2011届高三数学 联考理科数学试题 新人教版

用心 爱心 专心1 20112011 届高三第二次联考理科数学试题届高三第二次联考理科数学试题 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S是锥体的底面积 h是锥体的高 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 1 已知集合 31 Axx 2 Bxx 则AB A 21xx B 01xx C 32xx D 12xx 2 2 i是虚数单位 1 i i A 11 22 i B i 2 1 2 1 C i 2 1 2 1 D i 2 1 2 1 3 3 设 n a是等差数列 135 9aaa 6 9a 则这个数列的前 6 项和等于 A 12 B 24 C 36 D 48 4 4 设 2 log 3P 3 log 2Q 23 log log 2 R 则 A RQP B PRQ C QRP D RPQ 5 5 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 考查下列命题 其中正确的是 A 若 mnmn 则 B 若 mn 则mn C 若 mn 则mn D 若 m nm 则 n 6 双曲线 22 1mxy 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则m A 1 4 B 4 C 4 D 1 4 7 7 函数 tan 4 f xx 的单调增区间为 A 22 kk k Z B 1 kk k Z C 3 44 kk k Z D 3 44 kk k Z 8 8 对于直角坐标平面内的任意两点 11 A x y 22 B xy 定义它们之间的一种 距离 2121 ABxxyy 给出下列三个命题 1 若点C在线段AB上 则 ACCBAB 2 在ABC 中 若90C 则 222 ACCBAB 3 在ABC 中 ACCBAB 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 9 命题 xR 2 0 xx 的否定是 1010 设变量x y满足约束条件 22 1 1 xy xy xy 则23zxy 的最大值为 1111 设向量a与b的夹角为 且 3 3 a 2 1 1 ba 则 cos 1212 圆心在直线2310 xy 上的圆与x轴交于 1 0 A 3 0 B两点 则圆的方程为 1313 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买x吨 运费为 4 万元 次 一年的总存储费用为 4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 用心 爱心 专心2 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只题 考生只 能从中选做一题 能从中选做一题 1414 几何证明选讲 如右图所示 AC和AB分别是圆O的切线 且 3OC 4AB 延长AO到D点 则ABD 的面积是 1515 坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是 6sin 以极点为平在直角坐标系的原点 极轴为x的 正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 21 2 2 xt yt t为参数 则直线l与曲线 C相交所得的弦的弦长为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或推证过程 1616 本题满分 12 在ABC 中 2AC 1BC 4 3 cos C 求AB的值 求sin 2 AC 的值 1717 本题满分 14 从某高校新生中随机抽取 100 名学生 测得身高情况如下表所示 请在答题卷上写出频率分布表中 位置应填写的数据 并在所给的坐标系中补全频 率分布直方图 再根据频率分布直方图估计 众数的值 按身高分层抽样 现已抽取 20 人参 加广州亚运会志愿者活动 其中有 3 名学生 担任迎宾工作 记这 3 名学生中 身高低于 170cm 的人数为 求 的分布列及期望 1818 本题满分 14 如图 四面体ABCD中 O E分别BD BC的中点 2CABCCDBD 2ABAD 求证 AO 平面BCD 求异面直线AB与CD所成角的余弦值 求点E到平面ACD的距离 1919 本题满分 14 已知二次函数 2 f xaxbxc 0c 的导函数的图象如图所示 求函数 f x的解析式 令 f x g x x 求 yg x 在 1 2 上的最大值 2020 本题满分 12 在平面直角坐标系中 已知点 1 1 P 过点 P作抛物线 2 0 Tyx 的切线 其切点分别为 11 M x y 22 N xy 其中 12 xx 求 1 x与 2 x的值 分组频数频率 165 160 50 050 170 165 0 200 175 170 35 180 175 300 300 180 185 100 100 合计 1001 00 用心 爱心 专心3 16 解 17 解 18 解 若以点P为圆心的圆E与直线MN相切 求圆E的方程 2121 本题满分 14 已知数列 n x n y满足 12 1xx 12 2yy 并且 1 1 nn nn xx xx 1 1 nn nn yy yy 为非零参数 4 3 2 n 若 1 x 3 x 5 x成等比数列 求参数 的值 当0 时 证明 1 1 nn nn xx yy n N 当1 时 证明 1122 223311 1 nn nn xyxyxy xyxyxy n N 20112011 届高三第二次联考理科数学试题届高三第二次联考理科数学试题 分数统计栏 题题号号一一二二161718192021总总分分 分数分数 9 10 11 12 13 14 15 以下为非选择题答题区 必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答 否则答案无效 二 填空二 填空题题 三 解答三 解答题题 区 学校 班级 姓名 学号 号 用心 爱心 专心4 21 解 19 解 20 解 密 封 线 用心 爱心 专心5 20112011 届高三第二次联考理科数学参考答案及评分标准届高三第二次联考理科数学参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 