的底数 成反比例 已知 当每件产品的售价为 40 元时 日销售量为 10 件 A BC D EF P Q 用心 爱心 专心 15 1 求该商店的日利润L x 元与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的日售价为多少元时 该商店的日利润L x 最大 并求出L x 的最 大值 解 1 设日销售量为 则 10 k 10e40 则日销售量为件 售价为x元时 每件利润为 x 30 a 元 则日利润L x x 30 a 10e40 35 x 41 5 2 L x 10e40 7 当 2 a 4 时 33 31 a 35 而 35 x 41 L x 0 L x 在 35 41 上是单调递减函数 则当x 35 时 L x 取得最大值为 10 5 a e5 9 当 4 a 5 时 35 31 a 36 令L x 0 得x a 31 当x 35 a 31 时 L x 0 L x 在 35 a 31 上是单调递增函数 当x a 31 41 时 L x 0 L x 在 a 31 41 上是单调递减函数 当x a 31 时 L x 取得最大值为 10e9 a 13 综上 当 2 a 4 时 L x max 10 5 a e5 当 4 a 5 时 L x max 10e9 a 14 37 本题 16 分 若椭圆C 的离心率e为 且椭圆C的一个焦点与 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 4 5 抛物线y2 12x的焦点重合 1 求椭圆C的方程 2 设点M 2 0 点Q是椭圆上一点 当 MQ 最小时 试求点Q的坐标 3 设P m 0 为椭圆C长轴 含端点 上的一个动点 过P点斜率为k的直线l交椭 圆与A B两点 若 PA 2 PB 2的值仅依赖于k而与m无关 求k的值 解 1 椭圆C的方程为 4 2 设Q x y 5 x 5 MQ 2 x 2 2 y2 x2 4x 4 16 x2 x2 4x 20 对称轴x 5 当x 5 时 MQ 2达到最小值 当 MQ 最小时 Q的坐标为 5 0 8 3 设A x1 y1 B x2 y2 P m 0 5 m 5 直线l y k x m 由得x1 x2 x1x2 10 y1 y2 k x1 m k x2 m k x1 x2 2km y1y2 k2 x1 m x2 m k2x1x2 k2m x1 x2 k2m2 12 PA 2 PB 2 x1 m 2 x2 m 2 y2 1y2 2 x1 x2 2 2x1x2 2a x1 x2 y1 y2 2 2y1y2 2y1y2 2a2 k2 1 x y O 用心 爱心 专心 16 PA 2 PB 2的值仅依赖于k而与m无关 512 800k2 0 k 4 5 16 38 本题 16 分 已知函数 2 0 f xxax a lng xx f x图象与x轴异于 原点的交点 M 处的切线为 1 l 1 g x 与x轴的交点 N 处的切线为 2 l 并且 1 l与 2 l平行 1 求 2 f的值 2 已知实数 t R 求函数 1 yf xg xtxe 的最小值 3 令 F xg xg x 给定 1212 1 xxxx 对于两个大于 1 的正数 存在实数m满足 21 1 xmmx 21 1 mxxm 并且使得不 等式 12 FFF xF x 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 yf x 图象与x轴异于原点的交点 0 M a 2fxxa 1 ln 1 yg xx 图象与x轴的交点 2 0 N 1 1 1 g x x 由题意可得 12 ll kk 即1a 2 分 2 f xxx 2 2 222f 4 分 2 2 ln ln yf xg xtxx txx t 22 ln 21 ln xxtxxtt 5 分 令lnuxx 在 1 xe 时 ln10ux lnuxx 在 1 e单调递增 0 ue 6 分 22 21 yututt 图象的对称轴 1 2 2 t u 抛物线开口向上 当 1 2 0 2 t u 即 1 2 t 时 2 min0 uyytt 7 分 当 1 2 2 t ue 即 1 2 2 e t 时 22 min 21 u e yyetett 8 分 当 1 2 0 2 t e 即 1 21 22 e t 时 22 min1 2 2 1 21 21 21 224 t u tt yyttt 9 分 1 3 lnF xg xg xx x 22 111 0 x F x xxx 1x 得 所以 F x在区间 1 上单调递增 10 分 1x 当 时 FFx 1 0 当 0 1 m 时 有 12111 1 1 mxm xmxm xx 12222 1 1 mxm xmxm xx 得 12 x x 同理 12 x x 1 分 由 xf的单调性知 0 1 F xF 2 FF x 从而有 12 FFF xF x 符合题设 12 分 当0m 时 12222 1 1 mxm xmxm xx 12111 1 1 m xmxm xmxx 用心 爱心 专心 17 由 xf的单调性知 0 12 FF xF xF 12 FFF xF x 与题设不符 14 分 当1m 时 同理可得 12 xx 得 12 FFF xF x 与题设不符 15 分 综合 得 0 1 m 16 分 说明 各题如有其它解法 按照相应的步骤给分 39 本题 16 分 有n个首项都是 1 的等差数列 设第m个数列的第k项为a m k 其中 m k 1 2 3 n n 3 公差为dm 并且a 1 n a 2 n a 3 n a n n 成等差数列 1 证明 dm p1d1 p2d2 3 m n p1 p2是m的多项式 并求p1 p2的值 2 当d1 1 d2 3 时 将数列 dm 分组如下 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 每组数的个数构成等差数列 设前m组中所有数之和为 cm 4 cm 0 求数列 2cm dm 的前n项和Sn 3 设N是不超过 20 的正整数 当n N时 对于 1 中的Sn 求使得不等式 Sn 6 dn成立的所有N的值 解 解 1 由题意知a m n 1 n 1 dm a 2 n a 1 n 1 n 1 d2 1 n 1 d1 n 1 d2 d1 同理 a 3 n a 2 n n 1 d3 d2 a 4 n a 3 n n 1 d4 d3 a n n a n 1 n n 1 dn dn 1 又 a 1 n a 2 n a 3 n a n n 成等差数列 a 2 n a 1 n a 3 n a 2 n a n n a n 1 n 故d2 d1 d3 d2 dn dn 1 即 dn 是公差为d2 d1的等差数列 dm d1 m 1 d2 d1 2 m d1 m 1 d2 令p1 2 m p2 m 1 则dm p1d1 p2d2 3 m n p1 p2是m的多项式 此时p1 p2 1 4 2 当d1 1 d2 3 时 dm 2m 1 数列 dm 分组如下 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 按分组规律 第m组中有 2m 1 个奇数 第 1 组到第m组共有 1 3 5 2m 1 m2个奇数 前k个奇数的和为 1 3 5 2k 1 k2 前m2个奇数的和为m4 cm 4 m4 cm 0 cm m 2cm dm 2m 1 2m 6 Sn 1 2 3 22 5 23 2n 3 2n 1 2n 1 2n 2Sn 1 22 3 23 2n 5 2n 1 2n 3 2n 2n 1 2n 1 相减得 Sn 2 2 22 2 23 2 2n 1 2 2n 2n 1 2n 1 2 2 22 23 2n 2 2n 1 2n 1 2 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 2n 1 6 Sn 2n 3 2n 1 6 10 3 由 2 得dn 2n 1 Sn 2n 3 2n 1 6 故不等式 Sn 6 dn等价于 2n 3 2n 1 50 2n 1 即f n 2n 3 2n 1 50 2n 1 2n 3 2n 1 50 100 当n 1 2 3 4 5 时 都有f n 0 即 2n