答案答案 A AD DB BA AB BA AC CB B 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 9 9 xR 2 0 xx 1010 18 1111 3 10 10 1212 22 2 1 2xy 1313 20 1414 48 5 1515 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 50 分 解答应写出文字说明 演算步骤或推证过程 1616 解 解 由余弦定理 222 2cosABACBCAC BCC 2 分 3 4 1 2 2 12 4 所以 2AB 4 分 由 3 cos 4 C 且0C 得 2 7 sin1 cos 4 CC 6 分 由正弦定理 sinsin ABBC CA 得 sin14 sin 8 BCC A AB 所以 5 2 cos 8 A 8 分 由二倍角公式 5 7 sin22sincos 16 AAA 2 9 cos21 2sin 16 AA 10 分 故 3 7 sin 2 sin2 coscos2 sin 8 ACACAC 12 分 1717 解 解 处填 20 处填 0 35 补全频率分布直方图如图所示 2 分 4 分 由频率分布直方图可得众数为 172 5cm 5 分 用分层抽样的方法 从中选取 20 人 则其中 身高低于 170cm 的有 5 人 身高不低于 170cm 的有 15 人 故 的可能取值为 0 1 2 3 则 用心 爱心 专心6 7 分 3 15 3 20 91 0 228 C P C 21 155 3 20 35 1 76 C C P C 12 155 3 20 5 2 38 C C P C 3 5 3 20 1 2 114 C P C 11 分 所以 的分布列为 0123 P 91 228 105 228 30 228 2 228 12 分 所以 911053023 0123 2282282282284 E 14 分 1818 解 方法 解 方法 1 1 证明 连结OC BODO ABAD AOBD BODO BCCD COBD 在AOC 中 由已知可得1AO 3CO 而2AC 222 AOCOAC 90AOC 即AOOC BDOCO AO 平面BCD 4 分 解 取AC的中点M 连结OM ME OE 由E为BC的中点知 MEAB OEDC 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在OME 中 12 22 EMAB 1 1 2 OEDC OM 是直角 AOC斜边AC上的中线 1 1 2 OMAC 2 cos 4 OEA 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 2 4 8 分 解 设点E到平面ACD的距离为h A ACDA CDE VV 11 33 ACDCDE ShSAO 在 ACD中 CA CD 2 AD 2 3 2 127 22 222 ACD S 而1AO 2 133 2 242 CDE S 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点E到平面ACD的距离为 7 21 14 分 方法方法 1 1 同方法一 解 以O为原点 如图建立空间直角坐标系 则B 1 0 0 D 1 0 0 C 0 3 0 A 0 0 1 E 2 1 2 3 0 1 0 1 BA 1 3 0 CD 2 cos 4 BA CD BA CD BA CD 异面直线AB与CD所成角的余弦值为 2 4 解 设平面ACD的法向量为n x y z 则 1 0 1 0 0 3 1 0 n ADx y z n ACx y z 0 30 xz yz 用心 爱心 专心7 令 y 1 得 3 1 3 n 是平面ACD的一个法向量 又 13 0 22 EC 点E到平面ACD的距离 321 77 EC n h n 1919 解 解 因为 2fxaxb 由图可知 21fxx 2 分 22 1 a b 得 1 1 a b 故所求函数解析式为cxxxf 2 4 分 2 1 f xxxcc g xx xxx 则 2 222 1 cxcxcxc g x xxx 6 分 法一 法一 若1c 即01c 时 0g x g x在 1 2 上是增函数 故 max 1 2 3 2 g xgc 8 分 若12c 即14c 当1xc 时 0g x 当2cx 时 0g x 1 2gc 1 2 3 2 gc 当12c 时 1 2 gg max 1 2 3 2 g xgc 当24c 时 1 2 gg max 1 2g xgc 10 分 若2c 即4c 时 0g x g x在 1 2 上是减函数 故 max 1 2g xgc 12 分 综上所述 当02c 时 max 1 3 2 g xc 当2c 时 max 2g xc 14 分 法二 法二 当0 xc 时 0g x 当xc 时 0g x 8 分 当1 x或2 x时 xg取得最大值 其中2 1 cg 3 2 2 c g 当20 c时 3 2 2 max c gxg 当2 c时 2 1 max cgxg 14 分 2020 解 解 由 2 yx 可得 2yx 1 分 直线PM与曲线 0 T相切 且过点 1 1 P 2 1 1 1 1 2 1 x x x 即 2 11 210 xx 1 244 12 2 x 或 1 12x 3 分 同理可得 2 12x 或 2 12x 4 分 12 xx 1 12x 2 12x 5 分 由 知 12 2xx 12 1xx 则直线MN的斜率 22 1212 12 1212 yyxx kxx xxxx 7 分 直线M的方程为 1121 yyxxxx 又 2 11 yx 用心 爱心 专心8 22 112112 yxxx xxx x 即210 xy 10 分 点P到直线MN的距离即为圆E的半径 即 2 1 1 4 4 15 r 11 分 故圆E的方程为 22 16 1 1 5 xy 12 分 2121 解 解 由已知 12 1xx 且 32 3 21 xx x xx 3 34 4 32 xx x xx 6 54 5 43 xx x xx 若 1 x 3 x 5 x成等比数列 则 2 315 xx x 即 26 而0 解得1 4 分 证明 由已知0 12 1xx 及 12 2yy 可得0 n x 0 n y 由不等式的性质 有 211 112